初三几何6旋转2.半角及三线共点问题(2014-2015)教师.doc

2015年中考解决方案

旋转2—半角及三线共点问题

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旋转2

中考说明

内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角
能运用旋转的知识解决简单问题

☞半角问题旋转模型图
☞秘籍：角含半角要旋转

中考满分必做题

【例1】 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．

【答案】延长至，使，连结，
易证，
，．
再证，
全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，
则有．

【例2】 如图所示，在正方形中，，点、分别在、上，且，，求的面积．

【答案】如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，则、、共线.
而，且，
故，则≌.
由此可得，，.
在Rt中，，，故，
.在Rt中，，则.
故.

【巩固】如图，正方形的边长为1，、上各存一点、，若的周长为2，求的度数．

【答案】把绕点旋转到的位置，
．∵，
又，∴．
又，∴．
∴．∴．
又∵，∴．
【巩固】如图：正方形ABCD的边长为6cm，E是AD的中点，点P在AB上，且∠ECP=45°．则PE的长是________cm．△PEC的面积是__________.
（11年怀柔二模）

【答案】（1）5（2）15

【例3】 如图所示，在等腰直角的斜边上取两点、，使，记，，，求证：以、、为边长的三角形的形状是直角三角形.

【答案】解法１：如图所示，将绕点顺时针旋转，
得到.连接，则，，
，故
从而，
则.而，
故在直角三角形中有.

解法2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答．
如图所示，以为对称轴将翻折到的位置．
易证和关于对称，且为直角三角形，
并且可得，，．

【巩固】请阅读下列材料：
已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

【答案】（1）
证明：根据绕点顺时针旋转得到
∴
∴，，，
在中
∵∴
∴
即∴
又∵
∴
∴
即
∴
∴
∴
（2）关系式仍然成立
证明：将沿直线对折，得，连
∴
∴，
，
又∵，∴
∵

∴
又∵
∴
∴，

∴
∴在中
即 ．

【例4】 如图1，Rt≌Rt，，． 绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图2、图3，当或时， ______（填“＞”，“＜”或“＝”）．
②如图4，当∠CDF＝时， ______（只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当＜∠CDF＜时， ______，证明你所得到的结论．
（3）如果，请直接写出度数和的值．

图1 图2

图3 图4
【答案】（1）①＝ ②＞
（2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK、GM、GD
则GD＝CD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK
∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝GD
∵∠A＝30°，∴∠CDA＝120°
∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60°
∠ADM＋∠CDK＝60°
∴∠ADM＝∠GDM．
又,,
∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK．
（3）∠CDF＝15°，＝

【例5】 (1)如图，在四边形中，，分别是边上的点，
且．求证：;

(2) 如图在四边形中，，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．
(3) 如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

【答案】证明：延长到，使，联结．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵．
∴
(2) (1)中的结论仍然成立．
(3)结论不成立，应当是
证明：在上截取，
使，连接．
∵，
，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∴．
∵，
∴
∴
∵

【例6】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

【答案】2．

【巩固】 在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________
（2）如图②，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________(用 表示)

【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个阴影部分全等

【例7】 已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、．
（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
（11年石景山一模）

【答案】（1）不变； 45°；
（2）结论：S△AEF=2 S△APQ
∵45°，
∴
∴
同理
过点作于
∴△AEF
△APQ

【例8】 如图(1)，两块等腰直角三角板和，，点与在同一条直线上，
将三角板绕点逆时针旋转角（）得到．设，,．
(1)如图⑵，当，且点与点重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，请补全图形，并求证：．
图⑴
图⑵
图⑶
⑵如图⑶，当，且点与点不重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，求的值（用含x的代数式表示）．[来源:学&科&网]

【答案】⑴补全图形如右图⑴．
图⑴
② 如图⑵，连结AE，
∵和是等腰直角三角形，
＝＝，,，
∴，,．
∴，，＝．
∴，
图⑵
∴点为的中点．
∴⊥，平分．
∴＝，＝，．
∵＝＝，
∴＝,
∴Rt∽Rt，
∴＝，∴，
∴，
∴．
图⑶
⑵如图(3)，过点作⊥交直线于点，连结．
∵＝，＝，∴＝．
∴．
∵＝＝，∴＝．
又∵＝，
∴≌．
∴＝＝，＝．
∵＋＝＋＝，
∴＝，
∴∥．
∴．

【例9】 如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴ 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。
求证：；
⑵ 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
D
A
C
B
图3
B
A
C
图2

D
图1

D
B
F
E
图5
C

D
B
A
C

F

E

A

图4

⑶ 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。
N
F
M
E
B
D
A
C

（2010安徽蚌埠）

【答案】（1）连，如图4，∵两个等腰直角三角形的相似比为，
而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，

∴点为的中点，又∵，
∵，
∴同理可得，，
而；
（2）结论仍然成立．理由如下：
把绕点顺时针旋转，得到，如图5
，
而，

在中，
（3）线段能构成直角三角形的三边长．理由如下：
把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，如图

，
∵的周长等于正方形的周长的一半，

而，
而，
．

【例10】 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形EFGH的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.
（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；
（3）如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.

(2014年房山二模)

【答案】∵点第一次落在上时停止旋转，∴旋转了.
∴在旋转过程中所扫过的面积为
（2）∵∥，
∴,.
∴.∴.
又∵，∴.
又∵,,∴.
∴.∴.
∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为

(3)证明：
延长交轴于点，则，
，
∴.
又∵，.
∴
∴.
又∵,,
∴.
∴.
∴，
∴.
∴在旋转正方形的过程中，值无变化.

