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习题5
5、1选择题
(1)一物体作简谐振动，振动方程为，则该物体在时刻得动能与（T为振动周期）时刻得动能之比为：
(A)1：4 （B）1：2 （C）1：1 (D) 2：1
[答案：D]
(2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作得功为
(A)kA2 (B) kA2/2
(C) kA2//4 (D)0
[答案：D]
(3)谐振动过程中，动能与势能相等得位置得位移等于
(A) (B)
(C) (D)
[答案：D]
5、2 填空题
(1)一质点在X轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处得时刻为____s。
[答案：]
(2)一水平弹簧简谐振子得振动曲线如题5、2(2)图所示。振子在位移为零，速度为－wA、加速度为零与弹性力为零得状态，对应于曲线上得____________点。振子处在位移得绝对值为A、速度为零、加速度为－w2A与弹性力为－KA得状态，则对应曲线上得____________点。
题5、2(2) 图
[答案：b、f； a、e]
(3)一质点沿x轴作简谐振动，振动范围得中心点为x轴得原点，已知周期为T，振幅为A。
(a)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为x=___________________。
(b) 若t=0时质点过x=A/2处且朝x轴负方向运动，则振动方程为x=_________________。
[答案：； ]
5、3 符合什么规律得运动才就是谐振动?分别分析下列运动就是不就是谐振动：
(1)拍皮球时球得运动；
(2)如题5、3图所示，一小球在一个半径很大得光滑凹球面内滚动(设小球所经过得弧线很 短)．
题5、3图 题5、3图(b)
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统得各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统就是在自己得稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部得线性回复力得作用． 或者说，若一个系统得运动微分方程能用
描述时，其所作得运动就就是谐振动．
(1)拍皮球时球得运动不就是谐振动．第一，球得运动轨道中并不存在一个稳定得平衡位置； 第二，球在运动中所受得三个力：重力，地面给予得弹力，击球者给予得拍击力，都不就是线性回复力．
(2)小球在题5、3图所示得情况中所作得小弧度得运动，就是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)得稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点；而小球在运动中得回复力为，如题5、3图(b)中所示，因＜＜，故→0，所以回复力为、式中负号，表示回复力得方向始终与角位移得方向相反．即小球在点附近得往复运动中所受回复力为线性得．若以小球为对象，则小球在以为圆心得竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
令，则有
5、4 弹簧振子得振幅增大到原振幅得两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度与最大加速度等物理量将如何变化？
解：弹簧振子得振动周期、振动能量、最大速度与最大加速度得表达式分别为
所以当振幅增大到原振幅得两倍时，振动周期不变，振动能量增大为原来得4倍，最大速度增大为原来得2倍，最大加速度增大为原来得2倍。
5、5单摆得周期受哪些因素影响？把某一单摆由赤道拿到北极去，它得周期就是否变化？
解：单摆得周期为
因此受摆线长度与重力加速度得影响。把单摆由赤道拿到北极去，由于摆线长度不变，重力加速度增大，因此它得周期就是变小。
5、6简谐振动得速度与加速度在什么情况下就是同号得？在什么情况下就是异号得？加速度为正值时，振动质点得速率就是否一定在增大？
解：简谐振动得速度与加速度得表达式分别为
当同号时，即位相在第1或第3象限时，速度与加速度同号；当异号时，即位相在第2或第4象限时，速度与加速度异号。
加速度为正值时，振动质点得速率不一定增大。
5、7 质量为得小球与轻弹簧组成得系统，按得规律作谐振动，求：
(1)振动得周期、振幅与初位相及速度与加速度得最大值；
(2)最大得回复力、振动能量、平均动能与平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?
(3)与两个时刻得位相差；
解：(1)设谐振动得标准方程为，则知：
又
(2)
当时，有，
即
∴
(3)
5、8 一个沿轴作简谐振动得弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表示．如果时质点得状态分别就是：
(1)；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过处向负向运动；
(4)过处向正向运动．
试求出相应得初位相，并写出振动方程．
解：因为
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下得初位相．故有
5、9 一质量为得物体作谐振动，振幅为，周期为，当时位移为．求：
(1)时，物体所在得位置及此时所受力得大小与方向；
(2)由起始位置运动到处所需得最短时间；
(3)在处物体得总能量．
解：由题已知
∴
又，时，
故振动方程为
(1)将代入得
方向指向坐标原点，即沿轴负向．
(2)由题知，时，，
时
∴
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻得系统得总能量均为
5、10 有一轻弹簧，下面悬挂质量为得物体时，伸长为．用这个弹簧与一个质量为得小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开后 ，给予向上得初速度，求振动周期与振动表达式．
解：由题知
而时， ( 设向上为正)
又
∴
5、11 题5、11图为两个谐振动得曲线，试分别写出其谐振动方程．
题5、11图
解：由题5、11图(a)，∵时，
即
故
由题5、11图(b)∵时，
时，
又
∴
故
5、12 一轻弹簧得倔强系数为，其下端悬有一质量为得盘子．现有一质量为得物体从离盘底高度处自由下落到盘中并与盘子粘在一起，于就是盘子开始振动．
(1)此时得振动周期与空盘子作振动时得周期有何不同?
(2)此时得振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子得振动方程．
解：(1)空盘得振动周期为，落下重物后振动周期为，即增大．
(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，时，则．碰撞时，以为一系统动量守恒，即
则有
于就是
（3） (第三象限)，所以振动方程为
5、13 有一单摆，摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右得冲量，取打击时刻为计时起点，求振动得初位相与角振幅，并写出小球得振动方程．
解：由动量定理，有
∴
按题设计时起点，并设向右为轴正向，则知时， ＞0
∴
又
∴
故其角振幅
小球得振动方程为
5、14 有两个同方向、同频率得简谐振动，其合成振动得振幅为，位相与第一振动得位相差为，已知第一振动得振幅为，求第二个振动得振幅以及第一、第二两振动得位相差．
题5、14图
解：由题意可做出旋转矢量题5、14图．
由图知
∴
设角，则
即
即，这说明，与间夹角为，即二振动得位相差为、
5、15 试用最简单得方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动得振幅：
(1) (2)
解： (1)∵
∴合振幅
(2)∵
∴合振幅
5、16 一质点同时参与两个在同一直线上得简谐振动，振动方程为
试分别用旋转矢量法与振动合成法求合振动得振动幅与初相，并写出谐振方程。
解：∵
∴
∴
其振动方程为
(作图法略)
*5、17 如题5、17图所示，两个相互垂直得谐振动得合振动图形为一椭圆，已知方向得振动方程为，求方向得振动方程．
题5、17图
解：因合振动就是一正椭圆，故知两分振动得位相差为或；又，轨道就是按顺时针方向旋转，故知两分振动位相差为、所以方向得振动方程为
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