2015年高考理科数学陕西卷-答案.pdf

1/13 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学答案解析 第一部分 一、选择题 1.【答案】A【解析】由2|0,1,Mx xxM N|lg0N|01xxxx 所以0,1MN 【提示】求解一元二次方程化简 M，求解对数不等式化简 N，然后利用并集运算得答案【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】初中部女教师的人数为110 70%77；高中部女教师的人数为40 150%60，该校女教师的人数为7760137，【提示】利用百分比，可得该校女教师的人数【考点】收集数据的方法 3.【答案】C【解析】解：由题意可得当sin6x取最小值-1 时，函数取最小值32minyk，解得5k，3sin53yx，当sin6x取最大值 1 时，函数取最大值358maxy，【提示】由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值【考点】(n)siyAx的图象性质 4.【答案】B【解析】二项式(1)nx的展开式的通项是1rrrnTC x，令2r 得2x的系数是2nC，因为2x的系数为15，所以215nC，即2300nn，解得：6n 或5n ，因为nN，所以6n 2/13 【提示】由题意可得215nC，解关于 n 的方程可得【考点】二项式定理的应用 5.【答案】D【解析】根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为 2 1 1 22 2V 几何体 34【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积【考点】由三视图求面积，体积 6.【答案】A【解析】22cos20cossin0 (cossin)(cossin)0 所以sincossin=cos或【提示】由22cos2cossin，即可判断出【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】B【解析】因为|cos,|a ba ba ba b，所以选项 A 正确；当a与b方向相反时，|abab不成立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 C 正确；22(ab)(ab)ab所以选项 D 正确【提示】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得【考点】平面向量数量积的运算 8.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得 20062004xx，满足条件02002xx，满足条件02000 xx，满足条件00 xx，3/13 满足条件0 x ，不满足条件010 xy，输出 y 的值为10【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 x 的值，当2x 时不满足条件0 x，计算并输出y 的值为10.【考点】程序框图 9.【答案】B【解析】()lnpfabab，ln22ababqf，11()()lnln22rf af babab 函数()lnf xx在(0,)上单调递增，因为2abab，所以()2abffab，所以qpr【提示】由题意可得1(lnln)2pab，lnln2()ababqp，1lnl(n2)rab，可得大小关系【考点】不等关系与不等式 10.【答案】D【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为 x，y 顿，利润为 z 元，则3212280,0 xyxyxy，目标函数为34zxy 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域 由34zxy得344zyx，平移直线344zyx 由图象可知当直线344zyx 经过点 B 时，直线344zyx 的截距最大，此时 z 最大，解方程组321228xyxy，解得23xy，即 B 的坐标为23xy，346 1218maxzxy 即每天生产甲乙两种产品分别为 2，3 顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元 4/13 【提示】设每天生产甲乙两种产品分别为 x，y 顿，利润为 z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 z 的最大值【考点】简单线性规划的应用 11.【答案】D【解析】复数)(i(1zxy xyR，且|1|z，22|z|(1)1xy，即2211()xy，点()xy，在(1)0，为圆心 1 为半径的圆及其内部，而yx表示直线yx左上方的部分，（图中阴影弓形）所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，所求概率21111 11 14242P 【提示】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得【考点】几何概型 12.