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原子物理学 第一章习题参考答案
第一章习题参考答案
1.1速度为v的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞,试证明:α粒子的最大偏离角约为10-4rad.
要点分析:碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变,并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动),注意这里电子要动.
证明:设α粒子的质量为Mα,碰撞前速度为V,沿X方向入射;碰撞后,速度为V',沿θ方向散射.电子质量用me表示,碰撞前静止在坐标原点O处,碰撞后以速度v沿φ方向反冲.α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒,有:
(1)
(2)
(3)
作运算:(2)×sinθ±(3)×cosθ,得
(4)
(5)
再将(4)、(5)二式与(1)式联立,消去V’与V,
化简上式,得
(6)
若记,可将(6)式改写为
(7)
视θ为φ的函数θ(φ),对(7)式求θ的极值,有
令,则sin2(θ+φ)-sin2φ=0
即2cos(θ+2φ)sinθ=0
(1)若sinθ=0则θ=0(极小)(8)
(2)若cos(θ+2φ)=0则θ=90º-2φ(9)
将(9)式代入(7)式,有
由此可得
θ≈10-4弧度(极大)此题得证.
1.2 (1)动能为5.00MeV的α粒子被金核以90°散射时,它的瞄准距离(碰撞参数)为多大?(2)如果金箔厚1.0μm,则入射α粒子束以大于90°散射(称为背散射)的粒子数是全部入射粒子的百分之几?
解:(1)依和金的原子序数Z2=79
答:散射角为90º所对所对应的瞄准距离为22.8fm.
(2) 要点分析:第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.90°~180°范围的积分,关键要知道n,问题不知道nA,但可从密度与原子量关系找出注意推导出n值.
,其他值从书中参考列表中找.
从书后物质密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197,ρAu=1.888×104kg/m3
依:
注意到:
即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数.
是常数其值为
最后结果为:dN’/N=9.6×10-5
说明大角度散射几率十分小.
1-3试问4.5MeV的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7Li核,则结果如何?
要点分析:计算简单,重点考虑结果给我们什么启示,影响靶核大小估计的因素.
解:对心碰撞时,时,
离金核最小距离
若金核改为7Li核,m<<M则不能满足,必须考虑靶核的反冲在散射因子中,应把E理解为质心系能EC
离7Li核最小距离3.0fm。
结果说明:
靶原子序数越小,入射粒子能量越大,越容易估算准核的半径.反之易反.
1-4 ⑴ 假定金核半径为7.0fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面?⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面,那么入射质子的能量应为多少?设铝核的半径为4.0fm.
要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重时,m<<M可直接用公式计算;靶核较轻时,m<<M不满足,应考虑靶核的反冲,用相对运动的质心系来解.
79AAu=196;13AAl=27
解:⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m<<M,则入射粒子与原子核之间能达到的最近距离为,时,
即
即:
⑵若金核改为铝核,m<<M则不能满足,必须考虑靶核的反冲在散射因子中,应把E理解为质心系能EC
E=9.2MeV
说明靶核越轻、Z越小,入射粒子达到靶核表面需要能量越小.
1-5动能为1.0MeV的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5mg/cm2的金箔上,记数器的记录以60°角散射的质子.计数器圆形输入孔的面积为1.5cm2,离金箔散射区的距离为10cm,输入孔对着且垂直于射到它上面的质子,试问:散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少?(质量厚度ρm定义为单位面积的质量ρm=ρt,则ρ=ρm/t其中ρ为质量密度,t为靶厚).
要点分析:没给直接给nt.设置的难点是给出了质量厚度,计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t.需推导其关系.
解:输入圆孔相对于金箔的立体角为
AAu=197
θ=60º
注意密度为单位体积的质量,单位体积内的粒子数为
依公式
1-6一束α粒子垂直射至一重金属箔上,试求α粒子被金属箔散射后,散射角大于60°的α粒子与散射角大于90°的粒子数之比.
要点分析:此题无难点,只是简单积分运算.
解:依据散射公式
因为
同理算出
可知
补:求积分式的积分结果
解:积分式的积分结果
=
结果:
还有另外一种求解方法.
