工学第三章空间力系.pptx

第四章第四章第四章第四章空间力系空间力系空间力系空间力系空间力系实例空间力系实例1 -车床主轴车床主轴第三章第三章第三章第三章 空间力系空间力系空间力系空间力系空间力系实例空间力系实例2 -高压输电线塔高压输电线塔第第4章章 空间力系空间力系空间力系实例空间力系实例3 -发动机曲轴发动机曲轴第第4章章 空间力系空间力系空间力系：空间力系：若作用于物体的力系中各力的作用线不若作用于物体的力系中各力的作用线不在同一平面内，此力系称为空间力系。在同一平面内，此力系称为空间力系。空间力系空间力系空间汇交力系空间汇交力系空间力偶系空间力偶系空间平行力系空间平行力系空间任意力系空间任意力系第第4章章 空间力系空间力系31 空间汇交力系空间汇交力系空间汇交力系：当空间力系中各力的作用线汇交空间汇交力系：当空间力系中各力的作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系。于一点时，称其为空间汇交力系。思考：平面汇交力系合成的力多边形法则平面汇交力系合成的力多边形法则对空间汇交力系是否适用？对空间汇交力系是否适用？对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？用解析法用解析法空间汇交力系空间汇交力系一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影 1 1一次投影法（直接投影法）一次投影法（直接投影法）已知：空间力及其与三个轴的夹角已知：空间力及其与三个轴的夹角空间汇交力系空间汇交力系 2.2.二次投影法（间接投影法）二次投影法（间接投影法）第一次投影：第一次投影：第二次投影：第二次投影：一、力在直角坐标轴上的投影一、力在直角坐标轴上的投影已知：空间力已知：空间力F F、力与、力与z轴的夹角轴的夹角及及力在力在xoy平面上的投影与平面上的投影与x轴的夹角轴的夹角空间汇交力系空间汇交力系 圆柱斜齿轮，受啮合力圆柱斜齿轮，受啮合力F的作用。已知斜齿轮的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）的齿倾角（螺旋角）和压力角和压力角，求力，求力F 在在x、y、z轴上的投影。轴上的投影。例例3-1空间汇交力系空间汇交力系解：根据已知条件，采用二次投影法。解：根据已知条件，采用二次投影法。（1 1）将力）将力F F向向z z轴和轴和OxyOxy平面投影，得平面投影，得（2 2）将力）将力F F向向x x、y y轴投影，得轴投影，得例例3-1空间汇交力系空间汇交力系二、空间汇交力系的合成与平衡二、空间汇交力系的合成与平衡 1 1空间汇交力系的合成空间汇交力系的合成a.几何法几何法 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合合力的作用线通过力系的汇交点力的作用线通过力系的汇交点。b.解析法求合力解析法求合力由合力投影定理，有由合力投影定理，有空间汇交力系空间汇交力系所以，合力的大小为：所以，合力的大小为：二、空间汇交力系的合成与平衡二、空间汇交力系的合成与平衡 1 1空间汇交力系的合成空间汇交力系的合成合力的方向为：合力的方向为：空间汇交力系空间汇交力系 2 2空间汇交力系的平衡空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零力等于零。空间汇交力系平衡的解空间汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在析条件是：力系中所有各力在三个坐标轴上投影的代数和分三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。别等于零。二、空间汇交力系的合成与平衡二、空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的平衡方程空间汇交力系的平衡方程三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。空间汇交力系空间汇交力系例例3-3已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；求：杆受力及绳拉力解：1、取B点为研究对象 2、受力分析 3、列平衡方程空间汇交力系空间汇交力系1.回顾力对点的矩回顾力对点的矩 力力F 对点对点O的矩的矩MO(F)，大小为：，大小为：|MO(F)|=Fh n nh hr rF FO OA AB Bz zx xy yMO(F)32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩2.空间中力矩作用面不同，把力空间中力矩作用面不同，把力对点的矩仍作为代数量不能全面对点的矩仍作为代数量不能全面反映物体实际的转动效果。反映物体实际的转动效果。