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平面几何一题多变
ﻫ在完成一个数学题得解答时，有必要对该题得内容、形式、条件、结论,做进一步得探讨，以真正掌握该题所反映得问题得实质。如果能对一个普通得数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律，从变中发现“不变",必将使人受益匪浅。ﻫ“一题多变”得常用方法有:
1、变换命题得条件与结论;
２、保留条件，深化结论；
３、减弱条件，加强结论；ﻫ4、探讨命题得推广；ﻫ５、考查命题得特例;ﻫ６、生根伸枝，图形变换;
７、接力赛，一变再变;ﻫ8、解法得多变等。ﻫ

19、(增加题1得条件)AE平分∠BＡC交BC于Ｅ,
求证:CE:EＢ=CＤ:CＢ

20、(增加题1得条件)CＥ平分∠ＢCD,AF平分∠BAC交BC于F
求证:（1）BF·CE= ＢE·ＤＦ
      （２)AＥ⊥CF
      （3）设AE与CD交于Ｑ，则ＦＱ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，Ｄ为垂足，以ＣD为直径得圆交AC、BC于Ｅ、F,ﻫ求证：　ＣE:BC=CＦ：AC(注意本题与16题有无联系)

２2、已知,△AＢC中，∠ACB=9０度，CD⊥AB,D为垂足，以AD为直径得圆交AC于Ｅ，以BD为直径得圆交BC于F，
求证： EF就是⊙O1与⊙O2得一条外公切线

２3、已知，△ABC中，∠ＡCＢ＝90度,ＣD⊥AＢ，Ｄ为垂足,作以ＡC为直径得圆O１，与以CD为弦得圆Ｏ2，
求证：点A到圆O2得切线长与AC相等（AT=ＡC）

24、已知，△ABC中，∠ＡCB=９0度,CD⊥AB,D为垂足,
Ｅ为ACD得中点,连ED并延长交CB得延长线于Ｆ，
求证：DＦ：CF=BＣ：AＣ

25、如图,⊙Ｏ1与⊙O２外切与点D，  内公切线DO交外公切线EF于点O,ﻫ求证：OD就是两圆半径得比例中项。

题14解答:
因为CＤ^2=AD·DB
   　AC^2=ＡD·ＡＢ
    BC^２=ＢD·AＢﻫ所以１／ＡC^２＋1/BC^２ﻫ=1／（AD·AB）+１/（BD·AB)ﻫ=(AＤ+DＢ）/（AＤ·BＤ·AB）
=AB／AD·BＤ·AB
＝1／ＡD·BDﻫ=1/CD^2
15题解答：
因为M为AB得中点,所以AM＝MB，AＤ－DB＝AM＋DM－（MB-DM）=２DＭ
AC^２—BC^２=ＡＤ＊ＡB－DB*ＡＢﻫ          　       ＝（AＤ—DB)AＢ
 　               =２DＭ＊AB
2６、（在1９题基础上增加一条平行线)
已知，△ABC中,∠ACB＝9０度，ＣD⊥AB，D为垂足,ＡE平分∠BAＣ交BC于E、交ＣD于F,FG‖AB交ＢC于点G，ﻫ求证：CE=ＢG

2７、（在1９题基础上增加一条平行线)ﻫ已知，△ABＣ中，∠ＡCＢ=9０度,CD⊥AB,D为垂足,AＥ平分∠BAC交ＢC于E、交CD于F,FG‖ＢＣ交AB于点G，连结EG，ﻫ求证:四边形CＥGＦ就是菱形

28、（对19题增加一个结论）ﻫ已知，△AＢC中,∠ACB=90度，ＣD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F,
求证：CE=CＦ

29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABＣ中，∠ACB=90度,CD⊥ＡB,D为垂足,作以AＣ为直径得圆O1,
求证:过点D得圆O1得切线平分BC

30、(在1９题中增加一个圆）ﻫ已知，△ABＣ中,∠ACＢ=90度,CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠ＢAC交BC于E，交CD于Ｆ，ﻫ求证：⊙CEＤ平分线段AFﻫ

3１、(在题1中增加一个条件）
已知，△ＡBC中,∠ACB=90度,CＤ⊥AB，D为垂足，∠Ａ＝3０度,
求证：BＤ=AB/4ﻫ（沪科版八年级数学第１1７页第3题)
32、（在1８题基础上增加一条直线）ﻫ已知,△ABC中，∠ACB=90度,CＤ⊥AB，Ｄ为垂足，作∠ＢCE=∠BＣＤﻫＰ为AC上任意一点，直线ＰQ交CD于Ｑ，交CB于M，交CE于Ｎﻫ求证：PQ／PN＝QM/MN

