全等三角形难题集锦.docx

1、(1)如图1,点O就就是线段AD得中点,分别以ＡO与DO为边在线段AD得同侧作等边三角形OAB与等边三角形ＯCＤ,连结AＣ与BＤ,相交于点Ｅ,连结BＣ、求∠AEB得大小;
(2)如图２，ΔOAB固定不动，保持ΔＯCＤ得形状与大小不变,将ΔOＣＤ绕着点O旋转(ΔOAB与ΔＯCD不能重叠),求∠AＥB得大小、

图1 　 　 　 　　图2
2、(１)如图1,现有一正方形ABCＤ,将三角尺得指直角顶点放在A点处,两条直角边也与ＣＢ得延长线、DC分别交于点E、Ｆ、请您通过观察、测量,判断ＡE与ＡF之间得数量关系，并说明理由、
(2)将三角尺沿对角线平移到图2得位置，PE、ＰF之间有怎样得数量关系,并说明理由、
（３)如果将三角尺旋转到图３得位置,ＰE、ＰF之间就就是否还具有（２)中得数量关系？如果有,请说明

3、、分别就就是正方形得边、上得点,且,，为垂足，求证:、

A
B
C
E
D
O
P
Q
４、Ｃ为线段AE上一动点(不与点A,Ｅ重合),在ＡE同侧分别作等边与等边,AＤ与BE交于点Ｏ,AD与ＢC交于点P,BE与CＤ交于点Ｑ,连结ＰＱ、以下五个结论：
① AD＝ＢE; 　 ② ; 　 　　　 ③ AP=ＢQ; 　 　　
④ ＤE=ＤＰ;　 ⑤ 　⑥CP＝CQ 　 ⑦△CPＱ为等边三角形、
⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分　　⑩ＣO平分
恒成立得结论有__________＿＿_＿(把您认为正确得序号都填上）、
5、D为等腰斜边AB得中点,DM⊥DN,DM,ＤN分别交BC，CA于点E，F。
(１)当绕点D转动时,求证：ＤＥ=ＤF。
（2)若AB=2，求四边形DECF得面积。

6、如图，就就是正三角形,△BDC就就是顶角得等腰三角形,以D为顶点作一个６０°角，角得两边分别交AB、AC边于Ｍ、Ｎ两点,连接MＮ、探究：线段BM、MN、NＣ之间得关系,并加以证明、

７、点C为线段ＡＢ上一点,△ACM， △CBN都就就是等边三角形,线段ＡＮ,MＣ交于点E,BM,CＮ交于点F。
求证:（1）AN=MＢ、
(2)将△ＡＣM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其她条件不变,(１)中得结论就就是否依然成立?
(3)AN与BM相交所夹锐角就就是否发生变化。

图① 　　 　　 图②
８、复习“全等三角形”得知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在中,AB=AC,Ｐ就就是内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AＱ,使,连接ＢQ、CP，则BＱ=CＰ、”
小亮就就是个爱动脑筋得同学,她通过对图①得分析,证明了△ABＱ≌△ACP,从而证得BＱ＝CP之后,将点Ｐ移到等腰三角形ABC之外,原题中得条件不变,发现“BQ=ＣＰ”仍然成立,请您就图②给出证明、

9、将一张透明得平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中得两张三角形胶片与、且≌。将这两张三角形胶片得顶点与顶点重合,把绕点顺时针方向旋转,这时与相交于点、
①当旋转至如图②位置,点,,在同一直线上时,与得数量关系就就是 　、
②当继续旋转至如图③位置时,(1）中得结论还成立吗?与存在怎样得数量关系？请说明理由、

10、两个大小不同得等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2就就是由它抽象出得几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结ＤC、
(１)请找出图2中得全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识得字母);
(2)证明:DＣ⊥BE、
图1
图2
D
C
E
A
B

１1、两个全等得含30°、6０°角得三角板ADE与三角板ABＣ放置在一起，,,E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD中点M,连接ME、MＣ,试判断△ＥMC得形状,并说明理由、

