断裂力学结课论文.docx

断裂力学是为解决机械结构断裂问题而发展起来的力学分支，它将力学、物理学、材料学以及数学、工程科学紧密结合，是一门涉及多学科专业的力学专业课程。本课程中主要介绍了断裂的工程问题、能量守恒与断裂判据、应力强度因子、线弹性和弹塑性断裂力学基本理论、裂纹扩展、J积分以及断裂问题的有限元方法等内容。一、 断裂的基本概念1. 断裂力学的产生和发展断裂是构件破坏的重要形式之一，影响材料断裂的因素很多，如构件的形状及尺寸，载荷的特征与分布，构件材料本身的状态及应用的环境如温度、腐蚀介质等，当然更重要的还有材料本身的强度水平。为了防止构件的断裂或变形失效，传统的安全设计思想主要立足于外加载荷与使用材料的强度级别的选用，根据常规的强度理论，只要构件服役应力与材料的强度满足 (6- 1)则认为使用是安全的。其中max为构建所承受的最大应力；b ，s分别为材料的强度极限和屈服强度，1与分别为按强度极限与按屈服强度取用的安全系数。安全系数是一个大于1的数，其含义为扣除了材料中对强度有影响的诸因素对强度可能造成的损害作用，应当说这种考虑问题的出发点是合理的，也应当是行之有效的，因而多年来这种设计思想在工程设计中发挥了重要作用，而且还会继续发挥其重要作用。断裂力学的理论最早由Griffith与20年代提出。Griffith在断裂物理方面有相当大的贡献，其中最大的贡献要算提出了能量释放(energy release)的观点，以及根据这个观点而建立的断裂判据。根据Griffith观点而发展起来的弹性能释放理论在现代断裂力学中仍占有相当重要的地位。根据Griffith能量释放观点，在裂纹扩展的过程中，能量在裂端区释放出来，此释放出来的能量将用来形成新的裂纹面积。定义裂纹尖端的能量释放率(energy release rate)如下能量释放率是指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。用字母G来代表能量释放率。由定义可知，G具有能量的概念。其国际制单位(SI单位制)一般用“百万牛顿/米”(MN/m)。材料本身是具有抵抗裂纹扩展的能力的，因此只有当拉伸应力足够大时，裂纹才有可能扩展。此抵抗裂纹扩展的能力可以用表面自由能(surface free energy)来度量。一般用s表示。表面自由能定义为：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。若只考虑脆性断裂，而裂端区的塑性变形可以忽略不计。则在准静态的情形下，裂纹扩展时，裂端区所释放出来的能量全部用来形成新的裂纹面积。换句话说，根据能量守恒定律，裂纹发生扩展的必要条件是裂端区要释放的能量等于形成裂纹面积所需的能量。设每个裂端裂纹扩展量为，则由能量守恒定律有：即：这就是著名的Griffith断裂判据。Griffith假定为一材料常数，剩下的问题就是如何计算带裂纹物体裂端的能量释放率。若此值大于或等于s，就会发生断裂；若小于s，则不发生断裂，此时值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。在Griffith弹性能释放理论的基础上，Irwin 和Orowan从热力学的观点重新考虑了断裂问题，提出了能量平衡理论。按照热力学的能量守恒定律，在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。其提出的公式为：其中W为外界对系统所做的功，U为系统储存的应变能，为裂纹总面积，为表面能。该公式虽然有所进步，但仍未超出经典的Griffith公式的范围，而且同表面能一样，形变功U也是难以测量的，因而该式仍难以实现工程上的的应用。断裂力学理论的重大突破应归功于Irwin应力场强度因子概念的提出，以及以后断裂韧性概念的形成。1957年，Irwin应用了在1939年提出的解平面问题的一个应力函数，求解了带穿透性裂纹的空间大平板两相拉伸的应力问题，并引入了应力强度因子K的概念，随后又在此基础上形成了断裂韧性的概念，从而奠定了线弹性断裂力学的基础。2. 裂纹及类型断裂力学的一大特点是，假定物体已经带有裂纹。现代断裂力学能对此带裂纹物体的裂纹端点区进行应力应变分析，从而得到表征裂端区应力应变场强度的参量。按裂纹存在的几何特性，可把裂纹分为穿透裂纹、表面裂纹和深埋裂纹。