自动控制原理(第2版)(余成波-张莲-胡晓倩)习题全解及MATLAB实验-第6章习题解答...doc

第6章 控制系统的校正本章主要讨论利用频率法对单输入-单输出的线性定常系统的综合和设计。在介绍控制系统校正的基本概念、控制系统的基本控制规律的基础上，介绍了各种串联校正装置（超前校正装置、滞后校正装置、滞后-超前校正装置）的特性及按分析进行相应设计的基本步骤和方法；还介绍了期望设计法的基本概念、常见的期望特性和设计步骤；另外还介绍了根轨迹法的串联校正和反馈校正的基本概念和方法；最后介绍了利用MATLAB进行控制系统校正。教材习题同步解析6.1试分别说明系统的固有频率特性与系统期望频率特性的概念。答：系统本身固有元件所具有的频率特性称为固有频率特性。设计者希望系统所能达到的频率特性称为系统期望频率特性。6.2试比较串联校正和反馈校正的优缺点。答：a、校正装置和未校正系统的前向通道环节相串联，这种叫串联校正，串联校正是最常用的设计方法，设计与实现比较简单，通常将串联装置安置在前向通道的前端。b、并联校正也叫反馈校正，它是和前向通道的部分环节按反馈方式连接构成局部反馈回路，设计相对较为复杂。并联校正一般不需要加放大器，它可以抑制系统的参数波动及非线性因素对系统性能的影。6.3 PD控制为什么又称为超前校正？串联PD控制器进行校正为什么能提高系统的快速性和稳定性？答：加入PD控制相当于在系统中加入一个相位超前的串联校正装置，使之在穿越频率处有较大的相位超前角。因此，PD控制称为超前控制。PD控制的传递函数为，由比例控制和微分控制组合而成。增大比例系数Kp，可以展宽系统的通频带，提高系统的快速性。微分控制反映信号的变化率的预报作用，在偏差信号变化前给出校正信号，防止系统过大地偏离期望值和出现剧烈振荡倾向，有效地增强系统的相对稳定性。6.4 PI控制为什么又称为滞后校正？串联PI控制器进行校正为什么能提高系统的稳态性能？如何减小它对系统稳定性的影响？答：PI控制在低频段产生较大的相位滞后，所以滞后校正。PI控制的比例部分可以提高系统的无差度，改善系统的稳态性能。在串入系统后应使其转折频率在系统幅值穿越频率的左边，并远离系统幅值穿越频率，以减小对稳定欲量的影响。6.5 PID控制为什么又称为滞后-超前校正？串联PID控制器进行校正为什么能改善系统的稳态性能与动态性能？答：PID兼有PI、PD控制的特点，它相当于提供了一个积分环节与两个一阶微分环节。积分环节改善稳态性能，两个一阶微分环节改善动态性能。6.6试分别叙述利用比例负反馈和微分负反馈包围振荡环节所起到的作用。答：二阶振荡环节的频率特性为用比例负反馈包围后可见振荡环节的时间常数T，阻尼比均减小，阻尼比的减小使系统的动态性能得到改善，稳态性能得到降低。用微分反馈包围二阶振荡环节，能够在不影响无阻尼自然角频率和比例系数K的前提下增加阻尼比，改善系统的相对稳定性。6.7设一单位反馈系统的开环传递函数，若要使系统开环传递系数K=10，相位裕量不小于45，幅值穿越频率wc不小于4.4 rad/s，试求系统所需的串联超前校正装置及其参数。解：绘制未校正系统的伯德图如图6.1所示。L(w)/dB40 -2020 -40 Lc(w) 0.1 1 2.2 3.16 4.47 8.8 w(rad/s)图6.1 题6.7系统校正前后的伯德图 (1) , 求校正前系统的幅值穿越频率 (2) 求校正装置的参数(3) 确定校正后的幅值穿越频率 ,最后得出 (4) 确定校正装置的转折频率，(5)验证 满足题意。(6) 确定元件参数若校正装置如图6.2所示情况，则有 C R1 Ui(t) R2 U0(t) 图6.2 题6.7校正装置图，6.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为，若要求系统的静态速度误差系数Kv=5s1，相位裕量40，幅值穿越频率wc0.5rad/s，幅值裕量Lh10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。解（1）求校正前的开环频域指标 绘制k=5时未校正系统的伯德图如图6.3所示。6010.05-40-20Wc=2.15-60-60-20-40Wc=0.50.005图6.3 题图6.8 k=5时未校正系统的伯德图求，假设在斜率为-40是穿越实轴，则此时大于转折频率2，故斜率为-60时穿越实轴，同理可求的 完成满足条件，若取, 且在左边，故采用滞后校正。