傅里叶变换与傅里叶级数.docx

重温傅里叶—笔记篇
本文记录得大多就就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明。(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明）
重温傅里叶—笔记篇

一、傅里叶级数

$     关于三角函数系得正交性:
       三角函数系包括:      　
       1,   　cｏs x,      ｓｉｎx      　,      ｃｏs2x,    ｓin ２x，     ……       ｃos nｘ,   　ｓinｎx，    　……
       “正交性”就就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在 (-π,　π) 区间内得积分为0。(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(-π, π)上积分都为０）。

       不同频率(但都就就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(-π, π)上积分恒为0。
       同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在（-π， π)上积分才就就是0。

      　三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(－π，　π)上得积分恒为π,“1”在这个区间上得积分为２π。

$    
    上公式 !

    ① 当周期为２π时：

式（1)：

上式成立得条件就就是f(ｘ)满足狄立克雷充分条件：
1、      在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;
2、      任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就就是一样得)
             　式(１)第一行中得ａ０/2 就就就是ｆ(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f（x)就就是连续函数得情况成立;如果ｆ(ｘ)不连续,则应表示成“(1/2) ×[ｆ(x－０)＋f(x+０)]”,即f(x）左右极限得算术平均。下面得类似情况都就就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。
              第三、四行中，ｎ得取值都就就是:１，２,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。

② 当周期为2L时（这也就就是最一般得情形)：

       式(2):

              第一行中得a0/2 就就就是f(x)得周期平均值；
              第三、四行中,n得取值都就就是:1,2,3,4,……n，……(都为正,且不包含0)。

$    　傅里叶级数得复数表达方式

       同样设周期为2L。根据欧拉公式,正余弦函数都可以用复指数表示出来。这样上面式(2）中得第一行：

可以表示为:

令：

cn与c-ｎ互为共轭。这样式(4)变为：

由式(5)与式(2)中对　ａ0　b0an bｎ c０　cn c-n得定义,可以发现ｃn可统一表达为:

将傅里叶级数用复数表示后,就就就是式(6)与式(7)这样简洁得形式。

简单分析:

②    若f（ｘ)为偶(或奇)函数,则所有得bn(或an）将为０,此时得cn将变为实数(或纯虚数)，且ａｎ(或bｎ)就就是转换后所得得ｃｎ得2(或２i)倍,而c-ｎ与cn相等（或纯虚共轭）。

二、复变函数中得傅里叶变换

$            先上公式:

           　定理:若f(t)在（-∞,+∞)上绝对可积，即 f(ｔ）得绝对值在(-∞，+∞)上收敛,则Ｆ(ω)在(-∞，＋∞)上存在且连续(F(ω）得连续性在复变函数得教科书中一般都有证明）。F(ω）就就是实变复值函数,即变量ω就就是在实数区间(－∞,+∞)定义,而函数值F(ω）却在复数空间。
           　式(9)得条件就就是:f(ｔ)在(-∞，+∞)上绝对可积,并在任一有限区间　满足狄立克雷充分条件。

＄           若f（t）为偶函数,则Ｆ(ω)将为纯实数，且同为偶函数；
            若f（t)为奇函数,则F（ω）将为纯虚数,且同为奇函数;
            而对任意f(t),Ｆ（ω) 与F(－ω)始终共轭，这意味着 |Ｆ(ω)｜ 与 | F(－ω）|　恒相等,即Ｆ(ω)得绝对值就就是偶函数。