在断裂力学中，裂纹常按其受力及裂纹扩展途径分为三种类型，即、型。型裂纹即为张开型裂纹，如图1-1(a)所示，拉应力垂直于裂纹扩展面，裂纹上下表面沿作用力的方向张开，裂纹沿裂纹面向前扩展。工程中属于这类裂纹的如板中有一穿透裂纹，其方向与板所受拉应力方向垂直，或一压力容器中的纵向裂纹（如图1-1（b）等。图1- 1张开型（型）裂纹型裂纹即为滑开型裂纹。其特征为裂纹的扩展受切应力控制，切应力平行作用于裂纹面而且垂图1- 2滑开型（型）裂纹图1- 3撕开型（型）裂纹直于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行滑开扩展（如图1-2（a）。属于这类裂纹的如齿轮或长键根部沿切线方向的裂纹引起的开裂；受扭转的薄壁圆管上贯串管壁的环向裂纹在扭转力的作用下引起的开裂（如图1-2（b）等，均属于型裂纹。型裂纹即为撕开型裂纹。在平行于裂纹面而与裂纹前沿线方向平行的剪应力的作用下，裂纹面产生沿裂纹面的撕开扩展（如图1-3）。在这三种裂纹中，以型裂纹最为常见，也是最为危险的一种裂纹，所以在研究裂纹体的断裂问题时，这种裂纹是研究最多的。二、 应力强度因子断裂发生时在裂纹端点要释放出多余的能量，因此，裂端区的应力场和应变场必然与此裂端的能量释放率有关。若裂端应力应变场的强度（intensity）足够大，断裂即可发生，反之则不发生。因此，得到裂端区应力应变场的解析解是个关键。1. 裂端的应力场和位移场下面考虑二维的I型裂纹问题。图给出一个以裂纹端点为原点的坐标系，此坐标系x方向是裂纹正前方，y方向是裂纹面的法线方向，z方向则是离开纸面的方向。考虑一个离裂端很近，位置在极坐标的单元，其应力状态可以用、和三个应力分量来表示。2. 型裂纹的应力应变场由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为在裂端区，即r足够小的情形下，式中r的高次项比首项小得多，因而可以忽略。从上式可见，裂端区应力场的形式恒定，其强度完全由KI值的大小来决定，因此就称为I型裂纹的应力强度因子。裂端区的应变场可以由弹性力学公式求得为：通过应变一位移关系，经过复杂的计算，可以得到裂端区的位移场为：这里u和v分别为x和y方向的位移分量，是剪切模量，与泊松比的关系为：II型裂纹的应力场和位移场III型裂纹的应力场和位移场3. 应力奇异性和应力强度因子三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无限大。这种特性称为应力奇异性（stress singularity）。图示带有圆孔、椭圆孔和裂纹的无限大平板。它们分别受到无穷远处y方向的均匀拉应力的作用。对于圆孔，此时A和B两点有应力集中现象，其应力集中系数(stress concentration factor)已广为人知。对于椭圆孔，应力集中仍发生A点和B点，其应力集中系数为：为椭圆的长半轴，为椭圆长轴端点的曲率半径。由于大于，所以恒大于3，即椭圆应力集中的程度比圆孔问题严重。若是短轴长趋于零，则也将趋于零，此时应力集中系数将趋于无限大。在没有特别说明的情况下，断裂力学所指的裂纹，其裂端的曲率半径是为零的；在不受力的情况下，上下两个裂纹面是互相接触的。因此，裂纹即裂端曲率半径趋于零时的椭圆孔，其裂端有无限大应力。应力是看不见的，它是个抽象的概念，然而位移过程是可以看到的。物体上个别点（无限远处除外）具有无限大的应力并不会使该点的位移趋于无限。因此，裂端具有无限大应力是允许的。同时可以证明，这并不影响裂端区应变能的有界。4. 叠加原理线弹性力学的本构关系是线性的，因此，裂纹问题的应力强度因子可以利用叠加原理来求得。三、 线弹性断裂力学1. 应力强度因子概念和能量释放观点的统一假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。下面以带有穿透板厚的I型裂纹的平板为例，来建立应力强度因子和能量释放率间的关系。裂纹长度(或裂纹半长度)为a的裂纹端点正前方r处有使裂纹面撑开的拉伸应力:在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长a长度，即把裂端前方撑开成长度为a+s的裂纹。