3.为了反映转动效应的方位，为为了反映转动效应的方位，为对点的矩必须用矢量表示。对点的矩必须用矢量表示。力对点的矩矢等于矩心到力的作力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的的矢量积。用点的矢径与该力的的矢量积。一、力对点的矩以矢量表示一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢1 1力矩矢的概念力矩矢的概念 具有大小、转向和方位三个要具有大小、转向和方位三个要素的力对点之矩用矢量来描述，称素的力对点之矩用矢量来描述，称为力矩矢，用为力矩矢，用M MO O（F F）表示。）表示。2 2力矩矢的描述力矩矢的描述 力矩矢通过矩心力矩矢通过矩心O O，垂直于力，垂直于力矩作用面。方向按右手法则确定。矩作用面。方向按右手法则确定。其大小即矢量的模。转向为力绕矩其大小即矢量的模。转向为力绕矩心转动的方向。心转动的方向。力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩3 3力矩矢的表达式力矩矢的表达式 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩|rF|=Frsin=Fh方向与力矩矢的方位相同方向与力矩矢的方位相同 结论：力对点的矩矢等于矩结论：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。力的矢量积。一、力对点的矩以矢量表示一、力对点的矩以矢量表示（3 3）作用面：力矩作用面）作用面：力矩作用面（2 2）方向：转动方向）方向：转动方向(1(1）大小：力）大小：力F F与力臂的乘积与力臂的乘积力矩矢与力矩矢与o o点的选点的选择有关择有关!定位矢量定位矢量代入代入可得可得 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩4 4力矩矢的解析表达式力矩矢的解析表达式一、力对点的矩以矢量表示一、力对点的矩以矢量表示力矩矢在三个力矩矢在三个坐标轴上的投影坐标轴上的投影 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩4 4力矩矢的解析表达式力矩矢的解析表达式一、力对点的矩以矢量表示一、力对点的矩以矢量表示二、力对轴的矩二、力对轴的矩 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零力对该轴的矩为零.力对轴的矩是力使刚力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度体绕该轴转动效果的度量，是一个量，是一个代数量代数量；1 1力对轴的矩的定义力对轴的矩的定义OzFFxyFzABhFxyFxyFzFxyFxyFzFxy 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩二、力对轴的矩二、力对轴的矩其大小等于该力在垂直于该其大小等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩；与该轴的交点的矩；其正负号由右手法则给定：其正负号由右手法则给定：以右手四指表示力使物体绕轴以右手四指表示力使物体绕轴转动的方向，若拇指的指向与转动的方向，若拇指的指向与轴的正向相同则取正号，反之轴的正向相同则取正号，反之取负号。取负号。力与轴平行力与轴平行(Fxy=0)；力对轴之矩等于零的情况力对轴之矩等于零的情况 力与轴相交力与轴相交(h=0)总之：只要力与轴在同一平面内总之：只要力与轴在同一平面内,力对轴之矩等于零。力对轴之矩等于零。1 1力对轴的矩的定义力对轴的矩的定义二、力对轴的矩二、力对轴的矩 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力对轴之矩的单位为力对轴之矩的单位为Nm。yxOzFxyXYZFA(x,y,z)力作用点力作用点 A的坐标为的坐标为 x，y，z ;A(x,y,z)A(x,y,z)根据定义及合力矩定理：根据定义及合力矩定理：Mz(F)=M O(Fxy)=MO(Fx)+MO(Fy)=x Fy yFxXYZFxFyFz.力对轴的矩的解析表达式力对轴的矩的解析表达式yx力对轴之矩的力对轴之矩的解析表达式解析表达式Fxy二、力对轴的矩二、力对轴的矩 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 合合力矩定理：力矩定理：合力对某轴的矩等于各个分合力对某轴的矩等于各个分力对该轴的矩的代数和力对该轴的矩的代数和 。.