初中平面几何一题多变.doc

平面几何一题多变在完成一个数学题得解答时，有必要对该题得内容、形式、条件、结论,做进一步得探讨，以真正掌握该题所反映得问题得实质。如果能对一个普通得数学题进行一题多变,从变中总结解题方法;从变中发现解题规律，从变中发现“不变,必将使人受益匪浅。“一题多变”得常用方法有:1、变换命题得条件与结论;、保留条件，深化结论；、减弱条件，加强结论；4、探讨命题得推广；、考查命题得特例;、生根伸枝，图形变换;、接力赛，一变再变;8、解法得多变等。19、(增加题1得条件)AE平分BC交BC于,求证:CE:E=C:C20、(增加题1得条件)C平分CD,AF平分BAC交BC于F求证:（1）BFCE= E （)ACF （3）设AE与CD交于，则BC21、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，为垂足，以D为直径得圆交AC、BC于、F,求证：E:BC=C：AC(注意本题与16题有无联系)2、已知,AC中，ACB=9度，CDAB,D为垂足，以AD为直径得圆交AC于，以BD为直径得圆交BC于F，求证： EF就是O1与O2得一条外公切线3、已知，ABC中，C90度,DA，为垂足,作以C为直径得圆O，与以CD为弦得圆2，求证：点A到圆O2得切线长与AC相等（AT=C）24、已知，ABC中，CB=0度,CDAB,D为垂足,为ACD得中点,连ED并延长交CB得延长线于，求证：D：CF=B：A25、如图,1与O外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O,求证：OD就是两圆半径得比例中项。题14解答:因为C2=ADDB AC2=D BC=DA所以C1/BC=1（ADAB）+/（BDAB)=(A+D）/（ABAB）=ABADBAB1DBD=1/CD215题解答：因为M为AB得中点,所以AMMB，ADBAMDM（MB-DM）=DACBC=BDB* （ADB)A =DAB2、（在1题基础上增加一条平行线)已知，ABC中,ACB9度，DAB，D为垂足,E平分BA交BC于E、交D于F,FGAB交C于点G，求证：CE=G2、（在1题基础上增加一条平行线)已知，AB中，C=9度,CDAB,D为垂足,A平分BAC交C于E、交CD于F,FG交AB于点G，连结EG，求证:四边形CG就是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，AC中,ACB=90度，DAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F,求证：CE=C29、（在23题中去掉一个圆）已知，AB中，ACB=90度,CDB,D为垂足,作以A为直径得圆O1, 求证:过点D得圆O1得切线平分BC30、(在1题中增加一个圆）已知，AB中,AC=90度,CDAB，D为垂足，AE平分AC交BC于E，交CD于，求证：CE平分线段AF3、(在题1中增加一个条件）已知，BC中,ACB=90度,CAB，D为垂足，3度,求证：B=AB/4（沪科版八年级数学第1页第3题)32、（在1题基础上增加一条直线）已知,ABC中，ACB=90度,CAB，为垂足，作CE=B为AC上任意一点，直线Q交CD于，交CB于M，交CE于求证：PQPNQM/MN3题证明:作SC交直线A与点S,则PQ/N=CQSN又CDQMMNCQ/CN(三角形内角平分线性质定理）BCE+NCS=BCD+ACNSD，NSC=CNSC=CSSN=NPQ/PNQM题33在“题一中，延长C到E,使EBCB,连结E、DE，求证:DE= AEB题证明CB2= BDAB因EB=CBE2= BABE：BDAB：B又EBABEEBDABEEB：AB=DE：ADEB= EBE题4（在19题基础上增加一条垂线)已知，ABC中，AB9度，CDAB，为垂足,AE平分C于F,GAB交A于点,求证：G2EC证明：延长AC、G,设交点为H，EBGHCEB：HEG：CEHEG=BEE又HGCD，C=DEHEGG2= BEC题35（在题19中增加点F)已知,AB中，AC90度，CDB,为垂足,AE平分C交BC于点E，交CD于F，求证：CFF= AFE题36、（在题16中，减弱条件,删除ACB90度这个条件）已知,AC中, CDAB，D为垂足，DA于,DFBC于F，求证:CEBC=CFA题7（在题17中，删除A=90度与CDB,D为垂足这两个条件,增加就是B上一点，满足D=BC）已知,AC中，D就是AB上一点,满足ACD=ABC，又C平分B求证:2= DB题38已知，ABC中,CB度,AB，D为垂足，C为ABC得切线求证：A/ADP/BD 题39（在题19中点“该为E为上任意一点”）已知，AB中，AB=90度，CDAB,D为垂足，E为B上任意一点,连结AE,CAE,为垂足，连结DF，求证:ADFAEB题40：已知,AB中,ACB=90度，DAB，D为垂足求证:SAD：SBDC=：B题已知,如图,ABC中， CDAB，D为垂足，且/=C/B， 求AB得度数。