此时在原坐标系的x=r处或离新裂纹端点s-r处，新裂纹上表面的位移v(s-r,)：裂纹形成时外力做功，当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位移同向，当裂纹长度延长s时，作用力对裂纹上表面所做的功为：，其中B为平板的厚度按照Griffith能量释放的观点，裂纹长度延长s时，此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。因此，按照I型裂纹能量释放率GI的定义 :当s0时，有KIa+s KI，经过积分得：简化后有：这就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式。其它裂纹情况也有类似结论。应注意的是，实验结果指出，除I型裂纹可以沿原方向扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。因此总能量释放率只是近似估计式。如果要考虑裂纹真正的扩展方向来计算，这已不是解析的方法所能做到，必须要用数值解法，同时还要一套断裂理论指出裂纹开裂的方向。2. 柔度法柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质，用测量的方法来得到G，然后再利用G与K的关系来得到K值。由于I型裂纹的G与K的关系式是精确的，并且I型裂纹容易施加载荷，所以柔度法一般只用在I型裂纹。恒载荷时G的表达式：恒位移时G的表达式：柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应力强度因子的标定。3. 断裂判据断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤达到临界程度时才发生的。在此小区域中材料的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的地方。这个小区域就叫做断裂过程区FPZ (fracture process zone)。在第二部分中，给出各型裂纹的裂端应力场时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外则须加上高次项。如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端区是不实用的。反过来，若K场区尺寸比断裂进行区尺寸大几倍以上，则断裂进行区是否会发生断裂，受其外部的K场区强度所制约，因此，断裂判据可建立在K场区强度是否达到临界条件这个基础上。由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑性区，而塑性区内的应力是有界的。因此，应力强度因子断裂判据成立的条件是，塑性区尺寸比K场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。4. 阻力曲线能量释放率可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量，又称为裂纹扩展力。裂纹扩展力必须大于裂纹扩展阻力，裂纹才有可能扩展。对平面应变的脆性断裂来说，裂纹扩展阻力由KIC确定，是个常数值，不随裂纹增长而变。但对不同厚度的平板，尤其是厚度小于平面应变所要求的厚度时，裂纹扩展阻力不再是常数。为了说明裂纹扩展阻力的观念，现在以平面应变无限大平板I型中心裂纹为例，1) 脆性断裂阻力曲线当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增加而线性上升。在s1时，裂纹半长度为a1就达到裂纹扩展阻力值GIC。超过a1，就发生失稳断裂；低于a1，则裂纹不扩展。以小于s1的拉伸应力s2作用时，必须超过较长的a2才会发生断裂。图中带箭头的直线代表裂纹扩展力，只有当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=KIC，才会发生失稳断裂。如果将x轴改为代表裂纹扩展增量a，则可以改画成下图。a 0部分才是真正扩展。a 0部分即表示不扩展，而以负方向离原点的距离表示裂纹半长度的大小。2) 韧性断裂阻力曲线在板厚较薄而不合乎平面应变条件时，裂纹扩展阻力R随a增加而增加。图(49)的例子仍是Griffith裂纹，此时裂纹扩展阻力是一曲线。此曲线叫做阻力曲线或R曲线。阻力曲线的测定一般是针对裂纹扩展阻力不为常数值时才实施。