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高等数学基础
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第一节 函数极限的定义及分析方法
一．函数极限的定义
定义1：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作。特别地，；。
例题1：判断下列函数的极限：
（1）　　（2） （3）
定义2：当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，。
当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，。
当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，
特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即。
例题2：判断下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
二．无穷小与无穷大
定义1：如果函数当时的极限为零，那么称函数为当时的无穷小。
当时，等都是无穷小。当时， 等都是无穷小。
定义2：如果当时，对应的函数值的绝对值无限增大，就称函数为当时的无穷大。
当时， 等都是正无穷大；当时， 是正无穷大等.
定理1：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。
三．极限运算法则
定理1：有限个无穷小的和也是无穷小。
定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
定理3：对于函数极限有如下的运算法则：
如果，那么

也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）。
当C是常数，n是正整数时：

这些法则对于的情况仍然适用.
例题3：分析下列函数的极限：
例1．求
例2．求
例3．求
分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则，注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限。
例4． 求
分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则。如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
例5．求
分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。
例6．；
例7．
例8．；
例9．
例10．
例11．
例12．
第二节 函数的导数
一．引论——两个典型背景示例
例一：运动物体的瞬时速度
设质点沿轴作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在时刻的瞬时速度。
解：(1) 求时段到＋的平均速度：

(2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此，如果极限：

存在，这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度。
例二：曲线的切线斜率：
设曲线由方程确定. 。要求在点的切线斜率。
（1）求区间到的弦的斜率:
=;
（2）弦斜率的极限是切线的斜率:
==；
（3）曲线：在点的切线：
斜率等于，切线的方程称为：

二．导数的定义
定义1：假设函数在点某邻域有定义，如果极限
=
存在，则称其值为函数在点的导数, 并说在可导。
在点的导数记作或或或
函数在点的导数，就是在点函数关于自变量的变化率。运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数。
曲线在点切线斜率是函数f对x的导数。
三．课堂练习：
例1．常数函数的导数。
解：由导数定义(注意到)得到

所以 .
例2．和的导数：
解：
=
=
同样的方法可以得到 .
(注意几何意义)
三．函数的求导法则:
定理1：若函数、在点都可导，则：
1．对于任意常数，函数在点可导，并且.
2．函数在点可导，并且
3．函数在点可导，并且.
4． 如果，则在点可导，并且.
示例1：，求f`(x)及f`(3)
解：f`(x)= f`(3)=47
示例2：求、、、的导数
解：
同样可以得到：

.
.
定理2：复合函数的导数：如果在点x可导，而在点可导，则复合函数在点x可导，则其导数为：

示例4：，求。
解：

四．基本导数公式
1．(为常数)
2．
3．；
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
五．课堂练习：
例1． 设，计算．
解：

例2． 设,计算．
解：
=．
若, 怎么办？
五．高阶导数
对变速直线运动而言，其速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：

同时，加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：

这种导数的导数或叫做s对t的二阶导数，记作：

一般的，函数y=f(x)的导数y`=f`(x)仍然是x的函数，我们把y`=f`(x)的导数叫做y=f(x)的二阶导数，记作y``或。
相应的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，n-1阶导数的导数叫做n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
示例：
例4．，求
解：，。
例5．，求
解：，
例6．，求
解：

第三节 函数的微分
一．引论
设质点作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在到()时间内质点的位移。
s=s(x)
t
t0

s

上述情况下，称函数在点t0可微，并称为函数在点t0处的微分。
导数是从函数对自变量变化的快慢来研究； 而微分则是直接研究函数的增量。
二．函数微分的定义
定义1：设在点的增量可表示成：
=
则称函数在点可微。线性函数称为函数在点的微分。记作：dy。通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作dx。即：
=，或者=

三． 基本初等函数微分公式
1．基本初等函数微分公式
1.(为常数)
2.
3.;
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2．函数和、差、积、商的微分法则

四．微分在近似计算中的应用
1．分析：
如果y=f（x）在点x0处的导数，且很小时，我们有：

上式可改为：

或：

上式中，令，即：，则上式可改写为：

取，则得：

2．常用的近似公式（x取极小值时）：
(1)
(2)(x用弧度作单位表达)
(3)tan(x用弧度作单位表达)
(4)cos(x用弧度作单位表达)
(5)
(6)
示例：
例1．计算
解：
例2．计算
解：
第四节 不定积分
一．不定积分的概念和性质
1．原函数
（一） 原函数概念
定义1:如果在某区间上恒有，则称是在区间上的一个原函数。
例如：
在区间，是的一个原函数；
在区间，是的一个原函数；
在区间，，是的一个原函数；也是的一个原函数等等；
（二） 原函数的性质
都是在区间上的原函数，则存在常数，使得。或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数。
重要结论： 若在区间上存在原函数，则在区间上的所有原函数都可以写成的形式。
2． 不定积分：
（一）不定积分的定义：
定义2：在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分。记作：