（2）确定校正后的幅值穿越频率 选择未校正系统的相位裕量 ，令，将带入可得，调整值，再将代入，可得故选（3）确定值， (4)确定滞后校正装置转折频率，现在取，（5）（绘于图6.3中）（6）验证 满足， 由图可看出也满足6.9 系统开环传递函数为，要求：（1）系统响应斜坡信号r(t)=t时，稳态误差；(2) 系统相位裕量。试用分析法设计一个串联滞后-超前校正装置。解：（1）系统为型系统，在单位斜坡信号下分稳态误差为 令，则 k=100低频段过点为 中频段穿越斜率为-60 db/dec由 则 同理 且 rad/s故 0.070.115 7 10 17 70604020-20L0(w)L(w)Lc(w)W(rad/s)L(w)/db图6.4 题6.9系统校正前后伯德图（2）选择新的 由校正前的相频特性与幅频特性可知 当在5,10的范围内时，渐近线的斜率为-40db/dec,即对应的相位穿越频率应在此范围内。当时若选，系统所需的相位超前角约为因为 所以又， (滞后部分)，又 所以 （超前部分）（3） 确定校正装置的滞后部分滞后部分令 则所以 滞后部分的传递函数为（4） 确定超前部分过（7 rad/s,-20db）画一条斜率为20db/dec的斜线，超前部分20db/dec的渐近线以滞后部分的0db/dec的渐近线的交点对应超前部分的第一个转折频率1/T1,与0db线的交点对应第二个转折频率 则又 故 超前部分的传递函数为（5） (6) 6.10 负反馈系统的开环传递函数为 要求系统的稳态速度误差系数 ，谐振峰值 ，试确定串联校正装置参数。解：（1）绘制校正前的系统的开环传递对数幅频特性（如图6.5所示）（2） 按照K=10绘制期望特性曲线的低频段（3）按动态性能的要求确定系统的中频段，为保证足够的相位裕量，中频段的穿越频率斜率应为-20 db/dec,由于绘出的是闭环频域指标的要求Mr 则 中频段宽度 现取 h=10 Wc=2.5 rad/s 由 rad/s rad/s据此画出期望特性的中频段（4）求校正装置的传递函数(5) 满足题意 26400.5 2 2.5 4 5L(w)L0(w)Lc(w)W(rad/s)L(w)/db0.1图6.5 题6.10校正前后伯德图6.11 负反馈系统的开环传递函数为 要求系统校正后的谐振峰值 ，谐振频率 试确定串联校正装置。解：(1)绘制校正前的幅频特性L0(W),可求得Wc=20 rad/s(2)按动态性能的要求确定系统的中频段，喂饱则很难过足够的相位裕量，中频段的穿越斜率为-20 db/dec中频段的高度 考虑到要留一定的裕量 取 h=10 Wc=10 rad/s则 (与未校正前穿越频率相同)，W1=0.2 w2 4 wc=10 wc=20 w4=1006028L0(w)L(w)Lc(w)L（w）/dbW(rad/s)ABCD图6.6 题6.11系统校正前后伯德图（3）绘制期望特性的低中段，中高频链接段与高频段，分别过B,C两点做斜率为-40 db/dec的斜线交低频段，高频段于A,D点在频率w2=2 rad/s处db，由此得出A点对应频率，D点对应频率（4）由于，满足题意满足题意6.12 设一个随动系统，其开环传递函数为 ，由期望法设计系统的稳态加速度误差系数Ka=20和相位裕量 时的串联校正装置。解：2640L(w)/db1 w1 wc w2Lc(w)L0(W)L(w)W(rad/s)图6.7 题6.12伯德图由，得 rad/s由于较大，应采用两级超前校正，每级由取，则校正后系统的开环传递函数为当时，是和的几何中点，可以算得代入再将a增大到7，重复上述步骤得此时6.13设单位负反馈系统的开环传递函数为，试用期望对数频率特性法（期望特性用1-2-1-2-3系统）设计串联校正装置，使系统满足下列性能指标：K180，%27%，ts2秒。解：（1）绘出校正前的幅频特性图(如图6.8)，计算861W10.025001-60-40-20-40652Wc=13.43W&=400-60图6.8 题6.13伯德图 （2）求中频段（3）由得 （4）6.14系统开环传递函数为，希望闭环系统具有以下性能指标：（1）稳态加速度误差系数Ka=10s2。（2） 35，wc10 rad/s。试用期望法确定系统所需串联校正装置。解： （1）绘出校正前的幅频特性曲线（如图6.9） 令 （2）题目要求,现取在处，由AB段的方程为又（3）现在取，可得， 满足要求L(w)Lo(w)Lc(w)BW0=3.16A图6.9 题6.14系统伯德图6.15原系统的开环传递函数为，采用串联校正，期望校正以后的开环幅频特性曲线L（）如图6.10所示。