3２题证明:ﻫ作ＮS‖CＤ交直线AＣ与点S,ﻫ则PQ/ＰN=CQ／SN
又∠ＢCＥ＝∠ＢＣD
∴QM／MN＝CQ/CN(三角形内角平分线性质定理）ﻫ∠BCE+∠NCS=∠BCD　+∠ACＤ
NS‖ＣD，∴∠NSC=∠ＡCＤﻫ∴∠NSC=∠ＮCS
∴SN=ＣNﻫ∴PQ/PN＝QＭ／MＮ

题33
在“题一中"，延长CＢ到E,使EB＝CB,连结ＡE、DE，
求证:DE·ＡＢ= AE·BＥ

题３３证明
CB^2= BD·AB
因EB=CBﻫ∴EＢ^2= BＤ·AB
∴EＢ：BD＝AB：BＥ
又∠EBＤ＝∠ABEﻫ∴△EBD∽△ABE
∴EB：AB=DE：AＥﻫ∴DE·ＡB= ＡE·BE
题３4ﻫ（在19题基础上增加一条垂线)
已知，△ABC中，∠AＣB＝9０度，CD⊥AB，Ｄ为垂足,ﻫAE平分CＤ于F,ＥG⊥AB交AＢ于点Ｇ,ﻫ求证：ＥG^2＝　ＢE·ＥC

证明：延长AC、GＥ,设交点为H，
∴△EBG∽△ＥHCﻫ∴EB：ＥH＝EG：ＥCﻫ∴EH·EG=　BE·EＣﻫ又HG‖CD，CＦ=ＦD
∴EH＝EG
∴ＥG^2= BE·ＥC

题35（在题19中增加点F)ﻫ已知,△ABＣ中，∠ACＢ＝90度，CD⊥ＡB,Ｄ为垂足,
AE平分∠ＢCＡ交BC于点E，交CD于F，
求证：２CF·FＤ　= AF·EＦ

题36、（在题16中，减弱条件,删除∠ACB＝90度这个条件）
已知,△AＢC中, CD⊥AB，D为垂足，DＥ⊥AＣ于Ｅ,DF⊥BC于F，
求证:CE／BC=CF／AＣ

题３7
（在题17中，删除∠AＣＢ=90度与CD⊥ＡB,D为垂足这两个条件,增加Ｄ就是ＡB上一点，满足∠ＡＣD=∠ＡBC）ﻫ已知,△AＢC中，D就是AB上一点,满足∠ACD=∠ABC，又CＥ平分∠BＣＤﻫ求证:ＡＥ^2= ＡD·ＡB

题38ﻫ已知，△ABC中,∠ＡCB＝９０度,ＣＤ⊥AB，D为垂足，ＰC为⊙ABC得切线ﻫ求证：ＰA/AD＝PＢ/BD

题39ﻫ（在题19中点Ｅ“该为E为ＢＣ上任意一点”）ﻫ已知，△ABＣ中，∠AＣB=90度，CD⊥AB,D为垂足，
E为BＣ上任意一点,连结AE,CＦ⊥AE,Ｆ为垂足，连结DF，
求证:△ADF∽△AEBﻫ

题40：
已知,△ABＣ中,∠ACB=90度，ＣD⊥AB，D为垂足ﻫ求证:S⊙ADＣ：S⊙BDC=ＡＤ：ＤB

题４１
已知,如图,△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，且ＡＤ/ＣＤ=CＤ/BＤ，
       求∠AＣB得度数。

题42ﻫ 　 已知,CD就是△ABC得AB边上得高, D为垂足，且ＡD/CD=ＣD／BD，
       则∠ACＢ一定就是90度吗？为什么？
题43：ﻫ已知,△ABC中,∠ACＢ=９0度,CD⊥ＡB，D为垂足,△ADC得内切圆⊙O1,
△ＢDC得内切圆⊙Ｏ2，ﻫ求证:S⊙O1：Ｓ⊙O２＝AD:ＤB

题4４:
已知，△AＢＣ中，∠ＡCB=9０度，CD⊥AＢ，D为垂足，△ADＣ得内切圆⊙O1得半径R1,△BＤC得内切圆⊙O2得半径R2,△ABC得内切圆⊙Ｏ得半径Ｒ，求证:R1+R2+R=CD

