【甘肃省天水】2017届高三上学年期期末文科数学年试题.pdf

-1-/17 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 2017 届高三上学期第一次段考数学（文科）试卷届高三上学期第一次段考数学（文科）试卷 答答 案案 15BCABA 610CADAB 1112DB 13存在3210 xxx R，142 2 155 2 1610 17（1）函数23()sinsin22f xxx 113cos2sin2222xx 1sin(2)26x 最小正周期222T；所以函数()f x的解析式为简1()sin(2)62f xx；最小正周期T （2）由（1）得知1()sin(2)62f xx；当0,3x时，那么：52666x，11sin(2)262x 1()02f x 函数()f x的值域是12，0 18（1）在ABC 中，coscos2BbCac，由正弦定理可得：cossincos2sinsinBBCAC 化为：2sin cossin coscos sin0ABCBCB，2sin cossin()0ABCB，2sin cossin0ABA，sin0A，1cos2B ，又(0)B，23B （2）313sin424SacBacABC ac=1 -2-/17 2222222cos()3bacacBacacacac，3b 19（）证明：取 SD 中点 F，连结 AF，PF 因为 P，F 分别是棱 SC，SD 的中点，所以FPCD，且12FPCD 又因为菱形 ABCD 中，Q 是 AB 的中点，所以AQCD，且12AQCD 所以FPAQ且 FP=AQ 所以 AQPF 为平行四边形 所以PQAF 又因为PQ平面 SAD，AF平面 SAD，所以PQ平面 SAD（）证明：连结 BD，因为SAD 中 SA=SD，点 E 棱 AD 的中点，所以SEAD 又 平面 SAD平面 ABCD，平面SAD平面 ABCD=AD，SE平面 SAD，所以SE 平面 ABCD，所以SEAC 因为底面 ABCD 为菱形，E，Q 分别是棱 AD，AB 的中点，所以BDAC，EQBD 所以EQAC，因为SEEQE，所以AC 平面 SEQ（）解：因为菱形 ABCD 中，BAD=60，AB=2，所以1sin32ABCSAB BCABC 因为 SA=AD=SD=2，E 是 AD 的中点，所以3SE 由（）可知SE 平面 ABC，-3-/17 所以三棱锥S ABC-的体积113ABCVSSE 20（1）设na的公差为d，则由题意知1111(2)(4)3(6)3 2392ad adadad，解得103da（舍去）或112da，2(1)11nann （2）11111(1)(2)12nna annnn，12231111nnTna aa aa a 111111()()()233512nn 1122(2)nnn 即122(2)nn 21（）当0a 时，21ln2f xxx，导数(1)(1)(0)xxfxxx，当1ex，1，有)0fx；当(1 ex，有()0fx，可得()f x在区间1e，1上是增函数，在(1 e，上为减函数，又1()(1)2maxf xf -4-/17 （）令21()()2()ln22g xf xaxaxxax，则()g x的定义域为(0)，在区间(1)，上，函数()f x的图像恒在直线2yax下方 等价于()0g x 在区间(1)，上恒成立(1)21)1()xaxg xx，若12a，令()0g x，得极值点1211,12axx，当12xx，即112a时，在(0)，1上有()0g x，在2(1)x，上有()0g x，在2()x，上有()0g x，此时()g x在区间2()x，上是增函数，并且在该区间上2()()g xg x，不合题意；当21xx，即1a 时，同理可知，()g x在区间(1)，上，有()(1)g xg，也不合题意；若12a，则有12xx，此时在区间(1)，上恒有()0g x，从而()g x在区间(1)，上是减函数；要使()0g x 在此区间上恒成立，只须满足11(1)022gaa ，由此求得 a 的范围是12 21，综合可知，当1 12 2a，时，函数()f x的图像恒在直线2yax下方 22（）设 K 为 AB 中点，连结 OK，OA=OB，AOB=120，OKAB，A=30，sinOKOA30=12OA，直线 AB 与O相切；（）因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心设 T 是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心 OA=OB，TA=TB，OT 为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，OT 为 CD 的中垂线，ABCD -5-/17 23（1）曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），移项后两边平方可得2222cossin13xy，即有椭圆1C：2213xy；曲线2C的极坐标方程为sin()2 24，即有22(sincos)2 222，由cossinxy，可得40 xy，即有2C的直角坐标方程为直线40 xy；（2）由题意可得当直线40 xy的平行线与椭圆相切时，|PQ取得最值 设与直线40 xy平行的直线方程为0 xyt，联立22033xytxy 可得2246330 xtxt，由直线与椭圆相切，可得223616(33)0tt，解得2t，显然2t 