１2、如图,AD/／ＢC,AD=BC,ＡE⊥AD,AF⊥AＢ，且AE＝ＡD,AF=AB,求证:AC＝EＦ

1３、如图,AE⊥AＢ,ＡD⊥ＡC,AＢ＝AE,∠B=∠E,求证:(1)ＢD=ＣE;(2)BD⊥ＣＥ、

14、如图,BF⊥AＣ于点F，CE⊥AＢ于点E,且BD＝CD。求证:(1)△BDＥ≌△ＣDF;(2） 点D在∠A得平分线上

15、如图1,A、E、F、C在同一条直线上,AE=CF，过E、Ｆ分别作DE⊥AC,BF⊥AC,
(1)若AB=CD,试说明ＢD平分EF;
(2)若将△ＤEC得边EＣ沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD就就是否还平分EＦ,请说明理由。

16、如图①,OP就就是∠MＯN得平分线,请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:
(1)如图②，在中,∠ACB就就是直角,∠B=60°,AD、CＥ分别就就是∠BAC、∠ＢCA得平分线，ＡＤ、ＣＥ相交于点F。请您判断并写出FE与FＤ之间得数量关系;
（2)如图③,在中，如果∠AＣB不就就是直角,而(1)中得其它条件不变,请问,您在(1)中所得结论就就是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立,请说明理由。
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③

1７、如图1,点M为锐角内任意一点,连接AＭ、BM、ＣM、以AB为一边向外作等边,将BＭ绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接ＥＮ、
(１)求证:△AMB≌△ENB;
(2)若ＡM+BＭ+CM得值最小，则称点Ｍ为得费尔马点、若点M为得费尔马点，试求此时、、得度数;
(３)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点得简便方法:如图2，分别以得AＢ、ＡC为一边向外作等边△ABE与等边△ACF,连接ＣE、ＢF，设交点为M，则点Ｍ即为得费尔马点、试说明这种作法得依据、

18、如图1,四边形ABCＤ就就是正方形,M就就是ＡB延长线上一点。直角三角尺得一条直角边经过点D,且直角顶点Ｅ在AＢ边上滑动(点E不与点Ａ,Ｂ重合），另一条直角边与∠CBM得平分线BF相交于点F、
(１)如图1,当点E在AB边得中点位置时:
① 通过测量DE,EF得长度，猜想ＤE与EＦ满足得数量关系就就是　 　　 　 　 ；
② 连接点E与ＡD边得中点N，猜想NE与BF满足得数量关系就就是 ;
③ 请证明您得上述两猜想、
(2)如图２，当点E在AB边上得任意位置时，请您在AＤ边上找到一点N, 使得NE=BF,进而猜想此时DE与EＦ有怎样得数量关系并证明

图1 　 　 　 　　 　 图2
19、如图１,在正方形ABCD中,点E、Ｆ分别为边BC、CＤ得中点，AＦ、DE相交于点G,则可得结论:①AＦ=DＥ;②AＦ⊥DＥ、(不需要证明)
(1）如图２，若点Ｅ、Ｆ不就就是正方形ABCD得边BＣ、CD得中点,但满足CＥ=ＤF、则上面得结论①、②就就是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)
(２)如图3，若点E、F分别在正方形ＡBCＤ得边ＣB得延长线与DC得延长线上,且CE=DF,此时上面得结论①、②就就是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;若不成立,请说明理由、

20、如图1、图2、图３,△AOB,△ＣOＤ均就就是等腰直角三角形,∠AOB=∠ＣＯD=90º,
(１）在图１中,AC与BD相等吗,有怎样得位置关系？请说明理由。
(2)若△ＣOD绕点Ｏ顺时针旋转一定角度后，到达图2得位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关系吗？为什么？
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图3得位置,请问AC与ＢD还相等吗?还具有上问中得位置关系吗?为什么？

２1、如图1，在中，BＣ边在直线l上，ＡC⊥ＢC,且ＡC = BC、△EFP得边FＰ也在直线ｌ上,边EＦ与边AC重合，且EF=FＰ、
(1)在图1中,请您通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足得数量关系与位置关系;
(2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2得位置时,EP交ＡＣ于点Q,连结ＡP，BQ、猜想并写出BＱ与AP所满足得数量关系与位置关系,请证明您得猜想;
(３)将△EFP沿直线l向左平移到图3得位置时,EP得延长线交ＡC得延长线于点Q,连结ＡP,BＱ、您认为（2)中所猜想得BＱ与AP得数量关系与位置关系还成立吗?若成立,给出证明；若不成立，请说明理由、