试求：（1）在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc（w），求出此装置的传递函数Gc（s），并说明该装置的类型。（2）简要说明系统校正前后性能的变化。解：(1) 由图可知校正后的传递函数，其低频段的频率为-20dB/dec 又L（1）=20lgk-20lg1=20 K=10确定各型环节： 第一个转折点 =1rad/s 斜率减小20db/dec 第二个转折点 =2.2rad/s 斜率增大20dB/dec 第三个转折点 =8.8rad/s 斜率减小20dB/dec-40-408.8-2040204.492.210.10-20W(rad/s)L(w)dB图 6.10 题6.15图(2)系统增加了带宽，快速性改善，相位裕量明显增加，系统稳定性改善，高频段对数幅值上升。抗干扰性下降6.16一单位负反馈控制系统的开环传递函数为（1）若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量18%，试用根轨迹法确定系统的开环传递系数。（2）若希望系统的开环传递系数K15，而动态态性能不变，试用根轨迹法确定校正装置的传递函数。解：（1）由于18%，并留有一定的余地，选，使主导极点的阻尼角；由于未要求，不妨设，则，于是我们希望的闭环主导极点为：画出未校正系统的根轨迹（略），由于期望的极点位于校正前根轨迹左方，故采用串联超前校正装置加以校正。原系统开环零极点对闭环极点所产生的相位角为：则超前校正装置提供的相位角由作图法确定所需的零极点与校正装置的传递函数（图略）开环传递系数（2）略6.17系统开环传递函数为要求校正后系统的Kv=30s1，=0.707，利用根轨迹法确定串联校正装置。6.18采用了反馈校正的系统结构图如图6.11所示，试比较校正前后系统的性能。解：校正前 其穿越斜率为-40 d B/dec， 穿越斜率在-40db/dec上，系统稳定性不高校正后 其穿越斜率为-20db/dec， 系统稳定性得到提高1 10S(0.5S+1)0.15SR(s) C(s)图6.11 题6.18系统结构图6.19采用反馈校正后的系统结构如图6.12所示，其中H(s)为校正装置。要求系统满足下列指标：静态速度误差系数Kv=200s1，45。试确定反馈校正装置的参数，并求校正后系统的等效开环传递函数。解：（1）校正前系统的开环传递函数为：幅值穿越频率为141.4，幅值穿越斜率为-40db/dec200 10 (0.01S+1) 0.1 SH(s) R(s) C(s) + + _ _图6.12 题6.19系统结构图 (2)开环传递系数为K=200，系统的稳定性能已满足。据此期望特性的低频段与校正前重合如图6.13所示，取 求C点： C点： 由两式可得： 取 ，求 B点 A点 A点 由可得： 由于低频段渐近线为+20db/dec把 代入可得: K=1/6=0.17局部反馈回路的开环传递函数为L(w)/dB A L0(w) Lk(w) B w3 w(rad/s) w1 w2 100 wc C 图6.13 题6.19系统伯德图又 由图可知： (满足)MATLAB实验指导M6.1 利用MATLAB函数编写程序，绘制无源超前校正装置的与及的关系曲线（如教材图6.12所示）。（提示：的取值范围为1，20）解：1）超前校正网络的传递函数为：wm为校正装置出现最大超前相角的频率，它位于两个转折频率和的几何中点，jm为最大超前相角，为： jm与a一一对应，a越小，所提供的jm就越大。但同时高频段对数幅值也越大，对抗干扰性能不利。为保持较高的信噪比，一般a取值范围为0.05a1，即校正装置一般能够提供的最大超前角jm65。 为便于MATLAB编程，可考虑取系数，则jm为2）根据以上分析，将jm及10lg(1/a)关系曲线绘制于同一图形中的MATLAB程序如下a=1:0.01:20; %设定系数a的取值范围，a=1/afor i=1:length(a) faim(i)=asin(a(i)-1)/(a(i)+1)*180/pi; %求相位jm L(i)=10*log10(a(i); %求10lg(1/a)，即10lg(a)endaa=plotyy(a,faim,a,L); %以1/a为横坐标，绘制jm及10lg(1/a)关系曲线gtext(10lg(1/a); %曲线标注gtext(相位);set(aa,linewidth,1.5); %设置曲线格式ylabel(10lg(1/a)/dB) %标注纵坐标xlabel(1/a);%标注横坐标grid;图6.14 M6.1关系曲线超前校正装置的与及的关系曲线，见图6.14。