【例11】 已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足
，连结MC，NC，MN．
（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ ，= ；（用含a的代数式表示）
（2）求的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．

(12年西城区九上期末）

【答案】（1）与△ABM相似的三角形是△ NDA ，；
（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．（如图9）
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DC，DA= BC，．∴ ．
∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴ ．∴ △BCM∽△DNC． ∴ ．
∴

（3）线段之间的等量关系是．（只猜想答案不证明不给分）
证法一：如图9，将绕点顺时针旋转得到，连接．则．
∴ ，．
∴ ．
∴ ．

可得．
∴ 在中，．
∴ ．

证法二：连接，作，与交于点,（如图10）可知，．
∵ ∴ ．
∵ ，
∴ 四边形是矩形
在中，，
∴

．

【例12】 （1）如图1，点分别是正方形的边上的点，，连接， 则之间的数量关系是：．连结，交于点，且 满足，请证明这个等量关系；

（2）在中， ，点分别为边上的两点．
①如图2，当，时，应满足的等量关系是__________________；
②如图3，当，，时，应满足的等量关系是____________________．【参考：】

（2014平谷一模）

【答案】 (1) 在正方形中，，
．
把绕点逆时针旋转得到．
连结．则,
，．

．
∴． ∴．
在中，,
∴
（2）① ；
②

三线共点问题

☞考点说明：图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转
两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．

【例13】 如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数．

【答案】
【答案】如图，将绕点旋转，使与重合，
即.∴为等腰，
∴，.
又∵，∴
则.∴.

【巩固】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．

【答案】
【解析】如图，过点作，，连接，．
（等于将沿点逆时针旋转）．
，，，．
∴，，

【巩固】为等边内一点，，，求证：以、、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

【答案】要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，
此时，，并且，.
为等边三角形，所以，.
这时，就是以、、为三边构成的三角形.
易知
而
所以
因此

【例14】 如图，为正方形内一点，，将绕着点按逆时针旋转
到 的位置．（1）求的值；（2）求的度数．

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵是绕着点逆时针旋转得到的,
∴
∴是等腰直角三角形.
∴.
（2）仿照（1）将绕着点按顺时针旋转到的位置（如图），连接．
则
∴是等腰直角三角形.
∴
∵
∴
∴为直角三角形.
∴, ∴.

【巩固】如图所示，是等边中的一点，，，，试求的边长.

【答案】
【解析】由于有等边三角形，故可考虑将绕点旋转，使、、出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.
将绕点逆时针旋转，则与重合，点转至点，
点转至点，连接，如图所示，有，，.
故为等边三角形，，
在中，，
故，，
从而有，
故．
所以，在中，，.

【巩固】如图所示，为正方形内一点，若，，.
求：⑴ 的度数；⑵ 正方形的边长.

【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将绕点顺时针旋转，得到.连接，因为，，
所以，.
在中，，，，则，
所以，故.
（2）因，则、、三点共线，
故，，
在中，根据勾股定理得
所以.

【巩固】在中，，是内任意一点，已知，求证：．

【答案】因为，所以可将绕点旋转到的位置，
连结、、，则，，
因为，所以
由，可得，则．
，即．

【例15】 如图，是等边外的一点，，，，求的度数．

【答案】
【解析】以为一边向四边形的外面作正三角形，则，，
∴，，，∴，．

【例16】 如图，正方形内一点，，连结、，请问：是等边三角形吗？为什么？

【答案】将绕点逆时针旋转，得，
再作关于的轴对称图形，得与经过对折后能够重合.
所以，，
所以为等边三角形，即.
又因为，
所以.
又因为，所以.
所以，，所以.
所以为等边三角形.
【例17】 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。
（2013年北京中考试题）
【解析】（1）
（2）为等边三角形[
证明连接、、
∵线段绕点逆时针旋转得到线段
则，
又∵ ∴且为等边三角形.
在与中
∴≌（SSS）∴
∵∴
在与中
∴≌（AAS）∴
∴为等边三角形
（3）∵，∴
又∵∴为等腰直角三角形∴
∵∴而∴

【例18】 如图，在正方形外面存在一个点，连接,以为直角顶点作一个等腰直角三角形,若恰好三点共线，且,（1）求点到直线的距离（2）求的面积（3）求四边形的面积．

【答案】（1）（2）（3）（解析过程略）
【例19】 问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
(1) 图2中∠BPC的度数为_______；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为________，正六边形ABCDEF的边长为_______．
（12年西城一模）

图1 图2 图3

【答案】（1）135°；（2）120°； ．

【例20】 已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，
（1）求证：
（2）如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC上一动点，
求证：
（3）如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请你写出PA，PB，PC三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）
（12年通州二模）

图3
图2
图1

【答案】（1）在AP上截取PM=BP,连结BM
∵是⊙的内接正三角形，
∴，AB=BC
∴
∵PM=BP,
∴是正三角形，
∴
∵，
≌
∴AM=PC，∴AP = PB+PC

(2)∵过点B做,交PA于点N
∵四边形是⊙的内接正方形，
∴AB=BC,,
∴,PB=BN
根据勾股定理得：
∵
∴，
∴≌
∴，
∴
(3)结论：

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