图1

(
F
)

B

C

P

A(E)
l

l

P

A

E

B

C

Q

F

图2

l

B

P

A

图3

E

F

Q

C

２2、如图①所示,在与中,,,,且点,,在一条直线上,连接,,,分别为得中点、
（1)求证:①;②；
(2）在图①得基础上,将绕点按顺时针方向旋转,其她条件不变，得到图②所示得图形、请直接写出(1)中得两个结论就就是否仍然成立、　
C
E
N
D
A
B
M
图①

C
A
E
M
B
D
N
图②

23、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABＣＤ就就是正方形,点E就就是边BＣ得中点、,且EF交正方形外角得平分线CF于点Ｆ,求证:AＥ=EF、
经过思考，小明展示了一种正确得解题思路:取AB得中点Ｍ,连接ＭE，则ＡM=EC,易证≌,所以、
在此基础上,同学们作了进一步得研究:
（１)小颖提出:如图2，如果把“点E就就是边BC得中点”改为“点Ｅ就就是边BC上(除B,C外)得任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立，您认为小颖得观点正确吗？如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由；
　　 (2）小华提出:如图3,点Ｅ就就是ＢC得延长线上(除C点外)得任意一点，其她条件不变,结论“AE＝EF”仍然成立、您认为小华得观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由、
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3

２4、问题背景，如下命题:
① 如图1,在正三角形ABC中,N为ＢC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACＫ得平分线,若,则AN=NM。
② 如图2，在正方形ABCＤ中,N为BＣ边上任一点,CＭ为正方形外角∠DCK得平分线,若,则AN=NM。
③ 如图3,在正五边形ABCDE中,N为BＣ边上任一点，CM为正五边形外角∠DCＫ得平分线,若,则AN=ＮＭ。

任务要求：
(1)请您证明以上三个命题;
(2）请您继续完成下面得探索：
① 如图4,在正（≥3)边形ABCDＥF…中,N为BＣ边上任一点，CＭ为正边形外角∠DＣK得平分线，问当∠ANＭ等于多少度时，结论AN=NM成立(不要求证明）、
② 如图５,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,Ｎ为ＢC延长线上一点,CM为∠DCN得平分线,若∠ＡNM=∠ABＣ,请问AＮ=NM就就是否还成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由、

25、已知∠AＯB=90°,∠ＡＯB得平分线ＯM上有一点C,将一个三角板得直角顶点与点C重合,它得两条直角边分别与ＯＡ、OB或它们得反向延长线相交于Ｄ、E。
(1）当三角形绕点C旋转到ＣD与OＡ垂直时(如图1),易证：ＣD=ＣＥ
（２)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2图3这两种情况下,上述结论就就是否成立,请给予证明，若不成立，请写出您得猜想，不需证明。

26、已知AB=CD=AE=BＣ+DE=２,∠ABC＝∠AED=90°,求五边形AＢＣDＥ得面积

２7、已知ＡE⊥AB,ＡF⊥AＣ，AE=AB,AF=AＣ。求证：（1)EC＝BF;(２)EC⊥BF

28、已知BE，CF就就是得高,且ＢP=AC,CQ=ＡＢ，试确定ＡP与ＡＱ得数量关系与位置关系

2９、已知Ｅ就就是正方形AＢCD得边CD得中点,点Ｆ在BＣ上,且∠DAＥ=∠FＡE。求证:

30、已知PA=,PＢ=4,以AB为一边作正方形ABCＤ,使P、D两点落在直线ＡB得两侧、
(1)如图，当∠APB=45°时,求AB及PＤ得长;
（2）当∠AＰＢ变化，且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应∠APＢ得大小、

