高等数学基础.doc

高等数学基础高等数学基础第一节 函数极限的定义及分析方法一函数极限的定义 定义1：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作。特别地，；。 例题1：判断下列函数的极限： （1）（2） （3） 定义2：当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，。 当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，。 当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时， 特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即。例题2：判断下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）二无穷小与无穷大 定义1：如果函数当时的极限为零，那么称函数为当时的无穷小。 当时，等都是无穷小。当时， 等都是无穷小。 定义2：如果当时，对应的函数值的绝对值无限增大，就称函数为当时的无穷大。 当时， 等都是正无穷大；当时， 是正无穷大等. 定理1：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。三极限运算法则 定理1：有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 定理3：对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）。当C是常数，n是正整数时： 这些法则对于的情况仍然适用. 例题3：分析下列函数的极限： 例1求 例2求 例3求 分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则，注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限。 例4 求 分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则。如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 例5求 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。例6； 例7例8； 例9例10 例11例12 第二节 函数的导数一引论两个典型背景示例 例一：运动物体的瞬时速度 设质点沿轴作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在时刻的瞬时速度。 解：(1) 求时段到的平均速度： (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此，如果极限： 存在，这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度。 例二：曲线的切线斜率： 设曲线由方程确定. 。要求在点的切线斜率。 （1）求区间到的弦的斜率: =;（2）弦斜率的极限是切线的斜率: =； （3）曲线：在点的切线： 斜率等于，切线的方程称为： 二导数的定义 定义1：假设函数在点某邻域有定义，如果极限=存在，则称其值为函数在点的导数, 并说在可导。在点的导数记作或或或函数在点的导数，就是在点函数关于自变量的变化率。运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数。曲线在点切线斜率是函数f对x的导数。三课堂练习： 例1常数函数的导数。 解：由导数定义(注意到)得到所以 .例2和的导数：解：= 同样的方法可以得到 . (注意几何意义)三函数的求导法则: 定理1：若函数、在点都可导，则： 1对于任意常数，函数在点可导，并且. 2函数在点可导，并且 3函数在点可导，并且.4 如果，则在点可导，并且.示例1：，求f(x)及f(3)解：f(x)= f(3)=47 示例2：求、的导数 解：同样可以得到：.定理2：复合函数的导数：如果在点x可导，而在点可导，则复合函数在点x可导，则其导数为：示例4：，求。解：四基本导数公式1(为常数)23；45678910111213141516五课堂练习： 例1 设，计算 解： 例2 设,计算 解：=若, 怎么办？五高阶导数 对变速直线运动而言，其速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即： 同时，加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数： 这种导数的导数或叫做s对t的二阶导数，记作：一般的，函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数，我们把y=f(x)的导数叫做y=f(x)的二阶导数，记作y或。相应的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，n-1阶导数的导数叫做n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。示例：例4，求解：，。例5，求解：，例6，求解：第三节 函数的微分一引论 设质点作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在到()时间内质点的位移。 s=s(x)tt0s 上述情况下，称函数在点t0可微，并称为函数在点t0处的微分。导数是从函数对自变量变化的快慢来研究； 而微分则是直接研究函数的增量。二函数微分的定义 定义1：设在点的增量可表示成：=则称函数在点可微。线性函数称为函数在点的微分。记作：dy。通常把自变量x的增量称为自变量的微分，记作dx。即：=，或者=三 基本初等函数微分公式 1基本初等函数微分公式1.(为常数)2.3.;4.5.6. 7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14. 