(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题9.pdf

第九节第九节圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题【考纲解读】【考纲解读】考点考纲内容5 年统计分析预测1.考查直线与椭圆的位置关系；2.考查直线与抛物线的位置关（1）会解决直线与椭圆锥曲线的综合问题圆、抛物线的位置关系的问题。(2)了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。2015浙江文 19；理 19；2016浙江文 19；理 19；2017浙江 21.2013浙江文 22；理 21；2014浙江文 17,22；系；3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题,如取值范围、最值、定值、定点、存在性问题等.4.4.备考重点：备考重点：(1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质；（2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题题型的解法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】【知识清单】1.1.圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现对点练习：对点练习：【2016 高考新课标 1 卷】设圆x y 2x15 0的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EA EB为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.22x2y21（y 0）【答案】（）（II）12,8 3)43【解析】试题解析：（）因为|AD|AC|,EB/AC,故EBD ACD ADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆A的标准方程为(x 1)2 y216,从而|AD|4,所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x2y21（y 0）.43（）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y k(x1)(k 0),M(x1,y1),N(x2,y2).y k(x1)由x2y2得(4k23)x28k2x 4k212 0.1438k24k212则x1 x2,x1x2.4k234k2312(k21)所以|MN|1 k|x1 x2|.4k232过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y 12(x 1),A到m的距离为,所以2kk 14k23|PQ|2 4()4.故四边形MPNQ的面积22k 1k 1222S 11.|MN|PQ|12 1224k 3可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 3).当l与x轴垂直时,其方程为x 1,|MN|3,|PQ|8,四边形MPNQ的面积为 12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 3).2.2.圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中 的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用对点练习：对点练习：【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C：y=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16【答案】AB14C12D1023.3.圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法对点练习：对点练习：x2 y21上，过M 作 x 轴的垂线，垂足为N，【2017 课标 II，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C：2点 P 满足NP2NM。(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线x 3上，且OPPQ 1。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。【答案】(1)x2 y2 2。(2)证明略。【解析】（2）由题意知F1,0。设Q3,t,Pm,n,则OQ3,t,PF 1m,n,OQPF 33mtn，OPm,n,PQ 3m,t n。2222由OP PQ 1得3mm tnn 1，又由（1）知m n 2，故33mtn 0。所以OQ PF 0，即OQ PF。又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线l过C 的左焦点 F。【考点深度剖析】圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题 命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点【重点难点突破】【重点难点突破】考点考点 1 1圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题3x2y2【1-1】【2016 年高考北京理数】已知椭圆C：221（a b 0）的离心率为，A(a,0)，ab2B(0,b)，O(0,0)，OAB的面积为 1.