脆性材料平面应变的恒载荷试验时，试件一启裂就立即失稳扩展。但对阻力随裂纹扩展增量而变的情形，达到启裂点后不一定会发生扩展，即使扩展也不一定是失稳扩展。当扩展力稍稍超过启裂点时，往往有一段稳定扩展(也叫做亚临界裂纹扩展)。当达到失稳断裂时，这时的a量已达到不可忽略了，对于有稳定扩展阶段的断裂韧度测试中，若监测启裂点不容易时，可以用阻力曲线的测量，然后用外推法得出启裂点。例如在韧性断裂时，裂纹扩展阻力往往是呈曲线的。一旦达到并稍为超过裂纹开始扩展的条件时，若外力仍维持不变，则较长的裂纹(例如图中的裂长a2受到s2作用时)有可能稍为扩展，然后很快地停止下来。只有当外力较大时，才有可能引起失稳扩展。3) 应变能密度因子考虑二维的裂纹问题，受到I、II、III型三种载荷中的任一种或两种以上载荷的作用。裂纹前缘是平直的，即整个前缘各点的应力强度因子值都相同，如图所示，裂纹端点区附近的一点P处有体积元，其应力场为三种裂纹应力场的叠加：于是，平面应变时在P点的应变能密度为：式中：设裂端有个以裂端为原点、半径为r0的圆形损伤核(或叫断裂进行区)。设r0值远小于K场区尺寸，如此，在脆性断裂时，断裂是否会发生要由K场区应力应变强度来决定。对于复合型裂纹，应变能密度可综合度量K场区应力应变的强度；更重要的是，应变能密度是个单参数，它代替两个以上的应力强度因子(多参数)。因此，根据应变能密度的概念而建立的断裂判据，显然要比多参数判据简单。四、 弹塑性断裂力学的基本概念1. Irwin对裂端塑性区的估计线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随r-1/2而变化。当r-0时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度多么高的材料，无限大的应力是不可能存在的。尤其是断裂力学主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发生使这种无限大应力的结果并不符实。当含裂纹的弹塑性体受到外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区(plastic zone)，塑性区内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强度有关。对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸不合忽略时，则必须给一定的修正，才能应用线弹性断裂力学结果。若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。Irwin首先对裂纹尖端塑性区的尺寸给予初步的估计。假设裂纹是I型，裂端前r等于r*p处y方向的拉伸应力刚好达到屈服应力ys,则r*p就是塑性区的尺寸。用公式表示如下:所以塑性区尺寸为：2. Dugdale模型Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑性区是狭长块状，如图。由此他仿照Irwin有效裂纹长度的概念，认为裂纹的有效半长度是a+。这里是塑性区尺寸。由于在a到a+间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没有开裂。因此他假设：塑性区尺寸的大小，刚好使有效裂纹端点消失了应力奇异性。对于无限大平板I型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力作用，此时有效应力强度因子为：上式中括号内的第一项来自y轴右边的集中力，第二项来自左边的集中力。对上式从a积分到a+，则可得作用在塑性区上的应力强度因子K：Dugdale模型假设在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有：整理得确定塑性区尺寸的条件为：以Griffith裂纹为例，在小范围屈服时：与Irwin第二步估计比较，上式给出的塑性区尺寸要比Irwin估计稍大。 Dugdale模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。3. 