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现代控制理论试题

一、 名词解释（15分）
1、 能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性

二、 简答题（15分）
1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？
2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？
3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？
4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？
5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？

三、 计算题（70分）
1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。

图1：RC无源网络

2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s)

3、 求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程：

其中，采样周期为T=2.
4、 求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和

5、 确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的取值范围：

6、 对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：

7、 给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为

试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。

现代控制理论试题答案

一、 概念题
1、 何为系统的能控性和能观性？
答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。
（2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

2、 何为系统的最小实现？
答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。

3、 何为系统的渐近稳定性？
答：若在时刻为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于的实数和任意给定的初始状态，使得时，有，则称为李雅普若夫意义下的渐近稳定

二、 简答题
1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？
答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变

2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？
答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：。
方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，且不包含元素全为0的行
线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵满秩。即：

3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？
答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。

4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？
答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。

5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？
答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。

三、 计算题
1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。

图1：RC无源网络

解：由电路图可知：

选,,可得：

=
所以可以得到：

2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s)

解：运用公式可得：

可得传递函数为：

3、 求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程：

其中，采样周期为T=2。

解：先求出系统的.

令,可得：
X(k)+

4、 求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和

解：计算算式为：

所以：

5、 确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的取值范围：

解：由于A无特定形式，用秩判据简单。

因此，不管a去何值都不能够联合完全能控和完全能观测

6、 对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：

解：（1）选取李雅普若夫函数V(x)，取，可知：
V(0)=0,
即为正定。
（2）计算并判断其定号性。对取定和系统状态方程，计算得到：

基此可知：

即：为负半定。
（3）判断。对此，只需判断的
和 不为系统状态方程的解。为此，将带入状态方程，导出：

表明，状态方程的解只为，不是系统状态方程的解。通过类似分析也可以得证不是系统状态方程的解。基此，可知判断。
（4）综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断满足：
V(x)为正定，为负定；对任意,
当，有
基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。

7、 给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为

试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。

解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行任意极点配置。由于状态维数为3维。所以设。
系统期望的特征多项式为：

而

令,二者相应系数相等。
得：
即：
验证：