合力矩定理的推广合力矩定理的推广二、力对轴的矩二、力对轴的矩小结：求力对轴的矩的三种方法小结：求力对轴的矩的三种方法定义法定义法用合力矩定理用合力矩定理用解析表达式用解析表达式已知：手柄已知：手柄已知：手柄已知：手柄 ABCE ABCE 在平面在平面在平面在平面 xAy xAy 内，在内，在内，在内，在 D D 处作用一处作用一处作用一处作用一个力个力个力个力F F，它在垂直于，它在垂直于，它在垂直于，它在垂直于y y 轴的平面内，偏离铅直线的轴的平面内，偏离铅直线的轴的平面内，偏离铅直线的轴的平面内，偏离铅直线的角度为角度为角度为角度为。若。若。若。若CD=aCD=a，BCBCx x轴，轴，轴，轴，CE CE y y轴，轴，轴，轴，AB=AB=BC=lBC=l。求力。求力。求力。求力F F对对对对x x、y y和和和和z z三轴的矩。三轴的矩。三轴的矩。三轴的矩。力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩解法：根据力对轴之矩的定义计算。根据力对轴之矩的定义计算。例3-力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩例3-解法2：将力将力F F沿坐标轴分解为沿坐标轴分解为F Fx x 和和F Fz z。根据合力矩定理的推广式计算。根据合力矩定理的推广式计算。力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩例3-解法3：力在力在 x、y、z轴的投影为：轴的投影为：根据力对轴之矩的根据力对轴之矩的解析表达式计算。解析表达式计算。力力F作用点作用点D的坐标为：的坐标为：三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 力对点之矩在通过该力对点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。力对该轴之矩。力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩力矩矢的投影力矩矢的投影 力对轴的矩的解析表达式力对轴的矩的解析表达式如如果果力力对对通通过过O点点的的直直角角坐坐标标轴轴 x、y、z 的的矩矩是是已已知知的的，则则力力对对点点O的的矩矩的的大大小小和方向余弦为：和方向余弦为：力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系 33 空间力偶空间力偶 一、力偶矩以矢量表示一、力偶矩以矢量表示-力偶矩矢力偶矩矢空间力偶的三要素：大小、转向、作用面的方位空间力偶的三要素：大小、转向、作用面的方位用用力偶矩矢力偶矩矢来度量，用来度量，用M表示表示 。空间力偶空间力偶 1 1力偶矩矢三要素的确定力偶矩矢三要素的确定a.a.大小：力与力偶臂的乘积大小：力与力偶臂的乘积b.b.转向：力偶的转动方向；转向：力偶的转动方向；c.c.作用面的方位：力偶作用面的法线方向。作用面的方位：力偶作用面的法线方向。右手法则判断右手法则判断。一、力偶矩矢一、力偶矩矢空间力偶空间力偶 2 2力偶矩矢的性质力偶矩矢的性质 一、力偶矩矢一、力偶矩矢力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。而改变。力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。只只要要保保持持力力偶偶矩矩不不变变，力力偶偶可可在在其其作作用用面面内内任任意意移移转转，且且可可以以同同时时改改变变力力偶偶中中力力的的大大小小与与力力偶偶臂臂的的长长短短，对对刚刚体的作用效果不变。体的作用效果不变。=2 2力偶矩矢的性质力偶矩矢的性质一、力偶矩矢一、力偶矩矢空间力偶空间力偶只只要要保保持持力力偶偶矩矩不不变变，力力偶偶可可从从其其所所在在平平面面移移至至另另一一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。=2 2力偶矩矢的性质力偶矩矢的性质一、力偶矩矢一、力偶矩矢空间力偶空间力偶定位矢量定位矢量力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量自由矢量滑移矢量滑移矢量空间力偶空间力偶二、空间力偶等效定理二、空间力偶等效定理空空空空间间间间力力力力偶偶偶偶等等等等效效效效定定定定理理理理：作作作作用用用用在在在在同同同同一一一一刚刚刚刚体体体体上上上上的的的的两两两两个个个个空空空空间间间间力力力力偶偶偶偶，如如如如果果果果其其其其力力力力偶偶偶偶矩矩矩矩矢矢矢矢相相相相等等等等，则它们彼此等效。则它们彼此等效。则它们彼此等效。则它们彼此等效。空间力偶空间力偶三空间力偶系的合成与平衡条件三空间力偶系的合成与平衡条件1 1空间力偶系的合成空间力偶系的合成=空间力偶系可合成为一个合力偶，合空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。