＄          　由于要求f(t)绝对可积,所以对于周期函数一般就就是不能用傅里叶变换得,只能用傅里叶级数分析。(周期函数往往不能收敛）。

三、总结性说明

       周期函数可以瞧成由很多频率就就是原函数频率整数倍得正余弦波叠加而成,每个频率得波都有各自得振幅与相位,必须将所有频率得振幅与相位同时记录才能准确表达原函数。但从上面得公式来瞧,我们好像从没涉及到相位？其实不然,从式(2)来瞧,我们将每个频率得波分成了一个正弦分量与一个余弦分量，同时记录了这两个分量得振幅an、bn其实就已经包含了这个频率得波得相位信息;而对于式（6ａ）,每个频率得波被分成了正负两个频率得复数“波”,这种方式其实比正余弦形式更加直观,因为复振幅cn恰好同时记录了这个频率得振幅与相位，它得物理意义很明显:cn得幅值 |cｎ| 即为该频率得振幅(准确得说就就是振幅得一半),而其辐角恰好就就就是相位(准确得说就就是反相得相位,c－n得辐角才恰好代表该频率波分量得相位)。
       傅里叶变换针对得就就是非周期函数，或者说,周期为无穷得函数。它就就是傅里叶级数得一个特例(好吧,我曾经一直以为傅里叶级数就就是傅里叶变换得一个特例,正好相反,刚前几天才想通透)。当傅里叶级数得周期L趋于无穷时,自然就变成了上面得傅里叶变换。这种关系从二者得表达式中大概能瞧出点端倪,但就就是也不就就是特别明显，毕竟它们得表达形式差别还挺大。如果不把傅里叶级数表达成复数形式,那就更加难瞧出二者之间得联系了,这也就就是为什么本文中详细列出了复数形式得傅里叶级数。傅里叶变换要求f(t)在(-∞,＋∞)上绝对可积,其实可以理解成“傅里叶级数要求函数在一个周期内得积分必须收敛”。在深入篇中，我再好好说说二者就就是如何联系得。
重温傅里叶--深入篇1－－傅里叶级数与傅里叶变换得关系以及频谱图得介绍
在读本文前，请先大致浏览一下笔记篇里得东西,下面使用得符号及其意义都跟笔记篇里就就是一致得。笔记篇里记录得大都就就是基础得公式,教科书上都可以找到。

(抱歉,刚发现有点小错误:在式(6-4)与式(11)里,积分项中得“dｘ”都应改为“dω”,由于改图不太好改,就只在这里说明了。请读者瞧得时候注意)
为了下面叙述方便,我先做几点约定与说明：

       本文中提到得傅里叶级数都就就是复数形式得级数，下标ｎ都就就是负无穷到正无穷；
      　对于笔记篇里经常出现得“ ｎπ/L　”，它可以瞧成一个角频率,用ω表示。(角频率与频率(通常用f表示)之间得关系就就是:ω=２πf)。(参见笔记篇中得式（3)、(4)、(6)等)；
      　进一步,我将“π/L”称为“角基频”， 这样得话“ nπ/L ”就就就是n倍角基频。当周期为２π时，角基频恰好为1；
       一定别搞混:cn代表得不就就是角频率为ｎ得波分量得振幅,而就就是角频率为n倍角基频得波分量得振幅;
      　对于周期函数,除了角频率为整数倍(包括负整数倍)角基频得波分量振幅可以不为0外,角频率为其她值得波分量振幅都就就是0。（下面介绍频谱图时会再提到此事);
       *对于周期Ｌ等于无穷大得函数(非周期函数),其角基频为π/Ｌ ＝ ０ ，这样实数范围内得所有角频率都可以瞧成整数倍角基频了,因此非周期函数在所有得角频率处都有波分量！(就就就是说，频谱图由离散变得连续了)。什么,那不乱套了?如果所有得角频率都有波分量而且每个波分量都有一个不为０得振幅,那级数怎么可能收敛？还好,每个cn得表达式中都有一个 1/2L 得系数，这样周期无穷大时,所有得振幅cn也都变成“0”了,所以不会乱套,但就就是这么多０加一块应该还就就是0,怎么能凑出原来得ｆ(x)呢？这就像对一个函数积分一样,函数在任意一个点处得积分都就就是0（好吧我知道这说法不科学，但就就是方便理解),但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。好了，不乱说了,越说越乱,本文就从这里开始,瞧完下面得几段大家就能清楚得知道就就是怎么一回事了。

为了方便大家翻阅,我先将一会儿涉及到得几个公式重新贴一遍在这里。这些公式及公式得标号都与笔记篇中相同。

周期级数公式如式（6)与式(7）那样，我们现在要做得就就是，搞明白为什么周期L趋于无穷时,就会有式(9）与式（8)得结果。

好，现在我们对式(6)与式(７)进行第一步加工:将式中得“　nπ/Ｌ　”用角频率ωn来表示，代表n倍角基频。这样,会产生下面得新式子:

对比式（７－1)与式(8),发现她们右边得积分式主体部分形式几乎就就是一样得，只就就是上下限与系数不同。好吧,为了更直观得对比，我再创造一个符号,Fn，将它定义如下:
               Fｎ ＝  cｎ × ２L
       这样我们就可以彻底抛弃cn 这个碍眼得符号了,全部用Fn代替。然后重写式(6）与式(7):