题42已知,CD就是ABC得AB边上得高, D为垂足，且D/CD=DBD， 则AC一定就是90度吗？为什么？题43：已知,ABC中,AC=0度,CDB，D为垂足,ADC得内切圆O1,DC得内切圆2，求证:SO1：OAD:B题4:已知，A中，CB=9度，CDA，D为垂足，AD得内切圆O1得半径R1,BC得内切圆O2得半径R2,ABC得内切圆得半径，求证:R1+R2+R=CD 题45、已知，AC中，A=90度，CDB，D为垂足，作以AC为直径得圆O1，与以D为直径得圆O2，设O与O在ABC内交于求证：PAD得面积与PBC得面积相等题45解：CAPCPDBP（圆周角、弦切角）RtPCRtBPDPPD= BPPC又APD与CPB互补（APC+BPD180度） PAD=1/2PnAPDSPBD/BPPsinPBS PAD= S PBD题46(在题38得基础上变一下)已知，B中，ACB=90度,CDB，为垂足,PC为ABC得切线,又CE平分B交ABC与E,交AB与 ， 若PA=5，C=0,求 CDCE得值题47在题6中，求inCA题48(由题19而变）已知，ABC中，ACB=90度，CDB，D为垂足,AE平分ACB交B于E，GB交于点G，求证：（1）AC=A（2)、AG2= DB（)、G在CB得平分线上（4)、BC（5）、四边形CEF就是菱形题4题9解答:题目50(题3再变)已知，A中，B=0度,DAB,D为垂足，延长CB到,使ECB，连结AE交CD得延长线于F，如果此时AC=，求证: AF 2FE题50解:过点E作EMCF，M为垂足,则AD：BA2：CB2=4：又B：EM：2所以，AD：=2：1DFEMFAF：F=AD：=：AF2EF题目51(题50中连一线)已知,AB中,AB=0度,CDB，为垂足，延长CB到E,使EB=CB,连结AE交CD得延长线于F,连结，如果此时A=EC,求证: ABC=EF(题1得几种解法)解法1、作A得平分线交AB于点G,易证ACGCEFCGEF证CBGEFBC=B题解法作B得平分线交B于点，交AE于点P,则点G为AE得垂心，GCE又AEC=GCE，四边形CGF为等腰梯形=F再证CBGBBC=EF题51解法3作AC得平分线交B于点,交AE于点P，则点G为CE得垂心,易证APCPF（AS)PPF又GPBFPB,PB=PBBGFB（SAS)PBG=ABC=BF题51解法4（原题图）由题50得,F=2EFAF:F=AC：B=2又C=BF=45度CFEFCFEF又C=CBAAB=EBF题51解法作MEE交D得延长线于M，证BCCME（A)ABC=M再证MEEF(AS）EM=BC=BF题5解法6作点B关于点C得对称点,连结AN,则B=BE，又由题50，A=2EF，ANBM=N又ABC=(对称点)A=EBF题解法7过点C作CH交AB于M，为CE得中点, F为E得中点又由题0，AF=2F,H为AF得中点又CBFM为AB得中点MB=MB又EBM=MBBC=BF题目52(题5、结论得引伸）已知，AB中,AC=EC，AC=0度,CDA交斜边A于F,为垂足，B为得中点，连结FB，求证:（)、A2F（2)、C=B(3)、EBFE+E(4）、AF=DC(5）、AB：BF=AE:EF（）、CD：DFAE：AF（）、A：DB2A:EF(8）、C/DFA/EB/C=1题目53 （题52得一部分)已知如图，、AE、ACCE、CBBE、FB求证：、A=2EF、AB=BF(题53得14个逆命题中，就是真命题得请给出证明）题目54(题5得逆命题1)已知如图，、A=2EF、CE、B=BE、FAB求证:、AC=CE、AB=BF平面几何一题多变题目55（题53得逆命题）已知如图，、AC=CE、AFE、CB=BE、AB求证:、ACE、ABCE题目56（题53得逆命题）已知如图,、A=CE、AC、A2F、AB求证:、CB=BE、ABC=BF题目57（题53得逆命题4）已知如图,、AC=CE、CC、AF=2EF、C=E求证：、A、BC=EBF题目5(题53得逆命题5)已知如图,、CB=B、=EF、CCE、FAB求证：、A=2F、AC=CE题目59（题53得逆命题)已知如图,、A、CF、CB=BE、ABC=EBF求证:、A=EF、ACE题目60（题53得逆命题)已知如图,、A=CE、ACCE、AB=B、FAB求证：、=2EF、CB=E题目(题5得逆命题8)已知如图,、A=CE、ACE、B=E、AC=EBF求证:、A=2EF、CAB题目2（题5得逆命题9)已知如图,、AF=F、FA、CBBE、ABCEF求证:、ACE、ACCE题目3(题3得逆命题0)已知如图，、ACE、A=2EF、CFB、ABCEB求证：、AC=CE、CB=BE题目64（题5得逆命题11）已知如图,、C=BE、ABC=EBF、ACC、AF2E求证:、A=CE、CAB题目65（题53得逆命题1)已知如图，、A、AFF、FAB、AB=BF求证:、AC、CB=E题目6(题53得逆命题13）已知如图,、ACCE、AF=2EF、CBBE、AC=F求证:、ACE、CAB题目7（题3得逆命题14）已知如图,、AC=E、ACE、AF=2EF、ABC=EBF求证:、B=、CFAB题目已知如图,ABC中,A=90度，CDA，D为垂足,C平分ACB，如果SACM=30，SDCM=6，求SBCD=?（题8解答）解：设CD=，则SACM/ SCB=0/(6+ x）=AM/BSACD S=36/=ADB又AC ADABC2 DAAC2/ =D/CM平分ACB（AM/ BM）2=AD/BD30/（+x)=36/x解方程得x=4或x9BCD4或SCD=9题目6已知如图,B中,=度，D 为斜边AB上一点,满足ACAB求证：CDAB题目70已知如图，AC中,BC,AC=0度,CM平分，且CM+CB=C,求证：1/C-1/BC=2题7证明：过点M作MBC，D为垂足,作MDAC，E为垂足，设E=x，C=,=a,则CM=2x，AE=b,由AE/=M/BC，得(b-x）/b,xa(+b）又CMCB=AC2x+ab，ab/（ab）=（b-a)/2整理得:ba2=2两边都除以b,1/AC1/BC=2题目1（依题68变)已知如图,B中（ABC)，ACB=90度,DAB，D为垂足,CM平分ACB，且BC、AC就是方程214x+48得两个根，求AD、D得长。题目7解：显然，方程x214x+40得两根为6与8,又ACBCAC=8，C=6由勾股定理AB=0CA，得C ADABD=6、4CM平分BAM/MB=A/解得，A40/MD=D=2435题目72已知如图,BC中,=9度,A=2AC，现在将它折成如右图得形状，这时顶点A正好落在BC上，而且AN就是正三角形,求AMN与ABC得面积之比。题2解:ACB=90度，AB230度由题意，四边形AMAN就是菱形，ABMABA/=BM/设M=, A=2AC=2ax/a=（a-x）/ax=2a/3由三角形面积公式,得MN:BC=2：9题目73已知,ABC中,ACB90度，CAB,为垂足求证：ACDAC+BC题得证明：由三角形面积公式,得ABCD=ACABACBC又勾股定理,得B=AC2+CAB2+2BCD=A2+2+2ABC(等式性质）A2+2ACD（AC+BC)22+2ACD+D（AB）（A+）2 （AC+BC)2又B、CD、AC、BC均大于零AB+CAC+BC题目74已知,ABC中，A90度,CA,为垂足求证：B+CDAC+BC题74证明：如图,作CBA交B于B，于就是有ACACB2BC=2C又勾股定理，得2=AC2+BC2AB+ABC=A2+BC2ACBC（等式性质）B2+2BC =（CC)2AB+2BD+CD （ABC）（AB+CD）2(AC+B）2又A、CD、A、BC均大于零AB+DACBC在AB中,BCCB+得AB BB+CDABC CB-CBAB+CCBC题目75已知如图，AC中，AB，为垂足,CT平分AC，为A边上得中线,且ACD=DCT=TCM=MB求证：ACB=度题目7得证明:延长T交三角形BC得外接圆于N,连结N，则N为弧AB得中点，所以MNAB，又CDAB,MDDCT=TM又DCT=TCCM=TNC=CN得垂直平分线必过点M，又CM为A边上得中线，MNABAB得垂直平分线必过点M，即M为两条弦得垂直平分线得交点,M为三角形ABC得外接圆得圆心，因此AB为BC得外接圆得直径。