空间力偶空间力偶三空间力偶系的合成与平衡条件三空间力偶系的合成与平衡条件 1 1空间力偶系的合成空间力偶系的合成合力偶矩矢在合力偶矩矢在x、y、z轴的投影等于各分力偶矩矢轴的投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。在相应轴上投影的代数和。合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦 空间力偶空间力偶 空间力偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各力空间力偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和等于零。偶矩矢的矢量和等于零。空间力偶系空间力偶系的的平衡方程平衡方程 空间力偶系平衡的解析空间力偶系平衡的解析条件：该力偶系中所有各力条件：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。的代数和分别等于零。三空间力偶系的合成与平衡条件三空间力偶系的合成与平衡条件2 2空间力偶系的平衡空间力偶系的平衡已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所 受切削力偶矩均为80Nm。求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A。空间力偶空间力偶例例3 3-5-5求:轴承A，B处的约束力。例例3 3-6-6已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。解：1.取整体为研究对象 空间力偶空间力偶2.受力分析3.列平衡方程34 空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩1 1、空间任意力系向一点的简化及主矢和主矩、空间任意力系向一点的简化及主矢和主矩主矢：空间汇交力系的合力主矢：空间汇交力系的合力主矩：空间力偶系的合力偶矩主矩：空间力偶系的合力偶矩空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩结论结论：空间任意力系向一点简化，一般可得一力和一：空间任意力系向一点简化，一般可得一力和一力偶。力偶。该力作用于简化中心，等于力系中各力的矢量该力作用于简化中心，等于力系中各力的矢量和，称为力系的主矢；和，称为力系的主矢；该力偶的力偶矩矢等于力系中该力偶的力偶矩矢等于力系中各力对简化中心的矩矢的矢量和，称为力系的主矩。各力对简化中心的矩矢的矢量和，称为力系的主矩。a.主矢的计算主矢的计算b.主矩的计算主矩的计算空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩2 2、空间任意力系的简化结果分析、空间任意力系的简化结果分析四种情况四种情况：1）FR=0，MO=0，力系平衡；，力系平衡；2）FR=0，MO0，力系合成为一合力偶；，力系合成为一合力偶；3）FR 0，MO=0，力系可合成为一合力；，力系可合成为一合力；4）FR 0，MO0，有三种可能：，有三种可能：a FR MO，力系可进一步合成为一合力；力系可进一步合成为一合力；空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩bFR MO，力系合成为力螺旋；，力系合成为力螺旋；力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。偶的作用面。力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系，不能再进一步合成。的力系，不能再进一步合成。符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的称为左螺旋。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的称为左螺旋。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴中心轴。cFR和和MO成任意角成任意角，进一步合成为力螺旋。进一步合成为力螺旋。空间任意力系向一点简化空间任意力系向一点简化 主矢和主矩主矢和主矩一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。35 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程 空间任意空间任意力系平衡的充力系平衡的充要条件：该力要条件：该力系的主矢和对系的主矢和对于任一点的主于任一点的主矩分别为零。矩分别为零。空间任意力系空间任意力系平衡的解析条件：平衡的解析条件：所有各力在三个坐所有各力在三个坐标轴标轴上投影的代数上投影的代数和分别等零和分别等零，这些，这些力力对于三个坐标轴对于三个坐标轴之矩的代数和也分之矩的代数和也分别等于零别等于零。