时，|PQ取得最小值，即有|4(2|)|21 1PQ 此时241290 xx，解得32x，即为3 1()2 2P，24（1）当2a 时，()22|2f xx，()6f x，|2226x，224|12|xx，212x ，解得13x，不等式()6f x 的解集为3|1xx（2）|()21|g xx，()()2|123|f xg xxxaa ，|122322|axxa，-6-/17|1322|2aaxx 当3,a 时，成立，当3a 时，11310222|2|aaxxa，22(1)(3)aa，解得23a，a 的取值范围是2)，-7-/17 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 2017 届高三上学期第一次段考数学（文科）试卷届高三上学期第一次段考数学（文科）试卷 解解 析析 1【分析】解不等式求出集合 B，代入集合交集运算，可得答案【解答】解：集合 A=x|2x1，B=x|x22x0=x|0 x2，AB=x|0 x1，2【分析】直接利用二倍角的余弦得答案【解答】解：由 cos（）=，得 cos（2）=cos2（）=3【分析】根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间（0，1）上为增函数，从而得出结论【解答】解：对于 A，函数是偶函数，在区间（0，1）上，y=lnx 为增函数，正确；对于 B，函数是偶函数，在区间（0，1）上函数是减函数，不正确；对于 C，函数是奇函数，不正确；对于 D，函数的偶函数，在区间（0，1）上函数是减函数，不正确 4【分析】将已知等式左边的分子分母同时除以 cos，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于 tan的方程，求出方程的解得到 tan 的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 tan 的值代入即可求出值【解答】解：=，tan=3，则 tan2=5【分析】根据分段函数，直接解方程即可得到结论【解答】解：若 a2，则由 f（a）=1 得，3a2=1，即 a2=0，a=2此时不成立 若 a2，则由 f（a）=1 得，log=1，得 a21=3，即 a2=4，-8-/17 a=2，6【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换即可选得答案【解答】解：令 y=f（x）=cos2x，则 f（x+）=cos2（x+）=cos（2x+），为得到函数 y=cos（2x+）的图象，只需将函数 y=cos2x 的图象向左平移个长度单位；7【分析】根据充分必要条件的定义集合对数函数的性质分别判断其充分性和必要性，从而得到答案【解答】解：若“m1”，则函数 f（x）=m+log2x10，（x1），故函数 f（x）不存在零点，是充分条件，若函数 f（x）=m+log2x（x1）不存在零点，则 m0，“m1”是“函数 f（x）=m+log2x（x1）不存在零点”的充分不必要条件 8【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于 m 的方程，解得答案【解答】解：向量=（1，m），=（3，2），+=（4，m2），又（+），122（m2）=0，解得：m=8，9【分析】利用正弦函数与余弦函数的周期性、对称性与单调性判断即可【解答】解：对于 y=f（x）=sin（2x），其周期 T=，f（）=sin=1 为最大值，故其图象关于 x=对称，由2x得，x，y=f（x）=sin（2x）在上是增函数，即 y=f（x）=sin（2x）具有性质，10【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC 的值代入求出 sinB 的值，分两种情况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosB 的值，利用余弦定理求出AC 的值即可【解答】解：钝角三角形 ABC 的面积是，AB=c=1，BC=a=，-9-/17 S=acsinB=，即 sinB=，当 B 为钝角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+2+2=5，即 AC=，当 B 为锐角时，cosB=，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB=1+22=1，即 AC=1，此时 AB2+AC2=BC2，即ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则 AC=11【分析】由题意知，当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x+2 平行时，点 P 到直线 y=x+2 的距离最小求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于 1，可得切点的坐标，此切点到直线 y=x+2 的距离即为所求【解答】解：点 P 是曲线 y=x2lnx 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y=x+2 平行时，点 P 到直线 y=x+2 的距离最小 直线 y=x+2 的斜率等于 1，令 y=x2lnx 的导数 