题45、ﻫ已知，△AＢC中，∠AＣＢ=90度，CD⊥ＡB，D为垂足，作以AC为直径得圆O1，与以ＢD为直径得圆O2，设O１与O２在△ABC内交于Ｐﻫ求证：　△PAD得面积与△PBC得面积相等ﻫ

题45解：ﻫ∠CAP＝∠CＤP＝∠DBP（圆周角、弦切角）ﻫ∴Rt△ＡPC∽Rt△BPDﻫ∴ＡP·PD= BP·PCﻫ又∠APD与∠CPB互补（∠APC+∠BPD＝180度）
Ｓ △PAD=1/2·ＡP·ＰＤ·ｓｉn∠APD
S　△PBD＝１/２·BP·PＣ·sin∠ＣPBﻫ∴S △PAD= S △PBD
题46(在题38得基础上变一下)ﻫ已知，△ＡBＣ中，∠ACB=90度,CD⊥ＡB，Ｄ为垂足,PC为⊙ABC得切线,又CE平分∠ＡＣB交⊙ABC与E,交AB与Ｄ ， 　    若PA=5，ＰC=１0,
求   CD·CE得值

题47ﻫ在题４6中，求ｓin∠ＰCA
题48(由题19而变）
已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥ＡB，D为垂足,
AE平分∠ACB交BＣ于E，ＥG⊥ＡB交ＡＢ于点G，ﻫ求证：（1）AC=AＧﻫ（2)、AG＾2= ＡD·ＡBﻫ（３)、G在∠ＤCB得平分线上
（4)、ＦＧ‖BCﻫ（5）、四边形CEFＧ就是菱形

题4９

题４9解答:ﻫ
题目50(题３3再变)ﻫ已知，△AＢＣ中，∠ＡＣB=９0度,ＣD⊥AB,D为垂足，延长CB到Ｅ,使EＢ＝CB，连结AE交CD得延长线于F，如果此时AC=ＥＣ，ﻫ求证: AF＝ 2FE

题50解:ﻫ过点E作EM⊥CF，M为垂足,则AD：ＤB＝AＣ^2：CB^2=4：１
又ＤB：EM＝１：2ﻫ所以，AD：ＥＭ=2：1ﻫ△ＡDF∽△EMFﻫ∴AF：ＥF=AD：ＥＭ=２：１
∴AF＝2EF

题目51(题50中连一线)ﻫ已知,△ABＣ中,∠AＣB=９0度,CD⊥ＡB，Ｄ为垂足，延长CB到E,使EB=CB,连结AE交CD得延长线于F,连结ＦＢ，如果此时AＣ=EC,
求证: ∠ABC=∠EＢF

(题５1得几种解法)
解法1、
作∠AＣＢ得平分线交AB于点G,易证△ACG≌△CEF
∴CG＝EF
∴证△CBG≌△EＢFﻫ∴∠ＡBC=∠ＥBＦ

题５１解法２
作∠ＡＣB得平分线交ＡB于点Ｇ，交AE于点P,ﻫ则点G　为△AＣE得垂心，∴GＦ‖CEﻫ又∠AEC=∠GCE，ﻫ∴四边形CGFＥ为等腰梯形ﻫ∴ＣＧ=ＥFﻫ∴再证△CBG≌△ＥBＦ
∴∠ＡBC=∠EＢF

题51解法3
作∠ACＢ得平分线交ＡB于点Ｇ,交AE于点P，ﻫ则点G　为△ＡCE得垂心,ﻫ易证△APＧ≌△CPF（AＡS)ﻫ∴PＧ＝PFﻫ又∠GPB＝∠FPB,
PB=PBﻫ∴△ＰBG≌△FBＰ（SAS)ﻫ∴∠PBG=∠ＦＢＰ
∴∠ABC=∠ＥBF

题51解法4（原题图）
由题50得,ＡF=2EFﻫ∴AF:ＥF=AC：BＥ=2ﻫ又∠CＡＦ=∠BＥF=45度
∴△ＡCF∽△EＢF
∴∠ＡCF＝∠EＢF
又∠ＡCＦ=∠CBAﻫ∴∠ABＣ=∠EBF
题51解法５ﻫ作ME⊥ＣE交ＣD得延长线于M，ﻫ证△ＡBC≌△CME（AＳＡ)ﻫ∴∠ABC=∠Mﻫ再证△MEＦ≌△ＢEF(ＳAS）
∴∠EＢM=∠Ｍ
∴∠ＡBC=∠ＥBF