1-7单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的钽箔上,这时以散射角θ0>20˚散射的相对粒子数(散射粒子数与入射数之比)为4.0×10-3.试计算:散射角θ=60°角相对应的微分散射截面.
要点分析:重点考虑质量厚度与nt关系.
解:ρm=2.0mg/cm2
ATa=181;ZTa=73;θ=60º
依微分截面公式
知该题重点要求出a2/16。
由公式
所以
1-8(1)质量为m1的入射粒子被质量为m2(m2<<m1)的静止靶核弹性散射,试证明:入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角θ由下式决定.(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射,试问:它在实验室坐标系中最大的散射角为多大?
要点分析:同第一题结果类似.
证明:
(1)
(2)
(3)
作运算:(2)×sinθ±(3)×cosθ,得
(4)
(5)
再将(4)、(5)二式与(1)式联立,消去V’与v,得
化简上式,得
(6)
若记,可将(6)式改写为
(7)
视θ为φ的函数θ(φ),对(7)式求θ的极值,有
令,则 sin2(θ+φ)-sin2φ=0,即2cos(θ+2φ)sinθ=0
(1)若sinθ=0,则θ=0(极小)(8)
(2)若cos(θ+2φ)=0
则θ=90º-2φ(9)将(9)式代入(7)式,有
由此可得
若m2=m1
则有
此题得证.
1-9动能为1.0Mev的窄质子束垂直地射到质量厚度(ρt)为1.5mg/cm2的金箔上,若金箔中含有百分之三十的银,试求散射角大于30°的相对质子数为多少?
要点分析:此题靶为一个复合材料靶,比例按照质量比计算.关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数,即可积分计算.
从书后表可知:
ZAu=79,AAu=197,ρAu=1.888×104kg/m3;ZAg=47,AAg=108,ρAg=1.05×104kg/m3.
解:先求金箔的厚度t
ρt=(0.7ρAu+0.3ρAg)t=1.5mg/cm2 (此种处理科学否?)是原子数之比,还是质量之比还是?
这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为
和
再计算质子被金原子与银原子散射到θ>30°范围内的相对数目.被金原子散射的相对数目为:
式中,N为入射质子总数,dNAu’为被金原子散射到θ>30°范围内的质子数.同理可得质子被银原子散射的相对数目为:
被散射的相对质子总数为
将已知数据代入:
NA=6.02×1023,E=1.0MeV,t=0.916μm,ZAu=79,AAu=197,ρAu=18.88×103kg/m3,ZAg=47,AAg=108,ρAg=10.5×103kg/m3
η≈1.028×10-5
结果讨论:此题是一个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决.我们需要这样灵活运用能力.
1-10由加速器产生的能量为1.2MeV、束流为5.0nA的质子束,垂直地射到厚为1.5μm的金箔上,试求5min内被金箔散射到下列角间隔内的质子数.金的密度(ρ=1.888×104kg/m3)[1]59°~61°;[2]θ>θ0=60°[3]θ<θ0=10°
要点分析:解决粒子流强度和入射粒子数的关系.
注意:第三问,因卢瑟福公式不适用于小角(如0º)散射,故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数,再用总入射粒子数去减,即为所得.
解:设j为单位时间内入射的粒子数,I为粒子流强度,因I=je,j=I/e,时间T=5min内单位面积上入射的质子的总数为N个:
再由卢瑟福公式,单位时间内,被一个靶原子沿θ方向,射到dΩ立体角内的质子数为:
单位时间内,被所有靶原子沿θ方向,射到dΩ立体角内的质子数为
式中,n为单位体积的粒子数,它与密度的关系为:
所以,上式可写为
[1]
[2]仍然像上式一样积分,积分区间为60°-180°,然后用总数减去所积值.即θ>θ0=60°的值.
[3]由于0°的值为无穷大,无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分,积分区间为10°-180°,然后用总数减去所积值,即θ<θ0=10°的值.
总数为9.36×1012-7.56×1011=8.6×1012(个)
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