反函数·典型例题精析.doc

2.4 反函數·例題解析

【例1】求下列函數得反函數:
解 (2)∵y＝(x－1)2＋2,x∈(－∞,0]其值域為y∈[2,＋∞),

【例2】求出下列函數得反函數,並畫出原函數与其反函數得圖像.
解 (1)∵已知函數得定義域就是x≥1,∴值域為y≥－1,

解 (2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2,
它們得圖像如圖2.4－2所示.

(1)求它得反函數;(2)求使f-1(x)＝f(x)得實數a得值.

令x＝0,∴a＝－3.
或解 由f(x)＝f-1(x),那麼函數f(x)與f-1(x)得定義域与值域相同,定義域就是{x|x≠a,x∈R},值域y∈{y|y≠3,y∈R},∴－a＝3即a＝－3.

試求a、b、c、d滿足什麼條件時,它得反函數仍就是自身.
令x＝0,得－a＝d,即a＋d＝0.
事實上,當a＋d＝0時,必有f-1(x)＝f(x),
因此所求得條件就是bc－ad≠0,且a＋d＝0.
【例5】設點M(1,2)既在函數f(x)＝ax2＋b(x≥0)得圖像上,又在它得反函數圖像上,(1)求f-1(x),(2)證明f-1(x)在其定義域內就是減函數.

解法(二) 由函數y＝f(x)與其反函數y＝f-1(x)之間得一一對應關

因為原函數得圖像與其反函數得圖像關於直線y＝x對稱,
∴函數y＝f(x)得圖像關於直線y＝x對稱.