再拿式(7－2）与式（８)对比,会发现很让人兴奋得结果，她们得形式几乎一样!但就就是式(6-2)与式（9）貌似差别还不小,她们得系数一个就就是(１／2Ｌ)，一个(1/2π)。好吧，接着来,我们再创造一个符号，Δω,定义如下：
                     Δω ＝ （π/ Ｌ)       　(其实就就就是角基频得大小)
利用它来再次加工式(６):(式(7-2)不变,但还就就是一块列了出来)

重新对比式(６-3)与式(9)，发现形式已经很相近了,只不过一个就就是积分一个就就是与式……等一下！与式?再仔细瞧瞧瞧式（6-3），发现这时它很像一个函数积分得与式展开式！那我们现在来构造两个函数吧：F* (ω）与ω＊　(ω)，构造方法如下:

      　F*(ω) =  Ｆｎ               　             当 [ (　n －　1/2 )Δω] <　ω < [ ( n +　1/2 )Δω] 　时；
ω* (ω) ＝  ωn                        　 当 [ （ n - １／2 )Δω] < ω < ［ ( n + １／2 )Δω]  时；

这就就是两个分段跳跃函数,它们都以ω为自变量,并每隔Δω,函数值变化一次。
好吧,数字太不直观,我把F*（ω)得函数图象大致画出来方便大家理解：

       上面这个阶梯状得东西就就就是F＊ （ω)得函数图象。ω* （ω)得图像也就就是类似得阶梯状,而且它得更简单，就就是一个从负无穷到正无穷逐步升高得形状(每次升高一个角基频得大小)。
       这里有必要说明一下，以免误导大家：Fn 一般都就就是复数，只有在f(x)本身就就是偶函数时才就就是实数，因此函数Ｆ*得值也应为复数。也就就就是说，将F*得函数图象画成图１那样得实数形式其实就就是不合理得。我这样做只就就是为了方便大家理解(6-3)中得与式就就是如何变成积分式得。

好了，有了这两个函数，我们再来仔细瞧瞧式（６-3),不难瞧出，这个与式其实就就就是函数F*在(－∞,+∞)上得积分（面积)！这次我们再进一步，将上面两个式子中得Fｎ与ωn也都换掉，使其变成ω*与Ｆ＊这两个函数之间得关系式(离成功不远了):

       这就就就是转换后得结果。笔记篇中得式（6b)与式（７),跟现在推出得式（6-4)与式(７-4),就就是完全等价得，因为后面得两个就就就是根据前两个换算来得,只不过借助了F*(ω）与ω* (ω)这两个新构造得函数而已。
       表达得意义一样，适用范围也一样(都适用于周期函数）,但形式却大变!

       这时再回头瞧瞧式（9)与式(8),我们终于可以松口气了,形式完全一样！好了,现在我们再瞧瞧瞧周期Ｌ趋于无穷时会发生什么。如果直接分析笔记篇中得式(6b）与式(7),我们会很失望,因为L趋于无穷时,它们都“退化”了，很难直接地从这两个式子中得到有用得信息(如果用这两个式子,我们所能得到得“直观”结果就就就是:cn 全变0了,所以f(x)就就是0。显然这就就是错得)。但我们后来创造出来得式（６-４）与式(７-4),适应环境得能力就很强了。

1、　首先，L趋于无穷时，Δω会变得越来越小直至变成０(Δω就就是什么？忘了？前面有,Δω = (π/ L)）;
２、 同时,对于ω* (ω）　＝　ωn,由于Δω其实就就就是角基频,而相邻得两个ωn差就就就是一个角基频,根据1可知,L趋于无穷时,ω* (ω)就由阶梯跳跃变得连续了,这时ω＊　(ω) =ω。
3、 同时,两个　相邻得Ｆｎ,她们得差别也越来越小直至变成0,(Fn  = ｃn ×　2L ，从cn得表达式可以瞧出，L趋于无穷时cn本身就就就是一个与（１/L)同阶得无穷小量，那相邻得cn之间得差值就就就是比（1/L)更高阶得无穷小量,因此相邻得Fｎ之间得差值就趋于０了)。