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点 M，直线 PB 与x轴交于点 N.求证：AN BM为定值.x2 y21；【答案】（1）（2）详见解析.4c3,a21【解析】（1）由题意得ab 1,解得a 2,b 1.2222a b c,x2 y21.所以椭圆C的方程为4直线PB的方程为y y01x1.x0令y 0，得xN x0 x0.从而AN 2 xN 2.y01y01x02y01y01x02所以AN BM 222x04y04x0y04x08y044x0y04x08y08 4.x0y0 x02y02x0y0 x02y02当x00时，y0 1，BM 2,AN 2,所以AN BM 4.综上，AN BM为定值.x2y23【1-2】【2016 高考山东理数】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221ab0的离心率是，ab2抛物线E：x 2y的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求大值时点P的坐标.2S1的最大值及取得最S2S192 1【答案】（）x4y1;（）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点P的坐标为(,)S242422m2)(m0)，由x22y可得y/x，（）（i）设P(m,2所以直线l的斜率为m，m2m2m(xm)，即ymx因此直线l的方程为y.22m2ymx设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)，联立方程2x24y21得(4m1)x4m xm10，22344m3由 0，得0 m 2 5且x1 x2，24m 1x1 x22m3因此x0,224m 1m2m2将其代入y mx 得y0，22(4m21)因为y011x.，所以直线OD方程为y 4mx04m1x1y 联立方程4m，得点M的纵坐标为yM，4x m即点M在定直线y 1上.4m2（ii）由（i）知直线l方程为y mx，2m2m2)，令x 0得y ，所以G(0,22m212m3m2),F(0,),D(2又P(m,)，224m 1 2(4m21)所以S111|GF|m m(m21)，241m(2m21)2，S2|PM|m x0|28(4m21)S12(4m21)(m21)所以，22S2(2m 1)令t 2m 1，则2S1(2t 1)(t 1)11 2，S2t2t2t当1t19S2，即t 2时，1取得最大值，此时m，满足 0，242S2所以点P的坐标为(【领悟技法】9S2 12 1,)，因此1的最大值为，此时点P的坐标为(,).4S22424定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【触类旁通】【变式一】【2018 届河南省漯河市高级中学高三上期中】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2C:y21，如图所示，斜率为k(k 0)且不过原点的直线l交椭圆C于两点A,B，线段AB的中点3为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x 3于点D3,m.（1）求m2k2的最小值；（2）若OG OD OE，求证：直线l过定点.2【答案】（1）2.（2）见解析（2）由（1）知OD所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点G的坐标，并代入OG OD OE，得到t k，因此得证直线过定点；试题解析：（1）设直线l的方程为y kxt(k 0)，由题意，t 0，2y kxt由方程组x23 y21，得3k21x26ktx 3t23 0，由题意 0，所以3k21 t2，设Ax1,y1,Bx2,y2，6kt2ty y，所以，12223k 13k 13ktt,yE2由于E为线段AB的中点，因此xE 2，3k 13k 1由根与系数的关系得x1 x2 此时kOE1yE1，所以OE所在直线的方程为y x，3kxE3k1，即mk 1，k又由题意知D3,m，令x 3，得m 所以m2 k2 2mk 2，当且仅当m k 1时上式等号成立，此时由 0得0 t 2，因此当m k 1且0 t 2时，m2k2取最小值2.（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为y 将其代入椭圆C的方程，并由k 0，解得G1x，3k3k3k21,，23k 11又E3kt3k21,1,D3,，k3k21t由距离公式及t 0得9k213k1，OD OG2223k 13k 13k 12229k21 1，3kk223kttt 9k21，OE 2223k 13k 13k 1由OG OD OE，得t k，因此直线l的方程为y kx1，所以直线l恒过定点1,0.222【变式二】【2017 届北京市东城区东直门中学高三上学期期中】如图，椭圆经过点，且离心率为（）求椭圆 的方程（）经过点，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点，（均异于点），判断直线与的斜率之和是否为定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，请说明理由【答案】（1）（）斜率之和为定值（）由题设知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立，得由已知设，则从而直线，的斜率之和：，故直线、斜率之和为定值 考点考点 2 2圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题x2y2【2-1】【2018 届江苏省仪征中学高三10 月检测】椭圆C：221(a b 0)的长轴是短轴的两倍，ab点P3,1 在椭圆上.