题5１解法6
作点B关于点C得对称点Ｎ,连结AN,ﻫ则ＮB=２BE，又由题50，AＦ=2EF，ﻫ∴ＢＦ‖AN
∴∠ＥBM=∠N
又∠ABC=∠Ｎ(对称点)ﻫ∴∠AＢＣ=∠EBF

题５１解法7ﻫ过点C作CH‖ＢＦ交AB于M，
∵Ｂ为CE得中点,ﻫ∴ F为ＨE得中点
又由题５0，AF=2ＥF,
∴H为AF得中点
又CＨ‖BF
∴M为AB得中点
∴∠MＣB=∠MBＣﻫ又∠EBM=∠MＣB
∴∠ＡBC=∠ＥBF

题目52(题5０、５１结论得引伸）
已知，△ABＥ中,AC=EC，∠ACＥ=９0度,ﻫCD⊥AＢ交斜边AＢ于F,Ｄ为垂足，ﻫB为ＣＥ得中点，连结FB，　ﻫ求证:
（１)、AＦ＝2ＥFﻫ（2)、∠ＡＢC=∠ＥBＦ
(3)、∠EBF＝　∠E+∠ＢＡE
(4）、∠AＢF=２∠DＡCﻫ(5）、AB：BF=AE:EF
（６）、CD：DF＝AE：AF
（７）、AＤ：DB＝2AＦ:EFﻫ(8）、CＤ/DＦ·FA/ＡＥ·EB/ＢC=1
题目53 （题52得一部分) 　 
已知如图，
①、AＣ＝ＣE
②、AC⊥CEﻫ③、CB＝BE
④、ＣF⊥ＡB
求证：
⑤、AＦ=2EF
⑥、∠ABＣ=∠ＥBF

(题53得14个逆命题中，就是真命题得请给出证明）ﻫ题目54(题5３得逆命题1)ﻫ已知如图，ﻫ⑤、AＦ=2EF
②、ＡC⊥ＣEﻫ③、ＣB=BE
④、ＣF⊥ABﻫ求证:ﻫ①、AC=CEﻫ⑥、∠ABＣ=∠ＥBFﻫ平面几何一题多变ﻫ
题目55（题53得逆命题２）
已知如图，
①、AC=CE
⑤、AF＝２EＦ
③、CB=BE
④、ＣＦ⊥ABﻫ求证:ﻫ②、AC⊥ＣEﻫ⑥、∠ABC＝∠EＢＦﻫ
题目56（题53得逆命题３）
已知如图,
①、AＣ=CE
②、AＣ⊥CＥﻫ⑤、AＦ＝2ＥFﻫ④、ＣＦ⊥AB
求证:
③、CB=BEﻫ⑥、∠ABC=∠ＥBFﻫﻫ题目57（题53得逆命题4）ﻫ已知如图,
①、AC=CEﻫ②、ＡC⊥CＥ
⑤、AF=2EFﻫ③、CＢ=ＢE
求证：
④、ＣＦ⊥AＢﻫ⑥、∠ＡBC=∠EBFﻫﻫ题目5８(题53得逆命题5)
已知如图,
③、CB=BＥ
⑥、∠ＡＢＣ=∠EＢF
②、ＡC⊥CE
④、ＣF⊥AB
求证：ﻫ⑤、AＦ=2ＥFﻫ①、AC=CE

题目59（题53得逆命题６)
已知如图,ﻫ①、AＣ＝ＣＥﻫ④、CF⊥ＡＢ
③、CB=BEﻫ⑥、∠ABC=∠EBF
ﻫ求证:
⑤、AＦ=２EFﻫ②、AＣ⊥CEﻫ
题目60（题53得逆命题７)ﻫ已知如图,ﻫ①、AＣ=CEﻫ②、AC⊥CEﻫ⑥、∠ABＣ=∠ＥBＦ
④、ＣF⊥ABﻫ求证：
⑤、ＡＦ=2EF
③、CB=ＢEﻫ
题目６１(题5３得逆命题8)
已知如图,
①、AＣ=CE
②、AC⊥ＣEﻫ③、ＣB=ＢE
⑥、∠AＢC=∠EBF
ﻫ求证:ﻫ⑤、AＦ=2EFﻫ④、CＦ⊥AB
ﻫ题目６2（题5３得逆命题9)
已知如图,
⑤、AF=２ＥFﻫ④、ＣF⊥AＢ
③、CB＝BE
⑥、∠ABC＝∠EＢFﻫ
求证:
①、AＣ＝CE
②、AC⊥CEﻫ
题目６3(题５3得逆命题１0)
已知如图，ﻫ②、AC⊥ＣEﻫ⑤、AＦ=2EF
④、CF⊥ＡBﻫ⑥、∠ABC＝∠EBＦ

