2013年高考理科数学上海卷.pdf

数学试卷 第 1 页（共 4 页）数学试卷 第 2 页（共 4 页）绝密启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.一、填空题（本大题共有 14 题,满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1.计算：20lim313nnn .2.设mR,222(1)immm是纯虚数,其中i是虚数单位,则m .3.若2211xxxyyy,则xy .4.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若22232330aabbc,则角C的大小是 （结果用反三角函数值表示）.5.设常数aR.若25()axx的二项展开式中7x项的系数为10,则a .6.方程1313313xx的实数解为 .7.在极坐标系中,曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为 .8.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）.9.设AB是椭圆的长轴,点C在上,且4CBA.若4AB,2BC,则的两个焦点之间的距离为 .10.设非零常数d是等差数列1x,2x,19x的公差,随机变量等可能地取值1x,2x,19x,则方差D .11.若1cos cossin sin2xyxy,2sin2sin23xy,则sin()xy .12.设a为实常数,()yf x是定义在R上的奇函数,当0 x时,2()97af xxx.若 ()1f xa对一切0 x成立,则a的取值范围为 .13.在xOy平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直 线1y 和1y 围成的封闭图形记为D,如 图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的 几何体为.过(0,)(|1)yy 作的水 平截面,所得截面面积为24 18y,试 利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方 体,得出的体积值为 .14.对区间I上有定义的函数()g x,记()|()g Iy yg x,xI.已知定义域为0,3 的函数()yf x有反函数1()yfx,且1(0,1)1,2)f,1(2,4)0,1)f.若 方程()0f xx有解0 x,则0 x .二二、选择题（本大题共有 4 题,满分 20 分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.15.设常数aR,集合|(1)()0Axxxa,|1Bx xa.若AB R,则a的 取值范围为 ()A.(,2)B.(,2 C.(2,)D.2,)16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ()A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 17.在数列na中,21nna.若一个 7 行 12 列的矩阵的第i行第j列的元素 ,i jijijcaaaa（1i,2,7；1j,2,12）,则该矩阵元素能取到的 不同数值的个数为 ()A.18 B.28 C.48 D.63 18.在边长为 1 的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a、2a、3a、4a、5a；以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d、2d、3d、4d、5d.若m、M分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值,其中 ，则m,M满足 ()A.0m,0M B.0m,0M C.0m,0M D.0m,0M -在-此-卷-上-答-题-无-效-姓名_ 准考证号_ 数学试卷 第 3 页（共 4 页）数学试卷 第 4 页（共 4 页）三、解答题（本大题共有 5 题,满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分 12 分）如图,在长方体ABCDABCD 中,=2AB,1AD,1AA.证明直线BC平行于平面CDA,并求直线BC到平面CDA的距离.20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110 x）,每一小时可获得利润是3100(51)xx 元.（）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元,求x的取值范围；（）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.已知函数()2sin()f xx,其中常数0.（）若()yf x在,243上单调递增,求的取值范围；（）令2,将函数()yf x的图象向左平移6个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数()yg x的图象.区间,a b（,a bR，且ab）满足：()yg x在,a b上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的,a b中,求ba的最小值.22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 8 分.如图,已知双曲线221:12xCy,曲线2:|1Cyx.P是平面内一点,若存在过点 P的直线与1C、2C都有公共点,则称P为“12CC型点”.（）在正确证明1C的左焦点是“12CC型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写 出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（）设直线ykx与2C有公共点,求证：|1k,进而证明原点不是“12CC型点”；（）求证：圆2212xy内的点都不是“12CC型点”.23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 9 分.给定常数0c,定义函数 .数列1a,2a,3a,满足 1()nnaf a,n*N.（）若12ac,求2a及3a；（）求证：对任意n*N,1nnaac；（）是否存在1a,使得1a,2a,3a,na,成等差数列？若存在,求出所有这样的 1a；若不存在,说明理由.