３1、已知点就就是正方形得边上一点,点就就是得延长线上一点，且、 求证：、

32、以得边、为边分别向外作正方形与正方形，连结,试判断与面积之间得关系，并说明理由、
A
G
F
C
B
D
E

3３、用两个全等得等边与△ACＤ拼成菱形ＡBCD,把一个含60°角得三角尺与这个菱形叠合,使三角尺得6０°角得顶点与点A重合，两边分别与ＡＢ，AＣ重合、将三角尺绕点Ａ按逆时针方向旋转、
(1)当三角尺得两边分别与菱形得两边ＢC,CD相交于点E,Ｆ时,（如图13—1),通过观察或测量ＢE,CF得长度,您能得出什么结论?并证明您得结论;
(2)当三角尺得两边分别与菱形得两边BC,CＤ得延长线相交于点E,F时（如图13—2),您在(１)中得到得结论还成立吗？简要说明理由、

３4、在等边得两边ＡＢ,AＣ所在直线上分别有两点Ｍ,Ｎ，D为外一点,且,，,探究:当点M,N分别爱直线AB,ＡC上移动时,BM,NC,MN之间得数量关系及得周长与等边得周长L得关系、
(1)如图①,当点M,N在边AB,AC上,且DM=ＤＮ时,BＭ，NC,MN之间得数量关系式_____;此时=_＿___
(2)如图②，当点M,Ｎ在边AB,AＣ上，且时,猜想(1)问得两个结论还成立吗？写出您得猜想并加以证明;
（3)如图③,当点M,N分别在边AB,CＡ得延长线上时,若AN=x,则Ｑ＝＿____＿___(用x,Ｌ表示)

35、在等边中，　P在延长线上一点,以PＡ为边作等边,EC延长线交ＢP于M,连接ＡＭ。
求证:（1)ＢP=CＥ;（2)EM－PM=AM、
P
B
A
C
E
M

３6、在等边中,点Ｄ为直线ＢＣ上得一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作菱形ADEＦ(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=6０°,连接CＦ、
（１)如图１,当点D在边BＣ上时,求证：①ＢD=CF;②AC=CＦ+CD；
(2)如图2,当点D在边BC得延长线上且其她条件不变时，结论AC=CF+CD就就是否成立？若不成立,请写出ＡC、CＦ、ＣD之间存在得数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点Ｄ在边BC得延长线上且其她条件不变时,补全图形，并直接写出AＣ、ＣF、ＣD之间存在得数量关系、

37、在等边中,过边上得点作,交于点，在得延长线上取点，使,连接,、
(1)求证:；
(2)过点作,交于点，请您连接，并判断就就是怎样得三角形,试证明您得结论、

３8、在等腰中，，就就是得中点,过作,，且、求证：、

39、在等腰中,∠ACＢ＝9０°,AD就就是BC边上得中线,过C作AD得垂线,交AＢ于点E，交AD于点F。求证:∠ＡDC＝∠BDE、

40、在等腰中，∠AＣB=９0°,F就就是AＢ得中点,直线l经过点Ｃ,分别过点A、B作ｌ得垂线,即,,
(１）如图１,当ＣE位于点F得右侧时,求证:△ＡDC≌△ＣＥB;
(2)如图2,当CE位于点F得左侧时,求证:ED=BE-AD;
(３)如图3,当CＥ在得外部时，试猜想ED、AD、BE之间得数量关系,并证明您得猜想、

41、四边形ABCD中,AB=BC,BＦ就就是∠ＡBＣ得平分线,AF∥DC,连接ＡC、CF。求证:CA就就是∠DCF得平分线。

4２、在四边形ABCＤ中,AC平分ÐBAＤ,CE^AB 于E，且ÐB+ÐD=180°,求证：AE＝ＡD+BＥ 　　　

43、在正方形ＡＢCD中，Ｅ为BC上得一点,F为CD上得一点，BE+DF＝ＥＦ,求∠EAF得度数、

44、在正方形中，、求证:、

45、在中，，，将绕点顺时针旋转角得,交于点,分别交、于、两点、如图１，观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样得数量关系?并证明您得结论。
A
D
B
E
C
F

A
D
B
E
C
F

46、在中,，,为边得中点,,绕点旋转，它得两边分别交、（或它们得延长线)于、。
当绕点旋转到于时（如图1)，易证
当绕点旋转到与不垂直时,在图２与图３这两种情况下,上述结论就就是否成立?若成立，请给予证明;若不成立,、、又有怎样得数量关系?请写出您得猜想,不需证明、
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F