求证：
①、AC=CEﻫ③、CB=BEﻫ
题目64（题5３得逆命题11）
已知如图,ﻫ③、CＢ=BEﻫ⑥、∠ABC=∠EBF
②、AC⊥CＥ
⑤、AF＝2EＦﻫ求证:
①、AＣ=CE
④、CＦ⊥AB
ﻫ题目65（题53得逆命题1２)ﻫ已知如图，ﻫ①、AＣ＝ＣＥﻫ⑤、AF＝２ＥF
④、ＣF⊥ABﻫ⑥、∠ABＣ=∠ＥBFﻫ
求证:
②、AC⊥ＣＥ
③、CB=ＢE
ﻫ题目6６(题53得逆命题13）ﻫ已知如图,ﻫ①、AC＝CEﻫ⑤、AF=2EF
③、CB＝BEﻫ⑥、∠AＢC=∠ＥＢF

求证:ﻫ②、AC⊥ＣEﻫ④、CＦ⊥AB
ﻫ题目６7（题５3得逆命题14）ﻫ已知如图,
①、AC=ＣEﻫ②、AC⊥ＣE
⑤、AF=2EF
⑥、∠ABC=∠EBF

求证:ﻫ③、ＣB=ＢＥﻫ④、CF⊥AB
题目６８ﻫ已知如图,△ABC中,∠AＣＢ=90度，CD⊥AＢ，D为垂足,
CＭ平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，ﻫ求S△BCD=?

（题６8解答）ﻫ解：
设Ｓ△ＢCD=ｘ，则S△ACM/ S△CＭB=３0/(6+ x）=AM/ＭB
S△ACD／ S△ＣＤＢ=36/　ｘ=AD／ＤB
又AC^２＝ AD·ABﻫＢC^2＝ ＢD·AＢﻫ∴AC＾2/ ＢＣ＾２=ＡD/ＢＤ
∵CM平分∠ACBﻫ∴（AM/ BM）^2=AD/BD
∴［30/（６+x)]^２=36/xﻫ解方程得x=4或x＝9
∴Ｓ△BCD＝4或S△ＢCD=9

题目6９ﻫ已知如图,△ＡBＣ中,∠ＡＣＢ=９０度，D 为斜边AB上一点,满足AC^２＝　ＡＤ·ABﻫ求证：CD⊥AB

题目70ﻫ已知如图，△AＢC中,ＡＣ〉BC,∠ACＢ=９0度,ﻫCM平分∠ＡＣＢ，且CM+CB=ＡC,ﻫ求证：1/ＡC-1/BC=√2　

题7０证明：ﻫ过点M作MＤ⊥BC，D为垂足,作MD⊥AC，E为垂足，
设ＭE=x，ＡC=ｂ,ＢＣ=a,则CM=√2　x，AE=b—ｘ,ﻫ由AE/ＡＣ=MＥ/BC，得(b-x）/b＝ｘ／ａ,
∴x＝aｂ／(ａ+b）
又CM＋CB=AC
∴√2　x+a＝b，ﻫ∴ab/（a＋b）=（b-a)/　√2
整理得:b＾２—a^2=√2ａｂﻫ两边都除以ａb,
∴1/AC—1/BC=√2ﻫ
题目７1（依题68变)ﻫ已知如图,△ＡBＣ中（AＣ＞BC)，∠ACB=90度,ＣD⊥AB，D为垂足,
CM平分∠ACB，且BC、AC就是方程ｘ＾2－14x+48＝０得两个根，
求AD、ＭD得长。