其中，记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。
由定义可知，如果F(x) 是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即：

示例:
例1．求
解：由于，所以是的一个原函数，因此：

求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。
（二）基本积分表：
以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.
(1)
(2)
(3) ()
(4)

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
()
(13)
(14)

(15)

（16）
（17）
（18）
（19）
( );
（20）
( );
（21） ( );
（22）
（23）

（24）
（三）不定积分的性质：
性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即
（1） 若有原函数则：
，.
（2）若 ，可导，且导函数连续，则：
,
性质二：(不定积分运算的线性性) 若有原函数，则：
（1）
（2）若，则
示例：
例2： 求不定积分
解：=
例3：求不定积分
解：利用三角恒等式得到

.
例4： 求不定积分
解：==
=
（x>0,sgnx=1，x=0,sgnx= 0，x<0,sgnx=-1）
( );
( );
( );

第五节 定积分
一． 引论—两个曲型问题。
1．求曲线所围的面积：
函数在有界区间非负连续，由轴、直线、()以及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形， 如何求曲边梯形的面积?
（1）分划区间, 求得近似:
即：在中任意插入一组点
，将分割为若干个子区间，将曲边梯形分成个细条。又任取一点，
; 将第个细条近似看成是以小区间为底,为高的矩形，于是第个细条的面积：
, , .
整个曲边梯形的面积
.
（2）无限分细，求取极限:
从直观上看，分点越密，各个的最大值越小，和式 就越接近于曲边梯形的面积。当各个的最大值=趋向于零时，如果和式的极限：

存在， 则这个极限就应该是曲边梯形的面积。
2．己知速度求路程：
今己知质点作直线运动，其速度函数，求在时段上的位移。
（1）分划区间，求得近似：
即：在中任意插入一组 点，将分割为若干个子区间 。将此时段当作以速度作等速运动, 其。于是第时段内的位移
, , .
整个位移的近似值： .
（2）无限分细，求取极限:
从常理想象，当各个小时段的最大值=趋向于零时，如果和式的极限：

存在，则这个极限就应该是时段的位移。
二． 黎曼积分的定义
定义1：设函数。在区间上任分、任取构成积分和式，即：
（1）将任作一分划，即 在中插入一组点：
,
将 分割为n个子区间: ;
（2）任意取 ，构造和式：
,
其中，. =
如果和式极限：
存在，则称函数在(黎曼)可积，记作。该极限值称为在的定积分(值)，记为：
.
其中：称为被积函数；称为积分区间；分别称为积分上、下限；称为被积分式；称为积分变量。
由上述定义可知, 黎曼积分是一个特殊的极限, 这个极限过程以较复杂, 变化过程是指所有子区间的最大长度趋向于零. 其极限的存在与任何分划和任何取法都没有关系。
三．定积分的几何意义
定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。
四．定积分基本性质
定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关。
性质一： 积分的线性性质：
1．当a=b时，
当时，
2．（k为常数）
3．
4．若，则对于任意常数，有：
;
性质二：区间的可加性
若,，则,，则：
;
性质三：积分的不等式性质
设,若，则：
.
推论1：设,, 若, 则

推论2：设但不恒为零,则, 则
. ()
推论3：设,则,并且
.
五．牛顿—莱布尼茨公式
定理1：( 牛顿—莱布尼茨公式) 设，是在上的一个原函数，则有：
.
这就是Newton---Leibniz公式，又称微积分基本公式。
该公式又可写为：

示例：
例3：计算定积分
解：因为在区间是被积函数一个原函数，根据牛顿—莱布尼茨公式得到：
.
最好与不定积分求原函数结合起来：
=
例5： 计算
解：
.
七．定积分在物理上的应用
1．变力作功问题
质量为的物体, 在外力的作用 (外力的方向与轴的夹角为)下，沿轴在从位移到，求外力所作的功。
F(x)
x
.
例11．在质量为的质点引力作用下，质量为质点从a点运动到b点所作的功？
解： ,

例13．动能定理的推导：
,
=
例14．动量定理的推导：

y
h

F(x)

0 x x+dx x
dx l

2．物体间引力问题
例14．求线密度为的杆(杆长为) 对单位质量质点的引力。
,

=
=
第六节 偏导
一．偏导数的定义及其计算法
1．偏导数的定义：
定义1：设函数在点（x0，y0）的某一领域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量时，相应地函数有增量：

如果

存在，则称此极限为函数在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作：
，或
类似的，可以定义函数在点（x0，y0）处对y的偏导数为：

记作：
，或
2．偏导数的计算
示例：
例1．求在（1，2）（1，0）处对x及y的偏导数。
解：把y看作常量，得：

把x看作常量，得：

把（1，2）（1，0）代入，得：

例2．求的偏导数
解：

例3． 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数)，求证：
证：