y=2x=1，解得 x=1，或 x=（舍去），故曲线 y=x2lnx 上和直线 y=x+2 平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线 y=x+2 的距离等于=，故点 P 到直线 y=x+2 的最小距离为，12【分析】函数 g（x）=2f（x）1 的零点个数等于函数 f（x）图象与直线 y=交点的个数，数形结合可得答案【解答】解：函数 f（x）是定义在（，0）（0，+）上的偶函数，当 x0 时，f（x）=，在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，-10-/17 由图可得：函数 f（x）图象与直线 y=有 6 个交点，13【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的 xR，x3x2+10”的否定是：存在 xR，x3x2+10.14【分析】由已知，利用正弦定理即可得解【解答】解：A=30，B=45，a=2，由正弦定理可得：b=2 15【分析】利用三角形面积计算公式可得 c，利用余弦定理可得 b，即可得出【解答】解：S=2=sin，解得 c=4，由余弦定理可得：b2=1+32214=25，解得 b=5=5 16【分析】作出函数 f（x）的图象，设=k，则由数形结合即可得到结论【解答】解：设=k，则条件等价为 f（x）=kx，的根的个数，作出函数 f（x）和 y=kx 的图象，由图象可知 y=kx 与函数 f（x）最多有 10 个交点，即 n 的最大值为 10，-11-/17 17【分析】（1）利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化为 y=Asin（x+）的形式，可得函数 f（x）的解析式，再利用周期公式求函数的最小正周期（2）当 x0，时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出 f（x）的取值最大和最小值，即得到函数 f（x）的值域【解答】解：（1）函数23()sinsin22f xxx 113cos2sin2222xx 1sin(2)26x 最小正周期222T；所以函数()f x的解析式为简1()sin(2)62f xx；最小正周期T（2）由（1）得知1()sin(2)62f xx；当0,3x时，那么：52666x，11sin(2)262x 1()02f x 函数()f x的值域是12，0 18【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出；（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出【解答】解：（1）在ABC 中，coscos2BbCac，由正弦定理可得：cossincos2sinsinBBCAC 化为：2sin cossin coscos sin0ABCBCB，2sin cossin()0ABCB，2sin cossin0ABA，sin0A，1cos2B ，又(0)B，23B （2）313sin424SacBacABC ac=1 2222222cos()3bacacBacacacac，-12-/17 3b 19【分析】（）取 SD 中点 F，连结 AF，PF证明 PQAF利用直线与平面平行的判定定理证明 PQ平面 SAD（）连结 BD，证明 SEAD推出 SE平面 ABCD，得到 SEAC证明 EQAC，然后证明 AC平面 SEQ（）求出 SABC，SE=说明 SE平面 ABC，然后去三棱锥 SABC 的体积【解答】（）证明：取 SD 中点 F，连结 AF，PF 因为 P，F 分别是棱 SC，SD 的中点，所以 FPCD，且12FPCD 又因为菱形 ABCD 中，Q 是 AB 的中点，所以 AQCD，且12AQCD 所以 FPAQ 且 FP=AQ 所以 AQPF 为平行四边形 所以 PQAF 又因为 PQ平面 SAD，AF平面 SAD，所以 PQ平面 SAD（）证明：连结 BD，因为SAD 中 SA=SD，点 E 棱 AD 的中点，所以 SEAD 又 平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD=AD，SE平面 SAD，所以 SE平面 ABCD，所以 SEAC 因为底面 ABCD 为菱形，E，Q 分别是棱 AD，AB 的中点，所以 BDAC，EQBD 所以 EQAC，因为 SEEQ=E，所以 AC平面 SEQ （）解：因为菱形 ABCD 中，BAD=60，AB=2，所以1sin32ABCSAB BCABC -13-/17 因为 SA=AD=SD=2，E 是 AD 的中点，所以3SE 由（）可知 SE平面 ABC，所以三棱锥S ABC-的体积113ABCVSSE 20【分析】（1）通过设an的公差为 d，利用 a3a5=3a7与 S3=9 联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论；（2）通过（1）裂项、并项相加可知【解答】解：（1）设an的公差为 d，则由题意知1111(2)(4)3(6)3 2392ad adadad，解得103da（舍去）或112da，2(1)11nann （2）11111(1)(2)12nna annnn，12231111nnTna aa aa a 111111()()()233512nn=即122(2)nn 