空间任意力系空间任意力系的平的平衡方程衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程：空间平行力系的平衡方程：一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程力系类型力系类型平衡方程个数平衡方程个数备注备注平面力系平面力系共线力系共线力系力偶系力偶系平行力系平行力系汇交力系汇交力系任意力系任意力系空间力系空间力系汇交力系汇交力系力偶系力偶系平行力系平行力系任意力系任意力系 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程附：各种力系平衡方程一览表附：各种力系平衡方程一览表一、平衡条件与平衡方程一、平衡条件与平衡方程力系类型力系类型平衡方程个数平衡方程个数备注备注平面力系平面力系共线力系共线力系1平行力系的平行力系的特殊情况特殊情况力偶系力偶系1平行力系平行力系2汇交力系汇交力系2任意力系任意力系3空间力系空间力系汇交力系汇交力系3力偶系力偶系3平行力系平行力系3任意力系任意力系6空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程附：各种力系平衡方程一览表附：各种力系平衡方程一览表一、平衡条件与平衡方程一、平衡条件与平衡方程二、空间约束的类型举例二、空间约束的类型举例空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 空空间间结结构构的的约约束束类类型型，其其约约束束力力的的未未知知量可能有量可能有1 1个到个到6 6个。个。物物体体在在空空间间有有6 6个个独独立立位位移移。约约束束力力的的个个数数：被被约约束束物物体体有有几几个个位位移移被被阻阻碍碍，就就有有几个约束力。几个约束力。阻碍移动的是约束力；阻碍转动的是约阻碍移动的是约束力；阻碍转动的是约束力偶。束力偶。约束反力未知量约 束 类 型AFAAFAzFAyA径向轴承 圆柱铰链 铁轨 蝶铰链空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程二、空间约束的类型举例二、空间约束的类型举例约束反力未知量约 束 类 型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形铰链止推轴承导向轴承万向接头空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程二、空间约束的类型举例二、空间约束的类型举例1-套筒套筒 2-十字轴十字轴 3-传动轴叉传动轴叉 4-卡环卡环 5-轴承外圈轴承外圈 6-套筒叉套筒叉 5.5 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡约束反力未知量约 束 类 型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板导 轨空间的固定端支座空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程二、空间约束的类型举例二、空间约束的类型举例三、空间力系平衡举例三、空间力系平衡举例1 1）确定研究对象，做受力图；）确定研究对象，做受力图；2 2）选取适当的坐标系；）选取适当的坐标系；3 3）列写平衡方程，求解未知量。）列写平衡方程，求解未知量。空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程求解空间平衡问题的步骤求解空间平衡问题的步骤 ：例例3 3-7 7已知：P=8kN,各尺寸如图求：A、B、C 处约束力解：1.研究对象：小车3.列平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程2.受力分析例例3 3-8 8已知：求：及A、B处约束力解：1.研究对象：曲轴空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程2.受力分析空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程3.列平衡方程例例3 3-8 8空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程例例3 3-8 8空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程例例3 3-8 8例例3 3-9 9已知：各尺寸如图求：（2）A、B处约束力（3）O 处约束力(1)空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程解：研究对象1：主轴及工件，受力分析例例3 3-9 9又：研究对象2：工件，受力分析列平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程例例3 3-9 9空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程例例3 3-9 9例例3 3-1-10 0已知：F、P及各尺寸。