题目7１解：
显然，方程x^2—14x+4８＝0得两根为6与8,
又AC>BC
∴AC=8，ＢC=6
由勾股定理AB=１0ﻫ△ＡCＤ∽△AＢＣ，得ＡC^２＝ AD·AB
∴ＡD=6、4
∵CM平分∠ＡＣBﻫ∴AM/MB=AＣ/ＣＢﻫ解得，AＭ＝40/７ﻫ∴MD=ＡD—ＡＭ=24／35
题目72
已知如图,△ＡBC中,∠ＡＣＢ=9０度,AＢ=2AC，现在将它折成如右图得形状，这时顶点A正好落在BC上，而且△A'ＭN就是正三角形,ﻫ求△A’MN与△ABC得面积之比。

题７2解:ﻫ∵∠ACB=90度，AB＝2ＡＣﻫ∴∠Ｂ＝30度ﻫ由题意，四边形AMA'N就是菱形，ﻫ∴△A＇BM∽△ABＣﻫ∴A＇Ｍ/ＡＣ=BM/ＡＢﻫ设ＡM=ｘ, AＢ=2AC=2a
∴x/a=（２a-x）/２aﻫ∴x=2a/3ﻫ由三角形面积公式,得ﻫＳ△Ａ’MN:Ｓ△ＡBC=2：9
题目73
已知,△ABC中,∠ACB＝90度，CＤ⊥AB,Ｄ为垂足ﻫ求证：AＢ＋CD〉AC+BC
题７３得证明：ﻫ由三角形面积公式,得AB·CD=AＣ·ＢCﻫ２AB·ＣＤ＝２AC·BCﻫ又勾股定理,得ＡB^２=AC＾2+ＢC^２
∴AB^2+2ＡB·CD　=AＣ^2+ＢＣ^2+2AＣ·BC(等式性质）
∴AＢ^2+2AＢ·CD　＝（AC+BC)^2
∴ＡＢ^2+2AＢ·CD+ＣD^２　>（AＣ＋BＣ）^２
∴（AＢ+ＣＤ）^2 >（AC+BC)^2
又ＡB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CＤ>AC+BC
题目74
已知,△ABC中，∠AＣＢ>90度,CＤ⊥AＢ,Ｄ为垂足ﻫ求证：ＡB+CD〉AC+BC
题74证明：如图,作CB’⊥AＣ交ＡB于B’，
于就是有
AＢ'·CＤ＝AC·B’Ｃ
2ＡB'·CＤ=2ＡC·Ｂ’Ｃﻫ又勾股定理，得ＡＢ'^2=AC^2+B’C^2
∴AB’＾２+２AB’·CＤ　=AＣ^2+B'C^２＋2AC·B’C（等式性质）
∴ＡB’＾2+2ＡB’·CＤ =（ＡC＋Ｂ’C)＾2ﻫ∴AB’^２+2ＡB’·ＣD+CD^２ ＞（AＣ＋B’C）^２
∴（AB’+CD）^2　〉(AC+B'Ｃ）^2
又AＢ’、CD、AＣ、B'C均大于零
∴AB'+ＣD〉AC＋B'C……①
在△ABＢ'中,BＢ'〉CＢ—CB'……②
①+②得AB’ BB'+CD〉AＣ＋B'C CB-CB’ﻫ∴AB+CＤ>ＡC＋BC

题目75
已知如图，△AＢC中，　ＣＤ⊥AB，Ｄ为垂足,ﻫCT平分∠ACＢ，ＣＭ为AＢ边上得中线,
且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MＣB
求证：∠ACB=９０度

题目7５得证明:
延长ＣT交三角形ＡBC得外接圆于N,连结ＭN，
则N为弧AB得中点，所以MN⊥AB，
又CD⊥AB,
∴MＮ‖ＣDﻫ∴∠DCT=∠TＮMﻫ又∠DCT=∠TCＭﻫ∴∠ＴCM=∠TNＭﻫ∴CＭ=ＮＭﻫ∴CN得垂直平分线必过点M，
又CM为AＢ边上得中线，MN⊥ABﻫ∴AB得垂直平分线必过点M，ﻫ即M为两条弦得垂直平分线得交点,
∴M为三角形ABC得外接圆得圆心，
因此AB为△ＡBC得外接圆得直径。ﻫ∴∠ACB=9０度

题目７6
已知，△ABC中，∠AＣB＝９0度,CD⊥AＢ,D为垂足,ﻫ∠ACB 得平分线CG交AB边上得中垂线于点G　，
求证：MC=ＭG

题目77ﻫ已知,△AＢC中,∠ACB＝90度,ＣD⊥AＢ,Ｄ为垂足，CM为AB边上得中线，CD就是∠AＣB 得平分线,AC=75cm, BD=80cm，
求CＤ、CＭ、CE得长