【答案】A【解析】假设选项 A 错误，则选项 B、C、D 正确，()2fxaxb，因为 1 是()f x的极值点，3 是()f x的极值，所以(1)0(1)3ff，203ababc，解得23baca，因为点(2,8)在曲线 yf x上，所以428abc，解得：5a，所以10b，8c，所以2()5108f xxx 因为215(1)10(1)8230f ，所以1不是()f x的零点，所以假设成立，选 A【提示】可采取排除法分别考虑 A，B，C，D 中有一个错误，通过解方程求得 a，判断是否为非零整数，5/13 即可得到结论【考点】二次函数的性质 第二部分 二、填空题 13.【答案】5【解析】解：设该等差数列的首项为 a，由题意和等差数列的性质可得20151010 2a 解得5a 【提示】由题意可得首项的方程，解方程可得【考点】等差数列 14.【答案】2 2【解析】抛物线22(0)ypx p的准线方程是2px ，双曲线221xy的一个焦点1(2,0)F，因为抛物线22(0)ypx p的准线 经过双曲线221xy的一个焦点，所以22p，解得2 2p 【提示】先求出221xy的左焦点，得到抛物线22(0)ypx p的准线，依据 p 的意义求出它的值【考点】抛物线的简单性质 15.【答案】(1,1)【解析】e()xfx，0e1(0)f exy 在(0,1)处的切线与(10)yxx上点 P 的切线垂直 点 P 处的切线斜率为1 又21yx，设点00()P xy，011x 00101xxx，01y 6/13 点()1,1P【提示】利用xye在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 16.【答案】1.2【解析】如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：2yax，因为抛物线经过(5)2，可得225a，所以抛物线方程：2225yx，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：523 500212822 22|2252753xx，等腰梯形的面积为：1062162，当前最大流量的横截面的面积8163，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：83161.218 【提示】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果【考点】直线与圆锥曲线的关系 三、解答题 17.【答案】（）3A（）3 32【解析】（）因为向量(,3)mab与s)n(cosiABn，平行，所以sin3 cos0aBbA，由正弦定理可知：sinsin3sincos0ABBA，因为sin0B，所以tan3A，可得3A；（）由正弦定理得72sinsin3B，从而21sin7B，7/13 又由ab，知AB，所以2 7cos7B 故sinsin()CABsin3B sincoscossin33BB3 2114 所以ABC的面积为13 3sin22bcA【提示】（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A；（）利用 A，以及72ab，通过余弦定理求出 c，然后求解ABC的面积【考点】余弦定理的应用，平面向量共线（平行）的坐标表示 18.【答案】（）见解析（）63【解析】证明：（）在图 1 中，12ABBCAD，E 是AD的中点，2BAD，BEAC，即在图 2 中，1BEOABEOC，则1BEAOC平面；CDBE，1CDAOC平面；（）若1ABEBCDE平面平面，由（）知1BEOABEOC，1AOC为二面角1ABEC的平面角，12AOC，如图，建立空间坐标系，111ABAEBCED，BCED 122222220 00 00 0,0,02BEAC，12222,0,0,2,0,02222BCACCDBE，设1ABC平面的法向量为(,)mx y z，1ACD平面的法向量为()abcn，则100mB CmAC得00 xyyz，令1x，则11yz，即(1,1,1)m，由100n ACn CD得00abc，取1)1(0n，8/13 则26cos,332|m nm nm n，即1ABC平面与1ACD平面夹角的余弦值为63 【提示】（）根据线面垂直的判定定理即可证明：1CDAOC平面；（）若1ABEBCDE平面平面，建立空间坐标系，利用向量法即可求1ABC平面与1ACD平面夹角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（）T 的分布列为：T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 32ET（分钟）（）0.91【解析】（）由统计结果可得 T 的频率分步为 T（分钟）25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而数学期望25 0.230 0.335 0.440 0.132ET（分钟）（）设12TT，分别表示往、返所需时间，12TT，的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”9/13 12121212()()()7035404()()0354040PP TTP TTP TTP TAT，0.4 0.1 0.1 0.40.1 0.10.09 故)10.91(AP AP 【提示】（）求 T 的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数 样本容量，数学期望25 0.230 0.335 0.440 0.132ET（分钟）；（）设12TT，分别表示往、返所需时间，事件 A 对应于“刘教授共用时间不超过70分钟”，先求出12121235404035()()()().0040409PP TTP TTP TTA，【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列 20.