2函数和、差、积、商的微分法则四微分在近似计算中的应用1分析：如果y=f（x）在点x0处的导数，且很小时，我们有：上式可改为：或：上式中，令，即：，则上式可改写为：取，则得：2常用的近似公式（x取极小值时）：(1)(2)(x用弧度作单位表达)(3)tan(x用弧度作单位表达)(4)cos(x用弧度作单位表达)(5)(6)示例：例1计算解：例2计算解：第四节 不定积分一不定积分的概念和性质 1原函数 （一） 原函数概念 定义1:如果在某区间上恒有，则称是在区间上的一个原函数。 例如： 在区间，是的一个原函数； 在区间，是的一个原函数； 在区间，是的一个原函数；也是的一个原函数等等； （二） 原函数的性质都是在区间上的原函数，则存在常数，使得。或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数。 重要结论： 若在区间上存在原函数，则在区间上的所有原函数都可以写成的形式。2 不定积分：（一）不定积分的定义：定义2：在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分。记作：其中，记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。由定义可知，如果F(x) 是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即：示例: 例1求解：由于，所以是的一个原函数，因此： 求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。（二）基本积分表： 以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.(1) (2) (3) ()(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ()(13) (14) (15) （16）（17）（18）（19） ( );（20） ( );（21） ( );（22） （23）（24）（三）不定积分的性质：性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即（1） 若有原函数则：，. （2）若 ，可导，且导函数连续，则：, 性质二：(不定积分运算的线性性) 若有原函数，则： （1）（2）若，则 示例： 例2： 求不定积分 解：= 例3：求不定积分 解：利用三角恒等式得到. 例4： 求不定积分 解：=（x0,sgnx=1，x=0,sgnx= 0，x0,sgnx=-1） ( ); ( ); ( );第五节 定积分一 引论两个曲型问题。 1求曲线所围的面积： 函数在有界区间非负连续，由轴、直线、()以及曲线所围成的平面图形称为曲边梯形， 如何求曲边梯形的面积?（1）分划区间, 求得近似: 即：在中任意插入一组点，将分割为若干个子区间，将曲边梯形分成个细条。又任取一点， ; 将第个细条近似看成是以小区间为底,为高的矩形，于是第个细条的面积： , , . 整个曲边梯形的面积 . （2）无限分细，求取极限: 从直观上看，分点越密，各个的最大值越小，和式 就越接近于曲边梯形的面积。当各个的最大值=趋向于零时，如果和式的极限：存在， 则这个极限就应该是曲边梯形的面积。 2己知速度求路程： 今己知质点作直线运动，其速度函数，求在时段上的位移。 （1）分划区间，求得近似： 即：在中任意插入一组 点，将分割为若干个子区间 。将此时段当作以速度作等速运动, 其。于是第时段内的位移 , , .整个位移的近似值： .（2）无限分细，求取极限: 从常理想象，当各个小时段的最大值=趋向于零时，如果和式的极限：存在，则这个极限就应该是时段的位移。二 黎曼积分的定义 定义1：设函数。在区间上任分、任取构成积分和式，即： （1）将任作一分划，即 在中插入一组点：, 将 分割为n个子区间: ; （2）任意取 ，构造和式：, 其中，. =如果和式极限： 存在，则称函数在(黎曼)可积，记作。该极限值称为在的定积分(值)，记为：. 其中：称为被积函数；称为积分区间；分别称为积分上、下限；称为被积分式；称为积分变量。 由上述定义可知, 黎曼积分是一个特殊的极限, 这个极限过程以较复杂, 变化过程是指所有子区间的最大长度趋向于零. 其极限的存在与任何分划和任何取法都没有关系。三定积分的几何意义定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。四定积分基本性质 定积分是一种极限，因此其性质与极限性质密切相关。性质一： 积分的线性性质：1当a=b时， 当时，2（k为常数）3 4若，则对于任意常数，有： ; 性质二：区间的可加性 若,，则,，则：; 性质三：积分的不等式性质 设,若，则：. 推论1：设, 若, 则 推论2：设但不恒为零,则, 则. () 推论3：设,则,并且.五牛顿莱布尼茨公式 定理1：( 牛顿莱布尼茨公式) 设，是在上的一个原函数，则有：.这就是Newton-Leibniz公式，又称微积分基本公式。 该公式又可写为： 示例： 例3：计算定积分 解：因为在区间是被积函数一个原函数，根据牛顿莱布尼茨公式得到：. 最好与不定积分求原函数结合起来：=例5： 计算 解： .七定积分在物理上的应用1变力作功问题 质量为的物体, 在外力的作用 (外力的方向与轴的夹角为)下，沿轴在从位移到，求外力所作的功。F(x) x . 例11在质量为的质点引力作用下，质量为质点从a点运动到b点所作的功？ 解： , 例13动能定理的推导： ,= 例14动量定理的推导： y h F(x) 0 x x+dx x dx l 2物体间引力问题 例14求线密度为的杆(杆长为) 对单位质量质点的引力。 , = =第六节 偏导一偏导数的定义及其计算法 1偏导数的定义：定义1：设函数在点（x0，y0）的某一领域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量时，相应地函数有增量：如果存在，则称此极限为函数在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作：，或类似的，可以定义函数在点（x0，y0）处对y的偏导数为：记作：，或2偏导数的计算示例：例1求在（1，2）（1，0）处对x及y的偏导数。解：把y看作常量，得： 把x看作常量，得： 把（1，2）（1，0）代入，得：例2求的偏导数解：例3 已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数)，求证：证：