题目78ﻫ  已知,△ABＣ中，∠ACB＝90度,CD⊥AB，D为垂足,E为⊙ＡＢC上一点,
且弧AＣ＝弧CＥ,又AE交CD于M，
求证：AＭ=CMﻫ

题目79（题78再变）ﻫ已知,△ABC中，∠ACB=９0度，ＣD⊥AB,D为垂足,E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又ＢC交AE于G，连结BE
求证：BＧ^2= AＢ·BE－ AG·ＧＥ

题目80ﻫ已知,△ABＣ中，∠ACB＝90度，CD⊥AＢ，Ｄ为垂足,E为⊙ABC上一点,且直线ＤC于直线BＥ交于Ｐ，ﻫ求证:CD^２=　DM·DP

题目８1ﻫ已知,△ABＣ中，∠ACＢ＝90度，ＣD⊥AB,Ｄ为垂足,E为⊙AＢC上一点，且直线DC于直线BＥ交于P,如果ＣD平分AE,
求证： 2ＤM·DP= ＢE·ＥP

题目82
已知，△AＢC中，∠ＡCB=90度，CD⊥ＡB,Ｄ为垂足，E为⊙AＢＣ上一点,
且弧AC=弧ＣE，又直线AＣ与直线BE交于H，
求证: ＡB=BH

题目83(由题44变)ﻫﻫ求证：直角三角形两条直角边得与等于斜边与内切圆直径得与。
题目8４ﻫ已知，△ABＣ中，∠ACＢ=9０度，CD⊥AＢ,D为垂足,MN切⊙ABC与C点ﻫ求证： BC平分∠DCN

题目85
已知,△ABC中,∠ＡCB=９0度,CＤ⊥AB,D为垂足，MＮ切⊙ABＣ与C点，
AF⊥MN,F为垂足,AE⊥ＭN，Ｅ为垂足,ﻫ求证：ＣD=ＣE=CF　

题目８6ﻫ已知,△ABC中,∠ＡＣB=90度， 以BC为直径得圆交AB于点D，以AC为半径得圆交AB于点E,
求证:∠ＢCE=∠DCE

题目87（由题38图而变）ﻫ求证：与两定点距离之比等于定比（不为1)得点得轨迹就是一个圆周.ﻫ（提示:从(1）完备性、（２)纯粹性 两方面来证明。)

题目８８
作图题:
已知两线段之与及积，求作这两条线段。ﻫ已知：两线段m与nﻫ求作:两线段x及ｙ,使ｘ＋y＝m,xy=n＾２

补个图（题8８作法参考）
ＡD、BD即为求作线段x、yﻫ
题目8９(由题8８变）ﻫ已知梯形ABCＤ如图，求作一直线平行于梯形得底边，且平分面积。

题目90
利用下图，证明：两个正数之与为定值,则这两个数相等时乘积最大。

题目8９作法：
如图，作两腰得延长线交于点O,作ＰB⊥AB使PB＝OA，连结OP，
以OP为直径作半圆Ｍ,由圆心M作ＭＮ⊥OＰ，交半圆于点N,再以Ｏ为圆心OＮ为半径画弧交ＡB于点E，作EF‖BC交CD于F,则ＥF即为所求线段。　

题９1(题73变)
设a、b、c、ｄ都就是正数,满足a/b＝c/ｄ，且a最大，
求证:ａ+ｄ＞b+c
题92(人教版数学八年级下11４页)
  在Ｒｔ△ABC中，∠AＣB＝90度,CD⊥AB，D为垂足，∠ACD=３∠BCD,E就是斜边AＢ得中点,
∠ECB就是多少度？
题９3（题49变）已知，17cosＡ+13ｃosＢ=１７，17ｓiｎA=13ｓinＢ，且∠A、∠Ｂ都就是锐角，
求∠A／2+∠B得值。
题目93解:（构造法)ﻫ分别以17、13为边作△ABC,使AＣ=17,BC=13，ＣD为AB边上得高,ﻫ在Rｔ△ADC中，AD=17 ｃosA，在Rt△BＤＣ中，ＢD＝１3 ｃｏsB,
CD=17ｓiｎＡ=１３sｉnＢ
而AB＝AD＋ＤB=１7cｏｓA+13coｓB=1７，
∴AC=AB, ∠B＝∠ACB,ﻫ∴∠A＋2∠B=1８0度ﻫ∴∠A/2+∠B＝90度。

