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原子物理学-第一章习题参考答案.doc

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原子物理学 第一章习题参考答案 第一章习题参考答案 1.1速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞,试证明:α粒子的最大偏离角约为10-4rad. 要点分析:碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变,并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动),注意这里电子要动. 证明:设α粒子的质量为Mα,碰撞前速度为V,沿X方向入射;碰撞后,速度为V',沿θ方向散射.电子质量用me表示,碰撞前静止在坐标原点O处,碰撞后以速度v沿φ方向反冲.α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒,有: (1) (2) (3) 作运算:(2)×sinθ±(3)×cosθ,得 (4) (5) 再将(4)、(5)二式与(1)式联立,消去V’与V, 化简上式,得      (6) 若记,可将(6)式改写为   (7) 视θ为φ的函数θ(φ),对(7)式求θ的极值,有 令,则sin2(θ+φ)-sin2φ=0 即2cos(θ+2φ)sinθ=0 (1)若sinθ=0则θ=0(极小)(8) (2)若cos(θ+2φ)=0则θ=90º-2φ(9) 将(9)式代入(7)式,有 由此可得 θ≈10-4弧度(极大)此题得证. 1.2 (1)动能为5.00MeV的α粒子被金核以90°散射时,它的瞄准距离(碰撞参数)为多大?(2)如果金箔厚1.0μm,则入射α粒子束以大于90°散射(称为背散射)的粒子数是全部入射粒子的百分之几? 解:(1)依和金的原子序数Z2=79 答:散射角为90º所对所对应的瞄准距离为22.8fm. (2) 要点分析:第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.90°~180°范围的积分,关键要知道n,问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出注意推导出n值. ,其他值从书中参考列表中找. 从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197,ρAu=1.888×104kg/m3 依: 注意到: 即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数. 是常数其值为 最后结果为:dN’/N=9.6×10-5 说明大角度散射几率十分小. 1-3试问4.5MeV的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核,则结果如何? 要点分析:计算简单,重点考虑结果给我们什么启示,影响靶核大小估计的因素. 解:对心碰撞时,时, 离金核最小距离 若金核改为7Li核,m<<M则不能满足,必须考虑靶核的反冲在散射因子中,应把E理解为质心系能EC 离7Li核最小距离3.0fm。 结果说明: 靶原子序数越小,入射粒子能量越大,越容易估算准核的半径.反之易反. 1-4 ⑴ 假定金核半径为7.0fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面?⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面,那么入射质子的能量应为多少?设铝核的半径为4.0fm. 要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重时,m<<M可直接用公式计算;靶核较轻时,m<<M不满足,应考虑靶核的反冲,用相对运动的质心系来解. 79AAu=196;13AAl=27 解:⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m<<M,则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为,时, 即 即: ⑵若金核改为铝核,m<<M则不能满足,必须考虑靶核的反冲在散射因子中,应把E理解为质心系能EC E=9.2MeV 说明靶核越轻、Z越小,入射粒子达到靶核表面需要能量越小. 1-5动能为1.0MeV的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm2的金箔上,记数器的记录以60°角散射的质子.计数器圆形输入孔的面积为1.5cm2,离金箔散射区的距离为10cm,输入孔对着且垂直于射到它上面的质子,试问:散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少?(质量厚度ρm定义为单位面积的质量ρm=ρt,则ρ=ρm/t其中ρ为质量密度,t为靶厚). 要点分析:没给直接给nt.设置的难点是给出了质量厚度,计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t.需推导其关系. 