不过原点的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，设直线 OA、l、OB 的斜率分别为k1、2k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记ABO的面积为 S.（1）求椭圆 C 的方程.（2）试判断OA OB是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求 S 的范围.22x2 y21（2）5（3）S0,1【答案】(1)42设直线l的方程为y kx m,代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2恰好构成等比数列，求出k,进而表示出OA OB，即可得出结论。223表示出ABO的面积，利用基本不等式，即可求出S的范围。，且，解析：(1)由题意可知x2 y21所以椭圆的方程为4（2）依题意，直线 斜率存在且，设直线 的方程为（），、由，因为、恰好构成等比数列，所以即所以此时得，且（否则：，；，则，中至少有一个为，直线、中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）所以所以所以（3）；是定值为 5；（所以S0,1，且）【2-2】【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三9 月测试】如图，已知抛物线点作抛物线的两条切线（I）求证：（II）求；面积的最小值.，切点分别为.，过直线上任一【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）设面积取最小值，的斜率分别为，由切线条件，易得，即，由两根之积可得所以；（2），而，同理可得，即，然后求最值即可.（II）由（I）得，所以综上，当【综合点评】1.(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质时，面积取最小值.(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用2.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，解决这类问题需要正确运用转化思想、函数与方程思想、数学结合思想，其中运用最多的是利用方程根与系数关系构造等式或者函数关系式，注意根的判别式来确定或者限制参数的范围【领悟技法】圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围【触类旁通】x2y21长轴的两个端点，【变式 1】【2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】设A,B是椭圆C:4k若C上存在点P满足APB 120，则k的取值范围是（）42A.0,12,+)B.0,6,+)3324C.0,12,+)D.0,6,+)33【答案】A当椭圆的焦点在y轴上时，m3，当P位于短轴的端点时，APB取最大值，要使椭圆C上存在点P满足APB 120，APB 120，APO 60，tanAPO 4m，解得：m 12，m的取值tan60 3，4范围是0,12,+)故选 A3【变式 2】【2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】如图，已知抛物线的焦点在抛物线C2:y x21上，点是抛物线（）求抛物线（）过点上的动点的方程及其准线方程；的两条切线，A、B分别为两个切点，求PAB面积的最小值作抛物线【答案】()C1的方程为x 4y其准线方程为y 1；()2.2联立y 4tx2t2y x21由韦达定理得x1 x2 4t，可求得AB 116t212t242x1x2t 16t2+2116t2进而求得点P到直线AB的距离d 则PAB的面积1S AB d 2 3t2123t 1 2 3t 1所以当t 0时，S取最小值为2。即PAB面积的最小2232值为 2.试题解析：（）C1的方程为x2 4y其准线方程为y 1（2t，t2）（）设P，Ax1,y1，Bx2,y2，则切线PA的方程：y y1 2x1xx1，即y 2x1x2x12 y1，又y1 x121，所以y 2x1x2 y1，同理切线PB的方程为y 2x2x2 y2，4tx1 y12t2 0又PA和PB都过P点，所以，4tx2 y22t2 0所以直线AB的方程为4tx y2t2 0.联立y 4tx2t2y x212x1 x2 4t得x 4tx t 1 0，所以。x1x2t2122所以AB 116tx1 x2116t212t248t2t2 2t2116t2点P到直线AB的距离d 6t2+2116t2212所以PAB的面积S AB d 2 3t 123t 1 2 3t 1232所以当t 0时，S取最小值为2。即PAB面积的最小值为 2.考点考点 3 3圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题【3-1】【2017 届湖南省长沙市长郡中学高三下学期临考冲刺】在平面直角坐标系xOy中，点F1 3,0，P与圆F2内切.圆F2:x y 2 3x130，以动点P为圆心的圆经过点F1，且圆（）求动点P的轨迹E的方程；（）若直线l过点1,0，且与曲线E交于A,B两点，则在x轴上是否存在一点Dt,0t 0，使得x轴平分ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.22x2 y21（2）在x轴上存在一点D4,0，使得x轴平分ADB.【答案】（1）4试题解析：解：（）圆F2的方程可化为：x3故圆心F22 y216，3,0，半径r 4，而F1F2 2 3 4，所以点F1在圆F2内.又由已知得圆P的半径R PF2，由圆P与圆F2内切可得，圆P内切于圆F2，即PF所以PF1 PF2 4 F1F2|，故点P的轨迹，即曲线E是以F1,F2为焦点，长轴长为4的椭圆.