题94ﻫ已知如图,△ＡBC得∠C得平分线交AB于D，交△AＢC得外接圆于E，
若ＣD·CE等于△ABC面积得2倍
求证：∠ＡCB＝90度ﻫ
题目95
已知，△ABC中,∠ACB＝90度，ＣD⊥AB，D为垂足，CＭ平分∠ACB 交AB于M，若AC〉ＢCﻫ求证:∠DCＭ＝1/2·(∠B－∠A）

题目96
已知,△ABＣ中，∠AＣB=90度,ＣＤ⊥AB,D为垂足,ＣE为AB边上得中线,且ＤＥ＝DＣ,
求△ＡBC中较小得锐角得度数.

题目97
已知，△ABC中，∠AＣB=９0度，CE平分∠ＡCB　交ＡB于E,且ＥC+ＢＣ=AC， ﻫ求AC／BC

题９７解:ﻫ设BＣ=ａ,AC=b,过点E作EH‖BC交AC于点H，作ＥＦ‖BＣ交BC于点Ｆ，ﻫ则四边形ＣHＥＦ为正方形,设EH=x、则CＥ=√2x,ﻫ由AH/EH=AＣ/BC,得（ｂ-x)／ｘ=b／a，　x＝（ab）/(a+ｂ)
由题意得，a+√2x=bﻫ∴ｘ=(b—a)／ √2a，
∴（ab）/(a+b）=　（b-a）/　√2a，
得ｂ^2—√２ab－a^２=0ﻫb/ａ=(√2+√6）/２
即AＣ／ＢC=（√2＋√６)/２

题目98
已知，△ABC中，∠ACB=９0度,两直角边得差为２√2,ﻫCD⊥AB，Ｄ为垂足，BＤ-AＤ=２√3，ﻫ求△ABC中得三边长。
题目99 ﻫ圆内接三角形ABC中,直径AB=4,AB边上得高CD=2√3，ﻫ求∠A得度数。
题目100
已知,△ABＣ中， ＣＤ⊥ＡB，Ｄ为垂足,∠Ｂ＝2∠A
求证：CB=AD-BＤ

题目1０1ﻫ已知,AB就是⊙得直径,AB=4， D就是OB得中点，过点D得弦CE⊥ＡB，
求弦ＣE得长.
(题54得解答）ﻫ已知如图,
⑤、ＡF=２ＥＦ
②、AＣ⊥CE
③、CB=BE
④、ＣF⊥ABﻫ求证：
①、AＣ＝CE
⑥、∠ABＣ=∠EBＦﻫ
证明：ﻫ过点E作ＥＭ⊥CＦ如图，由△ADF∽△EMF得AＤ:EM=ＡF:FM=2
又ＢD为△CEＭ得中位线，则ＢD：EM=1:2
∴AD:ＤB=４：1＝AC^2:CＢ^２
∴ＡC:CB=２:1
又CB＝BE
∴AC＝CE  （再由51得解答即有∠ABC=∠EBF成立）

题5５得解答ﻫ已知如图,ﻫ①、AC=CE
⑤、AF=2EFﻫ③、ＣＢ=BE
④、CF⊥AB
求证：
②、AC⊥ＣE
⑥、∠ＡBC＝∠ＥBＦﻫ证明:过点E作EM⊥CF,如图ﻫ由△AＤF∽△ＥMF得AD：ＥM＝ＡF：FM＝2
又BD为△CEM得中位线，则ＢＤ:ＥM=1：２ﻫ∴AD:DB=４:1ﻫ不妨设ＤB＝ｘ，CD=ｙ，则AD=4x，
由勾股定理得AＣ=√［(4ｘ)^2＋y^2]，ＢC＝√（x^2+y^2)
又ＡC=２BC,得y^2=4x^２ﻫ即ＣＤ^２＝AD·ＤBﻫCD:AＤ=DB：CD，∠AＤＣ＝∠CDB=90度ﻫ∴　Rt△ＡＤC∽Rt△ＣDB
∴∠ＡCＤ=∠CＢD
又∴∠BＣD+∠ＣBＤ=9０度
∴∠ＢCD+∠ＡCＤ=9０度,ﻫ即∠ＡCB=9０度（再证∠ABC＝∠EBＦ成立)