解:输入圆孔相对于金箔的立体角为 AAu=197 θ=60º 注意密度为单位体积的质量,单位体积内的粒子数为 依公式 1-6一束α粒子垂直射至一重金属箔上,试求α粒子被金属箔散射后,散射角大于60°的α粒子与散射角大于90°的粒子数之比. 要点分析:此题无难点,只是简单积分运算. 解:依据散射公式 因为 同理算出 可知 补:求积分式的积分结果 解:积分式的积分结果 = 结果: 还有另外一种求解方法. 1-7单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的钽箔上,这时以散射角θ0>20˚散射的相对粒子数(散射粒子数与入射数之比)为4.0×10-3.试计算:散射角θ=60°角相对应的微分散射截面. 要点分析:重点考虑质量厚度与nt关系. 解:ρm=2.0mg/cm2 ATa=181;ZTa=73;θ=60º 依微分截面公式 知该题重点要求出a2/16。 由公式 所以 1-8(1)质量为m1的入射粒子被质量为m2(m2<<m1)的静止靶核弹性散射,试证明:入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角θ由下式决定.(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射,试问:它在实验室坐标系中最大的散射角为多大? 要点分析:同第一题结果类似. 证明: (1) (2) (3) 作运算:(2)×sinθ±(3)×cosθ,得 (4) (5) 再将(4)、(5)二式与(1)式联立,消去V’与v,得     化简上式,得         (6) 若记,可将(6)式改写为         (7) 视θ为φ的函数θ(φ),对(7)式求θ的极值,有 令,则 sin2(θ+φ)-sin2φ=0,即2cos(θ+2φ)sinθ=0 (1)若sinθ=0,则θ=0(极小)(8) (2)若cos(θ+2φ)=0 则θ=90º-2φ(9)将(9)式代入(7)式,有 由此可得  若m2=m1 则有 此题得证. 1-9动能为1.0Mev的窄质子束垂直地射到质量厚度(ρt)为1.5mg/cm2的金箔上,若金箔中含有百分之三十的银,试求散射角大于30°的相对质子数为多少? 要点分析:此题靶为一个复合材料靶,比例按照质量比计算.关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数,即可积分计算. 从书后表可知: ZAu=79,AAu=197,ρAu=1.888×104kg/m3;ZAg=47,AAg=108,ρAg=1.05×104kg/m3. 解:先求金箔的厚度t ρt=(0.7ρAu+0.3ρAg)t=1.5mg/cm2 (此种处理科学否?)是原子数之比,还是质量之比还是? 这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为 和 再计算质子被金原子与银原子散射到θ>30°范围内的相对数目.被金原子散射的相对数目为: 式中,N为入射质子总数,dNAu’为被金原子散射到θ>30°范围内的质子数.同理可得质子被银原子散射的相对数目为: 被散射的相对质子总数为 将已知数据代入: NA=6.02×1023,E=1.0MeV,t=0.916μm,ZAu=79,AAu=197,ρAu=18.88×103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,ρAg=10.5×103kg/m3 η≈1.028×10-5 结果讨论:此题是一个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决.我们需要这样灵活运用能力. 1-10由加速器产生的能量为1.2MeV、束流为5.0nA的质子束,垂直地射到厚为1.5μm的金箔上,试求5min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数.金的密度(ρ=1.888×104kg/m3)[1]59°~61°;[2]θ>θ0=60°[3]θ<θ0=10° 要点分析:解决粒子流强度和入射粒子数的关系. 注意:第三问,因卢瑟福公式不适用于小角(如0º)散射,故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数,再用总入射粒子数去减,即为所得. 解:设j为单位时间内入射的粒子数,I为粒子流强度,因I=je,j=I/e,时间T=5min内单位面积上入射的质子的总数为N个: 再由卢瑟福公式,单位时间内,被一个靶原子沿θ方向,射到dΩ立体角内的质子数为: 单位时间内,被所有靶原子沿θ方向,射到dΩ立体角内的质子数为 式中,n为单位体积的粒子数,它与密度的关系为: 所以,上式可写为 [1] [2]仍然像上式一样积分,积分区间为60°-180°,然后用总数减去所积值.即θ>θ0=60°的值. [3]由于0°的值为无穷大,无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分,积分区间为10°-180°,然后用总数减去所积值,即θ<θ0=10°的值. 总数为9.36×1012-7.56×1011=8.6×1012(个)
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