裂端塑性区形状Dugdale模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的，是简化的模型，没有考虑应力的空间状态。对适用于线弹性力学的高强度材料，比较正确的形状可由Von Misses屈服准则和Tresca屈服准则得到。裂端到塑性区周界的距离rp是的函数，其形式为：平面应变：平面应力：I型裂纹塑性区形状（a）Von Mises 和(b)Tresca屈服准则4. 裂纹尖端张开位移CTOD裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。裂纹张开位移简写为COD (crack opening displacement)。对I型裂纹来说:当时，即在裂纹面时：习惯上称在裂端的COD为CTOD(crack tip opening displacement) 线弹性时CTOD=0。（实际上是一个点，当然没有位移。）若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，以Keff代替K，以rp*代替r，则真正裂纹端点的CTOD为:因为：小范围屈服时：CTOD是英国人WeIIs首先提出的。因为实验发现中低强度、高韧性钢的平板若带有穿透板厚的裂纹，在失稳断裂前，裂端有相当大的塑性区，裂纹张开位移也相当大(肉眼可看出)。裂端由不加载时的尖锐形状变成加载时的钝化形状，因此，CTOD是个宏观的、力学的表征参量，在工程中得到应用，用于简单判断裂纹是否将发生扩展。考虑到在裂纹启裂或进一步引起失稳断裂之前，有CTOD随加载增大而增加的现象，因此，工程上采用CTOD的启裂判据或断裂判据如下CTOD某临界值CTOD断裂判据使用的局限性：工程结构绝大多数是中低强度、高韧性材料，在启裂前已有相当大的裂端塑性区，而不再是属于小范围的屈服情形。然而，计算大范围屈服时的CTOD通常是很不容易的。因此，工程上常用的CTOD表达试通常是经过实验检验过的半理论半经验的表达式。5. J积分简介要想得到裂纹端点区的弹塑性应力场的封闭解是相当困难的。Rice避开了直接求解裂端塑性应力场的困难，而提出综合度量裂端应力应变场强度的J积分概念，是对断裂力学的重大贡献。J积分定义如下：这里C是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。W1是弹性应变能密度，Ti和ui分别为线路上作用于ds积分单元上i方向的面力分量和位移分量。可以证明J积分与积分线路的选取无关。因此，可选取应力应变场较易求解的线路来得到J积分值，而此值与线路非常靠近裂端的结果是相同的。换句话说，裂端应力应变场的综合强度可用J积分值来表示。可以证明，在小范围屈服时，J=G，CTOD和J积分的关系为：这里ys是裂端前的屈服应力。所以，延性断裂判据自然而然地就可以建立在J积分理论基础上。严格地说，J积分的线路无关性是建立在裂纹尾迹不发生卸载的情形下。然而，延性断裂通常有启裂、稳定扩展和失稳扩展三个阶段，而裂纹扩展时裂纹尾迹免不了要发生局部卸载，因此， J积分判据用作启裂判据是完全正确的，但用来预测失稳扩展则尚须加一些限制（这涉及到应力释放、R阻力增大等难题）。对I型裂纹，J积分的启裂判据为:这里JIC是I型裂纹在启裂时平面应变断裂韧度。五、 断裂力学应用实例在设计和分析中，应力强度因子给出了材料裂纹尖端可以承受的应力强度的临界值（称为端裂韧性，记作），一旦超过此值，裂纹将迅速扩展。于是临界应力强度因子就是材料韧性的度量。而破坏应力与裂纹长度和断裂韧性之间的关系为对作用的应力、材料的韧性和裂纹长度这三个量，上式提供的三者之间的关系式可用于设计。一旦这些参数中的任何两个已知，则可算得第三个。为了说明这一过程的应用，请看下例：有一铝制压力容器的直径为，壁厚为5mm，试确定该容器工作时的安全压强。先假定当周向应力达到屈服应力（330MPa）时将屈服失效，取安全因素为，算出容器能承受的最大压强为：为了防止因裂纹迅速扩展而引起的断裂，现计算在工作应力下容许的最大裂纹长度，取韧性值这里，假定为的边缘裂纹。为保障容器使用安全，我们必须作定期检查，以确保裂纹未达到这一长度。六、 结束语断裂力学的产生和发展，其动力来源于生产的需要。它的发展解决了许多工程中灾难性的低应力脆断问题，已成为失效分析的重要研究方法之一，弥补了常规设计方法的不足。掌握断裂力学的分析方法对解决工程实际中的遇到的问题将提供极大的帮助。