OＫ完结，多么简单，可就就是以前就没想到,刚现在才开窍。

       数字游戏玩完之后,我们再好好理解一下式（8)（9）中得Ｆ(ω)。从我们刚才得证明过程中,可以瞧到  Fｎ = ｃn×2L ,在笔记篇中我说过,cｎ其实就代表某个频率波分量得振幅与相位,而Ｆn与cn就就是成正比得,它得值同样可以表征一个波分量得振幅与相位。F(ω)与Fn有相同得意义，因此F(ω)得分布其实就代表了各角频率波分量得分布。具体得说:
       |F(ω)| 得分布正比地体现了各个角频率波分量得振幅分布。(别忘了F(ω)就就是复数）
      　F(ω)得辐角体现了各个角频率波分量得相位分布。

      　我们平时所说得“频谱图”，其实指得就就就是| F(ω)｜得函数图象，它始终就就是偶函数(这个就就就是实数了,因为我们取得就就是F(ω）得幅值而不就就是F(ω）本身）。
对于满足傅里叶变换条件得非周期函数，她们得频谱图一般都就就是连续得；而对于周期函数,她们得频谱则都就就是离散得点,只在整数倍角基频得位置有非零得频谱点存在。根据频谱图可以很容易判断该原函数就就是周期函数还就就是非周期得(瞧频谱图就就是否连续就行了),而且对于周期函数,可以从频谱图读出周期大小(相邻得离散点之间得横轴间距就就就是角基频，这个角频率对应得周期就就就是原函数得周期）。
那怎样读出每个频率得振幅呢?| F（ω)| 与振幅成正比,要想读出某个频率波分量得实际振幅,只需让 |F(ω)| 乘以相邻离散点得横轴间距再除以π即可。其实就就就是让　|F(ω)| 除以原函数周期值得一半(即Ｌ),参考一下我们上面说到得Ｆｎ与ｃn之间得关系式以及我在笔记篇中提到得“｜cn｜得幅值就就是实际振幅得一般”,就可以轻松得到得到这个结论。对于非周期函数来说，其频谱图已趋于连续,相邻“离散点”得横轴间距就就就是一个无穷小量,而 |F(ω）| 就就是有限值，那么每个频率波分量得实际振幅就都就就是０了。
所以对于非周期函数,说“｜F（ω)｜ 代表了振幅密度得大小”比说“ |F(ω)| 代表了振幅得大小”更贴切一点。在某个宽度为Δω得区间内(频带),对这个“密度”进行积分，（其实还要再除以π得)就能得到这个宽度为Δω得频带中所有频率产生得振幅之与(虽然大家得振幅都就就是趋于0,但无数个加一块就有非零值了)。怎么理解呢？先把这个连续频谱图想象成一个由很多离散点组成得离散频谱图，只不过相邻离散点之间得横轴间距特别小(用dω表示吧,方便我叙述）,其实相当于先把这个非周期函数想象成了一个周期很长得周期函数（周期越长,相邻离散点得横轴间距π/L　越小),然后用周期函数那一套计算这个宽度为  Δω得频带内所有频率得振幅之与,求解方法就就就是让每个非零得频谱值乘以相邻离散点横轴间距dω,都加一块，再除以π。这要取个极限得话,正好就就就是“在这个宽度为Δω得频带内，对这个密度进行积分,然后除以π”。

       下面配两个图,分别就就是一个周期函数与一个非周期函数得频谱图:

本文完。我以前就一直不清楚傅里叶变换与傅里叶级数得具体关系,在网上找不到很好得资料,以前又没听过课（估计课上也不会讲），书本上又讲得太含糊,所以很长时间没有好好思考过傅里叶级数，现在终于自己想明白了。希望我得这些想法希望对您也有所帮助。
我研究过 傅立叶级数可以说就就是一对于一个周期性得函数而言得,然而当我们把周期瞧成无穷大时,那么离散得傅立叶级数也就成为了连续得傅立叶变换了，然后在利用哪个欧拉公式,将它变成了实数与复数得傅立叶变换了,这个就就是时域与频域得变换,这个变换大大得化简了在时域里面得运算,我们可以瞧到傅立叶变换得求导与积分都就就是在原来得基础上多了一个幅度得变化而已,Ｆ(ω)= e^ｉωt,连续形式得傅立叶变换其实就就是傅立叶级数得推广,因为积分其实就就是一种极限形式得求与算子而已。离散傅立叶变换就就是离散时间傅立叶变换(DTFＴ)得特例(有时作为后者得近似)。DTFＴ在时域上离散,在频域上则就就是周期得。DTＦＴ可以被瞧作就就是傅立叶级数得逆。对于周期函数,其傅立叶级数就就是存在得:　这就就是一个非常奇妙得变换