M6.2 利用MATLAB函数编写程序，绘制无源滞后校正装置与、jc(wc)的关系曲线（如教材图6.19所示）。（提示：的取值范围为0.01，1）解：1）滞后校正网络，其传递函数为与超前校正不同，串联滞后校正装置将会使被校正系统的相位滞后增加。为了避免对系统的相位裕量产生不良影响，应尽量使最大滞后相角远离校正后系统新的幅值穿越频率wc，即wc远大于第二个转折频率w2，一般可取 因此有，则滞后装置在新的幅值穿越频率wc处的的相角滞后为jc(wc)=arctanTwc-arctan(Tbwc)化简可得 同样，为便于MATLAB编程，可考虑取系数，则jc(wc)为 一般jc(wc)的取值范围是-6，0，将jm及20lg(1/b)关系曲线绘制于同一图形中时，为使jc(wc)的MATLAB曲线坐标更清晰，可将jc(wc)乘以10倍进行标注。2）根据以上分析，MATLAB程序如下b=0.01:0.0001:1.0; %设定系数b的取值范围，b=1/bfor i=1:length(b) Lgb(i)=20*log10(b(i); %求20lg(1/b)，即20lg(b) faiw(i)=atan(0.1*(b(i)-1)*180/pi; %求相位jmendab=semilogx(b,faiw*10,b-,b,Lgb,r-); %在半对数坐标系上，以1/b为横坐标，绘制jm及20lg(1/b)关系曲线set(ab,linewidth,1.5); %线型设置gtext( 20lg(1/ b); %曲线标注gtext(相位);ylabel(10lg(1/a)/dB) %标注纵坐标xlabel(1/b); %标注横坐标grid; 滞后校正装置与、jm的关系曲线，见图6.15。注：在MATLAB中对曲线的处理，例如线条类型（包括：颜色、虚实、粗细）、坐标标注、文字标注等等，即可用指令实现，也可利用生成的Figure窗口的菜单命令实现。其中，较为常用的命令有Insert下拉菜单与Show plot tools命令。对于本例而言，两种方法都有采用，具体如下：指令ab=semilogx(b,faiw*10,b-,b,Lgb,r-)中：b-和r-分别表示曲线颜色为蓝色和红色。图形采用了双纵坐标，ylabel(10lg(1/a)/dB)命令只标注左方的纵坐标，而右方的纵坐标（相位/度）是利用Figure窗口的Insert下拉菜单中的Textbox命令标注的，并通过Show plot tools中的Property Editor功能将文本框的线条类型Line Style 设置为No line。图6.15 M6.2关系曲线M6.3 系统校正前开环传递函数为设计技术指标要求如下：单位斜坡输入的稳态误差小于10%；14；。设计串联超前校正装置并验证。解：1）求系统校正前的开环频域指标与单位阶跃响应曲线根据稳态性能的要求确定系统开环传递系数K=10，因此满足稳态性能要求的开环传递函数为求取系统校正前开环频域指标与单位阶跃响应曲线的MATLAB程序如下num=10;den=conv(1 0,1/200 3/20 1); %求分母（多项式相乘）sys=tf(num,den);gm,pm,wcp,wcg=margin(sys) %求系统开环频域指标figure(1) %输出第一个图形margin(sys) %绘制标注有稳定裕量的系统伯德图grid %在伯德图上绘制比例栅格figure(2) %绘制第二个图形step(feedback(sys,1) %绘制闭环系统的单位阶跃响应曲线grid %绘制响应曲线图的比例栅格系统校正前的开环频域指标为gm =3.0000 %系统校正前幅值裕量hgpm =32.6133 %系统校正前相位裕量wcp =14.1421 %系统校正前相位穿越频率wcg =7.4937 %系统校正前幅值穿越频率系统开环伯德图与闭环系统的单位阶跃响应曲线见图6.16，利用鼠标点击响应曲线上最大峰值处，曲线将自动标注系统最大超调量%=40%，同理求得调节时间ts=1.21（D=5%）s，因此校正前系统的动态性能不满足要求。由于校正前系统已经有一定的相角裕量（g=32.6），且幅值穿越频率wc=7.49rad/s，小于要求的wc=14.1rad/s，因此可以考虑引入串联超前校正装置以满足相位裕量的要求。