求：杆内力解：研究对象，长方板列平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程如图所示均质矩形平板，其重力如图所示均质矩形平板，其重力W=800N=800N，用三条绳索悬挂，用三条绳索悬挂在水平位置，一绳系在一边的中点在水平位置，一绳系在一边的中点A处，另两绳分别系在其处，另两绳分别系在其对边距各端点均为边长四分之一的对边距各端点均为边长四分之一的B、C点上。求各绳所受的点上。求各绳所受的拉力。拉力。空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡解：（解：（1 1）确定研究对象，）确定研究对象，画受力图画受力图 以平板为研究对象，以平板为研究对象，画受力图如图所示。画受力图如图所示。（2 2）建立坐标系）建立坐标系 以点以点C为坐标原点，建为坐标原点，建立坐标系立坐标系Cxyz如图。如图。（3 3）列平衡方程，求解）列平衡方程，求解未知数未知数 解得：解得：（2）列平衡方程，求解未）列平衡方程，求解未 知数知数 传动轴传动轴AB上装有斜齿轮上装有斜齿轮C和带轮和带轮D,如图所示。斜齿轮的节圆半如图所示。斜齿轮的节圆半径径r=60mm=60mm，压力角，压力角=20=20，螺旋角，螺旋角=15=15；带轮的半径；带轮的半径R=100mm=100mm，胶带拉力，胶带拉力F1 1=2=2F2 2=1300N=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平线夹，胶带的紧边为水平，松边与水平线夹角角=30=30；两轮各与向心轴承；两轮各与向心轴承A及向心推力轴承及向心推力轴承B相距相距a=b=100mm=100mm，c=150mm=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计轮轴的重量。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计轮轴的重量。求斜齿轮所受的圆周力求斜齿轮所受的圆周力Ft t及轴承及轴承A、B的约束力。的约束力。空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡解：（解：（1 1）取传动轴为研究对象，画受力图）取传动轴为研究对象，画受力图（2 2）选坐标系）选坐标系Axyz如图所示如图所示（3 3）列平衡方程，求解未知数）列平衡方程，求解未知数 空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）由式（由式（5 5）求得斜齿轮的圆周力）求得斜齿轮的圆周力空间任意力系的平衡空间任意力系的平衡根据斜齿轮中圆周力根据斜齿轮中圆周力Ft、径向力、径向力Fr和轴向力和轴向力Fa之间的关之间的关系，可得系，可得再由式（再由式（6 6）、（）、（2 2）及（）及（4 4）求得）求得最后由式（最后由式（1 1）和（）和（3 3）得）得重重力力作作用用于于物物体体内内每每一一微微小小部部分分，是是一一个个分分布布力力系系，可可足足够够精精确确地地视视为为空空间间平平行行力力系系。一一般般所所谓谓重重力力，就就是是空空间间平平行行力力系地合力。系地合力。36 重重 心心一、重心的概念一、重心的概念重心重心：物体所受重力合力的作用点。：物体所受重力合力的作用点。可可以以证证明明不不变变形形的的物物体体（刚刚体体）在在地地表表面面无无论论怎怎样样放放置置，其其平平行行分分布布重重力力的的合合力力作作用用线线都都通通过过此此物物体体上上的的一个确定的点，这一点就是物体的一个确定的点，这一点就是物体的重心。重重心心可可能能在在物物体体上上，也也可可以以在在物物体体外外，不不会会随随物物体体在空间位置的改变而改变。在空间位置的改变而改变。重心位置重心位置：相对物体是一个确定点。：相对物体是一个确定点。重重 心心二、重心坐标的计算公式二、重心坐标的计算公式根据合力矩定理，对根据合力矩定理，对x轴取矩，有轴取矩，有 如果将物体分割为许多小体积（可以是有限的，也可以如果将物体分割为许多小体积（可以是有限的，也可以是无限的），每个小块体积为是无限的），每个小块体积为Vi，所受重力为，所受重力为Pi，则整个物，则整个物体的重量为体的重量为:取空间直角坐标系取空间直角坐标系对对y轴取矩轴取矩,有有 重重 心心二、重心坐标的计算公式二、重心坐标的计算公式对对x轴取矩，有轴取矩，有 为了求坐标为了求坐标 zC，将物体连同直，将物体连同直角坐标系角坐标系 Oxyz 一起绕一起绕 x轴逆时针旋轴逆时针旋转转9090重力的方向并无改变重力的方向并无改变重心的坐标公式重心的坐标公式 重重 心心对于均质物体（体积的重心）对于均质物体（体积的重心）均质物体的重心位置完全决定于物体的几何形状，均质物体的重心位置完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。