显然c 3,a 2，所以b a c 1，2222 4 PF1，x2 y21故曲线E的方程为4（）设Ax1,y1,Bx2,y2，当直线AB的斜率不为0时，设直线l:x ny 1，22222代入x 4y 4 0得：n 4 y 2ny 3 0，16 n 3 0恒成立.由根与系数的关系可得，y1 y22n3,y y，1222n 4n 4设直线DA,DB的斜率分别为k1,k2，则由ODA ODB得，k1k2yx t y2x1ty1y212x1tx2tx1tx2ty1ny21t y2ny11tx1tx2t2ny1y21ty1 y2x1tx2t 0.2ny1y21ty1 y20，将y1 y2因此nt 40，故存在t 4满足题意.2n3,y y 代入得6n2n2nt 0，12n2 4n2 4当直线AB的斜率为0时，直线为x轴，取A2,0,B2,0，满足ODA ODB，综上，在x轴上存在一点D4,0，使得x轴平分ADB.x21 y21内，【3-2】【2017 届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4 月联考】已知点Pt,在椭圆C:22过P的直线l与椭圆C相交于 A，B 两点，且点P是线段 AB 的中点，O 为坐标原点（）是否存在实数 t，使直线 和直线 OP 的倾斜角互补？若存在，求出 的值，若不存在，试说明理由；（）求OAB面积 S 的最大值【答案】()存在；()Smax【解析】试题分析：2.2试题解析：（）存在.由题意直线 的斜率必存在，设直线 的方程是代入得：.（1）设解得：，则，即，此时方程（1）即由解得，（或由当当解得，时，显然不符合题意；时，设直线的斜率为），只需，即，解得，均符合题意.（）由（1）知 的方程是所以，因为【领悟技法】，所以当时，.解析几何中存在性问题的求解方法：1通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法【触类旁通】【变式一】【2017 届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下五校联考】如图，已知椭圆5513x2y2:221(a b 0)经过不同的三点A，线段BC的中,B,C(C在第三象限）ab2424点在直线OA上（）求椭圆的方程及点C的坐标；（）设点P是椭圆上的动点（异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，问OM ON是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】（1）,32251；（2）.16455521,a,4a216b22试题解析：（）由点A,B在椭圆上，得解得所以椭圆的方程为519b2.12284a16bx2y21.3 分5528由已知，求得直线OA的方程为x 2y 0,从而m 2n1.（1）22又点C在椭圆上，故2m 8n 5.（2）由（1）（2）解得n 313（舍去）或n .从而m ,442所以点C的坐标为,321.6分4（）设Px0,y0,M2y1,y1,N2y2,y2.33y044,整理得y 3x02y0.因P,B,M三点共线，故11142y0 x012y1x02211y2y0 x06y044,整理得y.10 分因P,C,N三点共线，故2334 2y x 1002y2x022522224y0.因点P在椭圆上，故2x08y05，即x02223x02y0 x06y03x020 x0y012y0从而y1y222216 4y x 4x y 10000162y0 x01y1 5 32234y020 x y 12y50004x0y0225.5 316164x0y01164x0y022所以OM ON 5 y1 5 y2 5 y1y225为定值15分16上一动点，【变式二】【2018 届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】已知点 为圆轴于点，若动点 满足（1）求动点 的轨迹方程；（2）若 是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8 的正方形，当线，过点的直线 与曲线 相交于两点，当线段（其中 为非零常数）时，得到动点 的轨迹为曲的中点落在正方形 内（包括边界）时，求直线 斜率的取值范围.【答案】(1),(2).（）设动点又，得，则，且，代入得动点 的轨迹方程为（）当时，动点 的轨迹曲线 为直线 的斜率存在，设为，则直线 的方程为得由，代入，解得设，线段的中点，则，注意到点 不可能在 轴由题设知，正方形 在 轴左边的两边所在的直线方程分别为右侧，则点 在正方形 内（包括边界）的条件是即解得，此时也成立于是直线 的斜率的取值范围为考点考点 4 4 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题【4-1】【2017 届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】已知椭圆x2y23C:221(a b 0)，直线y x与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰2ab好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1MF21，且MF(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点1,0，且与椭圆C交于P,Q两点，求F2PQ的内切圆面积的最大值.9.4x2y21；(2)3.【答案】(1)43【解析】试题分析：x2y21；(1)由题意求得a 2,b 3，所以椭圆的方程为43(2)由题意求得内切圆的面积函数：SF PQ212 n2，换元之后结合对勾函数的性质可得F2PQ面积3n24的最大值为 3.