21【分析】（）当 a=0 时，求得函数 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，进而得到 f（x）的最大值为 f（1）；-14-/17 （）令 g（x）=f（x）2ax=（a）x2+lnx2ax，求得 g（x）的定义域，由题意可得在区间（1，+）上，函数 f（x）的图象恒在直线 y=2ax 下方等价于 g（x）0 在区间（1，+）上恒成立求得，讨论若，若 a，求得单调区间，可得 g（x）的范围，由恒成立思想，进而得到 a 的范围【解答】解：（）当 a=0 时，导数，当1ex，1，有)0fx；当(1 ex，有()0fx，可得()f x在区间1e，1上是增函数，在(1 e，上为减函数，又1()(1)2maxf xf （）令21()()2()ln22g xf xaxaxxax，则()g x的定义域为(0)，在区间(1)，上，函数()f x的图象恒在直线2yax下方 等价于()0g x 在区间(1)，上恒成立(1)21)1()xaxg xx，若12a，令()0g x，得极值点1211,12axx，当12xx，即112a时，在(0)，1上有()0g x，在2(1)x，上有()0g x，在2()x，上有()0g x，此时()g x在区间2()x，上是增函数，并且在该区间上2()()g xg x，不合题意；当21xx，即1a 时，同理可知，()g x在区间(1)，上，有()(1)g xg，也不合题意；若12a，则有12xx，此时在区间(1)，上恒有()0g x，从而()g x在区间(1)，上是减函数；要使()0g x 在此区间上恒成立，只须满足11(1)022gaa ，-15-/17 由此求得 a 的范围是12 21，综合可知，当1 12 2a，时，函数()f x的图象恒在直线2yax下方 22【分析】（）设 K 为 AB 中点，连结 OK 根据等腰三角形 AOB 的性质知 OKAB，A=30，OK=OAsin30=OA，则 AB 是圆 O 的切线（）设圆心为 T，证明 OT 为 AB 的中垂线，OT 为 CD 的中垂线，即可证明结论【解答】证明：（）设 K 为 AB 中点，连结 OK，OA=OB，AOB=120，OKAB，A=30，sinOKOA30=12OA，直线 AB 与O相切；（）因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心设 T 是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心 OA=OB，TA=TB，OT 为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，OT 为 CD 的中垂线，ABCD 23【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 C1的普通方程，运用 x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得 C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线 x+y4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线 x+y4=0 平行的直线方程为 x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为 0，求得 t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得 P 的直角坐标【解答】解：（1）曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），移项后两边平方可得2222cossin13xy，即有椭圆1C：2213xy；曲线2C的极坐标方程为sin()2 24，即有22(sincos)2 222，由cossinxy，可得40 xy，-16-/17 即有2C的直角坐标方程为直线 x+y4=0；（2）由题意可得当直线40 xy的平行线与椭圆相切时，|PQ取得最值 设与直线40 xy平行的直线方程为0 xyt，联立22033xytxy 可得2246330 xtxt，由直线与椭圆相切，可得223616(33)0tt，解得2t，显然2t 时，|PQ取得最小值，即有|4(2|)|21 1PQ 此时241290 xx，解得32x，即为3 1()2 2P，24【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x2|+26，由此能求出不等式 f（x）6 的解集（2）由 f（x）+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，得|x|+|x|，由此能求出 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2 时，()22|2f xx，()6f x，|2226x，224|12|xx，212x ，解得13x，不等式()6f x 的解集为3|1xx（2）|()21|g xx，()()2|123|f xg xxxaa ，|122322|axxa，|1322|2aaxx 当3,a 时，成立，当3a 时，11310222|2|aaxxa，22(1)(3)aa，解得23a，-17-/17 a 的取值范围是2)，