这时物体的重心就是物体几何而与物体的重量无关。这时物体的重心就是物体几何形状的中心形状的中心-形心形心 。二、重心坐标的计算公式二、重心坐标的计算公式上式的极限为上式的极限为 对于均质薄板对于均质薄板（面积的重心）（面积的重心）重重 心心三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法 1简单形体的重心查表法简单形体的重心查表法重重 心心三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法 组合形体的重心组合法组合形体的重心组合法 将将组组合合形形体体分分割割成成几几个个简简单单的的形形体体，这这些些简简单单形形体体的的重重心心一一般般都都是是已已知知的的或或易易求求的的，然然后后应应用用相相应应的的公公式式求求组组合合形形体体的的重重心心。当当物物体体具具有有对对称称轴轴、对对称称面面或或对对称称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。a.分割法分割法 将复杂形状的物体看成为几个简单形状物体的相将复杂形状的物体看成为几个简单形状物体的相加，此种求重心的方法称为分割法。加，此种求重心的方法称为分割法。组合法组合法分割法分割法负面积（体积）法负面积（体积）法例例3 3-12-12求：其重心坐标已知：均质等厚Z字型薄板。则重重 心心解：将该截面分割为三部分，取Oxy直角坐标系重重 心心b.负面积法负面积法 如果在组合形体内切去一部分，则切如果在组合形体内切去一部分，则切去部分的面积（体积）应取负值，这种方去部分的面积（体积）应取负值，这种方法称为负面积（体积）法。法称为负面积（体积）法。三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法例例4-134-13求：其重心坐标求：其重心坐标.由对称性，有解：形体分为三部分组成.已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的重重 心心 3不规则形体的重心实验法不规则形体的重心实验法a.悬挂法悬挂法适合于平板零件或具有对称面的薄零件。适合于平板零件或具有对称面的薄零件。三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法重重 心心b.称重法称重法适合于形状复杂或体积较大的物体。适合于形状复杂或体积较大的物体。3不规则形体的重心实验法不规则形体的重心实验法三、确定物体重心的方法三、确定物体重心的方法例例3-13 热轧不等边角钢的截面近似地简化为如图所示的图热轧不等边角钢的截面近似地简化为如图所示的图形，已知形，已知h=12cm=12cm，b=8cm=8cm，d=1.2cm=1.2cm。求该截面重心的位置。求该截面重心的位置。重重 心心重重 心心解：将截面分割为两个矩形。取坐标系解：将截面分割为两个矩形。取坐标系Oxy，这两个矩形的，这两个矩形的面积和重心坐标分别为面积和重心坐标分别为用分割法，求得用分割法，求得故所求不等边角钢截面的重心故所求不等边角钢截面的重心C的坐标为（的坐标为（2.05cm2.05cm，4.05cm4.05cm）。）。本章小结本章小结1.力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影（1）一次（直接）投影法）一次（直接）投影法（2）二次（间接）投影法）二次（间接）投影法 2.空间力对点之矩是一个定位矢量，表达式为空间力对点之矩是一个定位矢量，表达式为3.力对轴之矩是一个代数量，其解析表达式力对轴之矩是一个代数量，其解析表达式 为为力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。之矩。第第5章章 空间力系空间力系4.空间任意力系的简化结果空间任意力系的简化结果第第5章章 空间力系空间力系5.空间力系的平衡方程及个数如下空间力系的平衡方程及个数如下第第5章章 空间力系空间力系6.平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。7.确定物体重心的方法确定物体重心的方法（1）查表法）查表法（2）组合法）组合法 a)分割法分割法 b)负面积法负面积法 3）实验法）实验法 a)悬挂法悬挂法 b)称重法称重法第第5章章 空间力系空间力系