（2）由（1）知F,0，过点F11,0的直线与椭圆C交于P,Q两点，则F2PQ的周长为4a 8，11则SF2PQ14ar 4r（r为三角形的内切圆半径），当F2PQ面积最大时，其内切圆面积最大2设直线l的方程为：x ny1,Px1,y1,Qx2,y2由x2,得43ny2143x ny 12y26ny 9 0y1 y26n9,y y 12223n 43n 4所以SF PQ2112 n2 F1F2 y1 y223n241243t t，而3t 在1,上单调递增，令n21 t，则t 1，所以SF PQ21t所以SF PQ21243t t3，当t 1时取等号，即当n 0，F2PQ面积的最大值为 32222【4-2】已知圆 M：(x1)y=1，圆 N：(x1)y=9，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；（）l是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.18x2y21(x 2)；【答案】（1）（2）AB.743若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则QPQMR，解得Q(4,0)，故直线 l：y k(x4)；r1有 l 与圆 M 相切得3k1k21，解得k 222；当k 时，直线y x2，联立直线与椭圆444的方程解得AB【领悟技法】18182；同理，当k 时，AB.774直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力【触类旁通】x2y23【变式一】【2018 届江西省南昌市上学期高三摸底】已知椭圆C:221(a b 0)的离心率为，ab2短轴长为 2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y kxm与椭圆C交于M,N两点，O为坐标原点，若kOMkON求证：点m,k在定圆上.5，4x2 y21（2）证明见解析【答案】（1）椭圆C的标准方程为4kOMkON5 y1y254y1y2 5x1x24k2x1x24kmx1 x24m25x1x24 x1x244k25m21 8k2m2 m24k21 0m2 k222圆x y 56152 k2点m,k在定，由得0 m,45 2045上.4试题解析：（1）设焦距为2c，由已知e c3，2b 2，b 1，a 2，a2x2 y21.椭圆C的标准方程为4y kxm（2）设Mx1,y1,Nx2,y2，联立x242 y21得4k21x28kmx 4m24 0，22依题意，8km4 4k 14m 4 0，化简得m 4k 1，228km4m24x1 x2 2,x1x2，4k 14k21y1y2kx1mkx2m k2x1x2kmx1x2m2，若kOMkON25y y5，则12，即4y1y25x1x2，4x1x2424k x1x24kmx1 x24m 5x1x2，4k 5 24 m214k214km8km 24m 0，24k 122222222即4k 5m 1 8k m m4k 1 0，化简得m k 5，4615,k2.5 204522点m,k在定圆x y 上.（没有求k范围不扣分）42由得0 m【变式二】【2017 届云南省昆明市高三下学期第二次统测】在直角坐标系xOy中，动圆M与圆O1:x22x y2 0外切，同时与圆O2:x2 y22x24 0内切.（1）求动圆圆心M的轨迹方程；（2）设动圆圆心M的轨迹为曲线C，设A,P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP,BP分别交x轴于点S,T，证明:OSOT为定值.x2y21；【答案】（1）（2）详见解析.98x2y21.a 9,b 8，所以动圆圆心M的轨迹方程为9822(2)设Px0,y0,Ax1,y1,SxS,0,TxT,0，则Bx1,y1，由题意知x0 x1.则kAPy1 y0，x1 x0直线AP方程为y y1 kAPxx1，令y 0，得xSx0y1 x1y0，同理y1 y0 xTx0y1 x1y0y1 y0 x0y1 x1y0，于是y1 y0 x0y1x1y0 x0y1 x1y0 x02y12x12y02，OSOT xSxT22y1 y0y1 y0y1 y0 x022x12x2y221上，故y081又Px0,y0和Ax1,y1在椭圆,y181，则9899x02x1282222222222y y0 x0 x1,x0y1x1y08x018 x0 x1.8x1199921222x02y12 x12y028x0 x1所以OSOT 9.82y12 y022x0 x19【易错试题常警惕】【易错试题常警惕】易错典例：易错典例：ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，求点 A 的轨迹方程易错分析：没注意检验曲线上的点是否都满足题意温馨提示：温馨提示：1.1.要注意完备性和纯粹性的检验2.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y 之间的关系 F(x，y)0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(4)代入(相关点)法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程【学科素养提升之思想方法篇】【学科素养提升之思想方法篇】-数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【典例】【2018 届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，已知抛物线，过抛物线 的焦点 且与 轴平行的直线与 交于两点，且，圆.（1）证明：抛物线 与圆 相切；（2）直线 过 且与抛物线 和圆 依次交于【答案】（1）见解析；（2），且直线 的斜率，求的取值范围.试题解析：（1）证明：联立（2）与，得，故抛物线 的方程为，抛物线 与圆 相切.，直线 的方程为，圆心到直线 的距离为，设由则，得，设，设，则，函数，则，在，即上递增，的取值范围为.，