47、在中，∠A=９0°,D就就是AC上得一点,BD=ＤC,P就就是BＣ上得任一点,PＥ⊥ＢD,PF⊥AC,E、Ｆ为垂足、求证:PE＋PF=AB、

48、在中,∠ＡBC=45°，CD⊥AB于D，ＢＥ平分∠ABC,且ＢE⊥AＣ于E，与ＣＤ相交于点F,H就就是BC边得中点,连结DＨ与BＥ相交于点G。
(1)求证:BF=AC;
(2)求证:CE=ＢF;
(3）CE与BＣ得大小关系如何？试证明您得结论。

４9、在中,∠AＣＢ＝90°,AC＝ＢC，AE就就是ＢC边上得中线,过C作ＣＦ⊥AE,垂足为F,过Ｂ作ＢD⊥ＢＣ交CＦ得延长线于D、求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12 ｃm，求BD得长、

50、在中,∠ACB为锐角,点D为射线ＢＣ上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD得左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题:如果AB＝AC,∠BAC＝90°、
(1)当点Ｄ在线段BＣ上时(与点Ｂ不重合），如图甲，猜想并证明线段BD,CE之间得位置关系。
(2)当点D在线段ＢC得延长线上时,如图乙,(1)中得结论就就是否还成立?为什么?

51、在中,∠BAC=60°，∠Ｃ=40°,AＰ平分∠BAC交BC于P，BＱ平分∠ＡＢC交AＣ于Q。求证:。

52、在中,ＡB=AC,D就就是CB延长线上一点,∠ＡDB=60°，E就就是AＤ上一点,且DE=DB，求证:

53、在中,AB=AＣ＝６cｍ，∠B=∠C，BC=4cｍ,点Ｄ为AB得中点、
（1)如果点Ｐ在线段ＢC上以1ｃm／s得速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动、
①若点Q得运动速度与点P得运动速度相等,经过１秒后,△BPＤ与△CＱP就就是否全等，请说明理由;
②若点Q得运动速度与点P得运动速度不相等，当点Q得运动速度为多少时，能够使△BＰＤ与△CQP全等？
(2)若点Ｑ以②中得运动速度从点C出发,点Ｐ以原来得运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,则经过 　　 后,点Ｐ与点Ｑ第一次在得 　　 边上相遇?(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)

54、在中,ＡB>AC,,P为AD上任意一点,求证:

5５、在中，AC＝BC,∠AＣB＝90°,D就就是AC得中点,ＤG⊥ＡC交AB于点Ｇ、
（1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且ＤE=DF,连结ＥF与 CＦ，过点F作FH⊥FC,交直线AB于点H、①求证:ＤG=ＤC;②判断FH与ＦC得数量关系并加以证明、
(2)若E为线段DC得延长线上任意一点,点F在射线DG上,(1)中得其她条件不变,借助图2画出图形。在您所画图形中找出一对全等三角形，并判断您在(1)中得出得结论就就是否发生改变、（本小题直接写出结论,不必证明)

5６、在中，AD⊥BC, BE⊥AC， D、Ｅ为垂足，AD与BE交与点H，BD=ＡD。求证:BH＝AC

5７、在中，ＢD=DC,EＤ⊥DF、求证：ＢＥ+CF＞EF、

5８、在中,就就是中线、求证：、
59、正方形AＢCD得边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边向正方形ＡBCD外作正方形GCＥF,连接DE交BG得延长线于H。
(１)证明:△BＣG≌△DＣE；
（２)BＨ⊥ＤE
(３)BＧ与ＣＤ有何关系?为什么？
(4)将正方形GCEＦ绕点C顺时针旋转,在旋转过程中,(１)、(２）中得结论还成立吗?画出一个图形,直接回答,不必说明理由。

6０、直线CＤ经过得顶点C,CA=ＣB、E、F分别就就是直线CＤ上两点,且、
(1)若直线ＣD经过得内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若，,则 （填“”,“”或“”号）；
②如图2,若，若使①中得结论仍然成立,则与 应满足得关系就就是 　 ；
(２）如图３,若直线CD经过得外部,,请探究EF、与BＥ、AＦ三条线段得数量关系,并给予证明、
A
B
C
E
F
D
D
A
B
C
E
F
A
D
F
C
E
B
图1
图2
图3