【答案】（）32（）221123xy【解析】（）经过点(0,)b和(),0c的直线方程为0bxcybc，则原点到直线的距离为2212bcdcbc，即为223212cbabeaa，；（）由（）知，椭圆 E 的方程为22244xyb，由题意可得圆心()21M ，是线段AB的中点，则|10|AB，易知AB与 x 轴不垂直，记其方程为1)2(yk x，代入可得 2222148124)1240(kxkk xkb，设1122()()A xyB xy，则1228(12)14kkxxk，221224(12)414kbx xk，由124xx，得28(12)414kkk，解得12k，从而21282x xb，于是2212121215|1|()422ABxxxxx x210(2)10b，解得23b，则有椭圆 E 的方程为221123xy【提示】（）求出经过点(0)b，和(0)c，的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（）由（）知，椭圆 E 的方程为22244xyb，设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得23b，即可得到椭圆方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，曲线与方程 10/13 21.【答案】（）见解析（）当1x 时，()()nnfgxx 当1x 时，()()nnfgxx【解析】证明：（）由2()()212nnnF xfxxxx，则10(1)nFn，2111111121220122222121nnnnF，()nF x在1,12内至少存在一个零点，又1()012nnFxxnx，()nF x在1,12内单调递增，()nF x在1,12内有且仅有一个零点nx，nx是()nF x的一个零点，()0nnF x，即11201nnnxx，故11122nnnxx；（）由题设，(1)(1)()2nnnxgx，设2(1)(1)()102()()nnnnnxh xfxgxxxxx，当1x 时，()()nnfgxx 当1x 时，11(1)()122nnn nxh xxnx 若01x，11112.(1)()2nnnnnxnxhnxxx 11(1)(1)022nnn nxn nx 若1x，1111(1)2.2()nnnnn nxhnxxxx 11(1)(1)022nnn nxn nx()h x在(0)1，内递增，在(1)，内递减，1(0)()hhx，即()()nnfgxx 11/13 综上，当1x 时，()()nnfgxx；当1x 时，()()nnfgxx【提示】（）由2()()212nnnF xfxxxx，求得0(1)nF，102nF再由导数判断出函数()nF x在1,12内单调递增，得到()nF x在1,12内有且仅有一个零点nx，由()0nnF x，得到11122nnnxx；（）先求出(1)(1)()2nnnxgx，构造函数2(1)(1)()1()()2nnnnnxh xfxgxxxx，当1x 时，()()nnfgxx；当1x 时，利用导数求得()h x在(0)1，内递增，在(1)，内递减，即得到()()nnfgxx【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合 22.【答案】（）见解析（）3【解析】证明：（）DE是O的直径，则90BEDEDB，BCDE，90CBDEDB，即CBDBED，AB切O于点 B，DBABED，即CBDDBA；（）由（）知BD平分CBA，则3CDBAADBC，BC2，3 2AB，22C4AABBC，则3AD，由切割线定理得2ABAD AE，即26ABAEAD，故3DEAEAD，即O的直径为 3【提示】（）根据直径的性质即可证明：CBDDBA；（）结合割线定理进行求解即可求O的直径【考点】直线与圆的位置关系 23.【答案】（）22(3)3xy 12/13 （）()3,0P【解析】（）由C的极坐标方程为2 3 sin 22 3 sin，化为222 3xyy，配方为22(3)3xy（）设133,22Ptt，又(0,3)C 22213|33122 322PCttt，因此当0t 时，|PC取得最小值2 3 此时()3,0P【提示】（）由C的极坐标方程为2 3 sin 化为22 3 sin，把222s i nxyy代入即可得出（）设133,22Ptt，又(0,3)C利用两点之间的距离公式可得2|12PCt，再利用二次函数的性质即可得出【考点】点的极坐标和直角坐标的互化 24.【答案】（）31ab （）4【解析】（）关于 x 的不等式|xab可化为baxba，又原不等式的解集为4|2xx，24baba，解方程组可得31ab；（）由（）可得12312atbttt 3 4tt 2222(3)1(4)()tt 2 44tt，当且仅当413tt即1t 时取等号，所求最大值为 4 13/13 【提示】（）由不等式的解集可得 a 与 b 的方程组，解方程组可得；（）原式3123 4tttt，由柯西不等式可得最大值【考点】不等关系与不等式