（1）开环伯德图及开环频域指标 （2）单位阶跃响应曲线图6.16 M6.3系统校正前的性能2）求校正装置的参数a、转折频率要求校正后的幅值穿越频率wc=wm=14.1rad/s，则系统校正之后的对数幅值L（wc）满足 L（wc）= L c（wc）+ Lo（wc）=0 由于校正装置在wc处的幅值为LC（wc）=(正值)，则系统校正前幅值为Lo（wc）=- LC（wc）=(负值)。 从图6.16可查得Lo（wc）=-9.54dB，推出。由可求出时间常数T=0.213s，校正装置的两个转折频率分别为因此，校正装置的传递函数为3）校验系统校正后的相位裕量和其它性能指标经超前校正后，系统开环传递函数为求系统校正后的开环频域指标与单位阶跃响应曲线指令如下num=10*0.213 1;den=conv(conv(1 0,1/200 3/20 1),0.024 1); %求分母（多项式相乘）其他指令同上。校正后系统开环频域指标为gm =4.1658 %系统校正后幅值裕量hgpm =52.8043 %系统校正后相位裕量wcp =33.8833 %系统校正后相位穿越频率wcg=14.1638 %系统校正后幅值穿越频率（1）开环伯德图及开环频域指标 （2）单位阶跃响应曲线图6.17 M6.3系统校正后的性能校正后系统开环伯德图和阶跃响应曲线见图6.17，超前校正装置抬高系统频率特性的中频段与高频段，使幅值穿越频率wc增加，并提供额外的补偿相角，改善系统的相位裕量。可得校正后系统的相位裕量为52.8 ，幅值穿越频率为14.2 rad/s，单位阶跃响应的最大超调量%=11%，调节时间ts=0.445s（D=5%），系统的动态、稳态性能均满足要求。M6.4 系统校正前开环传递函数为设计技术指标要求如下：单位斜坡输入的稳态误差小于5%；2；。设计串联滞后校正装置并验证。1）求系统校正前的开环频域指标与单位阶跃响应曲线按稳态性能的要求确定系统的型别v=1，开环传递系数K=20，校正前系统开环传递函数为求取系统校正前开环频域指标与单位阶跃响应曲线的MATLAB程序如下num=20;den=conv(1 0,0.2 1); %求分母（多项式相乘）其他指令同上。系统校正前的开环频域指标为gm =Inf %系统校正前幅值裕量hgpm =28.0243 %系统校正前相位裕量wcp =Inf %系统校正前相位穿越频率wcg =9.3940 %系统校正前幅值穿越频率 （1）开环伯德图及开环频域指标 （2）单位阶跃响应曲线图6.18 M6.4系统校正前的性能系统开环伯德图与闭环系统的单位阶跃响应曲线见图6.18，单位阶跃响应的最大超调量%=44%，调节时间ts=1.07s（D=5%）。可见校正前系统的开环频域指标及动态性能不满足要求。由于校正前系统的幅值穿越频率wc= 9.39rad/s，大于期望的wc=2 rad/s，且系统校正前j(wc)= -112，因此可以考虑引入串联滞后校正装置，压缩系统频率特性的中频段与高频段，使幅值穿越频率wc减小，以满足相位裕量的要求。2）确定滞后校正装置的b值、转折频率根据题意，选择校正后的幅值穿越频率wc=2rad/s，并有Lo(wc)=20lgb=-20lg1/b。在伯德图上确定系统校正前在wc处的对数幅值为Lo(wc)=20lgb=19.3dB，则推出b=9.2选校正装置的转折频率rad/s，则T=1/w2=5s，w1=1/bT=0.022 rad/s。因此，滞后校正装置的传递函数为 3）校验系统校正后的相位裕量和其它性能指标经滞后校正后，系统开环传递函数为求系统校正后的开环频域指标与单位阶跃响应曲线指令如下num=20*5 1;den=conv(conv(1 0,0.2 1),45.5 1); %求分母（多项式相乘）其他指令同上。校正后系统开环频域指标为gm =Inf %系统校正后幅值裕量hgpm =62.7931 %系统校正后相位裕量wcp =Inf %系统校正前相位穿越频率wcg =2.0440 %系统校正前幅值穿越频率 （1）开环伯德图及开环频域指标 （2）单位阶跃响应曲线图6.19 M6.4系统校正后的性能校正后系统开环伯德图和阶跃响应曲线见图6.19。可得校正后系统的相位裕量为62.8 ，幅值穿越频率为2.04 rad/s，单位阶跃响应的最大超调量%=14%，调节时间ts=2.88s（D=5%），系统的动态、稳态性能均满足要求。173