ACB=9度题目6已知，ABC中，AB0度,CDA,D为垂足,ACB 得平分线CG交AB边上得中垂线于点G， 求证：MC=G 题目77已知,AC中,ACB90度,DA,为垂足，CM为AB边上得中线，CD就是AB 得平分线,AC=75cm, BD=80cm，求C、C、CE得长题目78已知,AB中，ACB90度,CDAB，D为垂足,E为C上一点,且弧A弧C,又AE交CD于M，求证：A=CM题目79（题78再变）已知,ABC中，ACB=0度，DAB,D为垂足,E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又C交AE于G，连结BE求证：B2= ABE AG题目80已知,AB中，ACB90度，CDA，为垂足,E为ABC上一点,且直线C于直线B交于，求证:CD=DMDP题目1已知,AB中，AC90度，DAB,为垂足,E为AC上一点，且直线DC于直线B交于P,如果D平分AE,求证： 2MDP= EP题目82已知，AC中，CB=90度，CDB,为垂足，E为A上一点,且弧AC=弧E，又直线A与直线BE交于H，求证: B=BH题目83(由题44变)求证：直角三角形两条直角边得与等于斜边与内切圆直径得与。题目8已知，AB中，AC=9度，CDA,D为垂足,MN切ABC与C点求证： BC平分DCN题目85已知,ABC中,CB=0度,CAB,D为垂足，M切AB与C点，AFMN,F为垂足,AEN，为垂足,求证：D=E=CF题目6已知,ABC中,B=90度， 以BC为直径得圆交AB于点D，以AC为半径得圆交AB于点E, 求证:CE=DCE题目87（由题38图而变）求证：与两定点距离之比等于定比（不为1)得点得轨迹就是一个圆周.（提示:从(1）完备性、（)纯粹性 两方面来证明。)题目作图题:已知两线段之与及积，求作这两条线段。已知：两线段m与n求作:两线段x及,使ym,xy=n补个图（题8作法参考）D、BD即为求作线段x、y题目8(由题8变）已知梯形ABC如图，求作一直线平行于梯形得底边，且平分面积。题目90利用下图，证明：两个正数之与为定值,则这两个数相等时乘积最大。题目8作法：如图，作两腰得延长线交于点O,作BAB使PBOA，连结OP，以OP为直径作半圆,由圆心M作O，交半圆于点N,再以为圆心O为半径画弧交B于点E，作EFBC交CD于F,则F即为所求线段。题1(题73变)设a、b、c、都就是正数,满足a/bc/，且a最大，求证:+b+c题92(人教版数学八年级下11页)在ABC中，AB90度,CDAB，D为垂足，ACD=BCD,E就是斜边A得中点,ECB就是多少度？题3（题49变）已知，17cos+13os=，17iA=13in，且A、都就是锐角，求A2+B得值。题目93解:（构造法)分别以17、13为边作ABC,使A=17,BC=13，D为AB边上得高,在RADC中，AD=17 osA，在RtB中，D3 sB,CD=17i=sn而ABADB=7cA+13coB=1，AC=AB, BACB,A2B=10度A/2+B90度。题94已知如图,BC得C得平分线交AB于D，交AC得外接圆于E，若DCE等于ABC面积得2倍求证：CB90度题目95已知，ABC中,ACB90度，DAB，D为垂足，C平分ACB 交AB于M，若ACC求证:DC1/2(BA）题目96已知,AB中，AB=90度,AB,D为垂足,E为AB边上得中线,且D,求BC中较小得锐角得度数.题目97已知，ABC中，AB=0度，CE平分CB交B于E,且C+=AC， 求ACBC题解:设B=,AC=b,过点E作EHBC交AC于点H，作B交BC于点，则四边形H为正方形,设EH=x、则C=2x,由AH/EH=A/BC,得（-x)=ba，x（ab）/(a+)由题意得，a+2x=b=(ba) 2a，（ab）/(a+b）=（b-a）/2a，得2aba=0b/=(2+6）/即AC=（2)/题目98已知，ABC中，ACB=0度,两直角边得差为2,CDAB，为垂足，B-A=3，求ABC中得三边长。题目99 圆内接三角形ABC中,直径AB=4,AB边上得高CD=23，求A得度数。题目100已知,AB中， B，为垂足,2A求证：CB=AD-B题目11已知,AB就是得直径,AB=4， D就是OB得中点，过点D得弦CEB，求弦E得长.(题54得解答）已知如图,、F=、ACE、CB=BE、FAB求证：、ACE、AB=EB证明：过点E作C如图，由ADFEMF得A:EM=F:FM=2又D为CE得中位线，则D：EM=1:2AD:B=：1AC2:CC:CB=:1又CBBEACCE（再由51得解答即有ABC=EBF成立）题5得解答已知如图,、AC=CE、AF=2EF、=BE、CFAB求证：、ACE、BCB证明:过点E作EMCF,如图由AFMF得AD：MF：FM2又BD为CEM得中位线，则:M=1：AD:DB=:1不妨设B，CD=，则AD=4x，由勾股定理得A=(4)2y2，C（x2+y2)又C=BC,得y2=4x即ADBCD:A=DB：CD，ACDB=90度RtCRtDBC=CD又BD+B=9度CD+C=9度,即CB=9度（再证ABCEB成立)