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一、单项选择题 1、设a, b都是非零整数。若a|b，b|a，则【 】A.ab B.a b C.ab D. a b2、设a, b, c是三个整数，c0且c|a，c|b，如果存在整数s, t, 使得satb1，则【 】A.(a, b)= c B. c1 C.csatb D. c 13、Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有【 】A. a p1 (mod p) B. a j (p)1 (mod a) C. a j (p)a (mod p) D. a p a (mod p)4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【 】A. B. C. D. 5、已知，是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】A. 1 是生成元 B.有3阶子群C. 0 是单位元 D.有真子群6、设是环，则下列不正确的是【 】A. 是可换群 B. 是半群C. 对+是可分配的 D. +对是可分配的7、模30的简化剩余系是【 】A. 1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29 B. 1, 7, 10, 13, 17, 25, 23, 29C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 D. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 298、设n是整数，则 (2n, 2(n1)【 】A.1 B.2 C.n D.2n9、模17的平方剩余是【 】A.3 B.10 C.12 D.1510、整数5模17的指数ord17(5)【 】A.3 B.8 C.16 D.3211、下面的集合和运算是群的是【 】A. （运算“”是自然数集N上的普通加法） B. （R是实数集，“”是普通乘法）C. （运算“”是整数集Z上的普通加法） D. （P（S）是集合S的幂集，“”为集合的交）12、一次同余式234x 30（mod 198）的解数是【 】A.18 B.6 C.9 D.013、集合F上定义了“”和“ ”两种运算。如果( )，则构成一个域。【 】A. F对于运算 “”和 “ ”构成环，运算“”的单位元是e，且Fe对于 “ ”构成交换群 B. F对于运算 “”构成交换群，单位元是e；Fe对于运算“ ”构成交换群C. F对于运算“”和运算“ ”都构成群 D. F对于运算“”构成交换群，单位元是e；Fe对于运算“ ”构成交换群；运算 “”和 “ ”之间满足分配律14、群是一种代数结构，下列说法错误的是【 】A.群运算必是封闭的 B.群必有单位元C.群必是满足消去律的 D.群必是满足交换律的15、3次对称群S3的元素个数是【 】A.1 B.3C.6 D.4 二、填空题16、=_。17、设 m 是一个正整数, adbd (mod m)，如果 ，则ab (mod m)。18、一次同余式：ax b (mod m)有解的充分必要条件是 。19、设(F，+,)是一个域，则(F-0，)是_。20、如果G是一个含有9个元素的群，那么，G的真子群的阶只能是_。三、计算题21、令 。用广义欧几里德算法求整数，使得。22、计算3模19的指数。23、计算Legendre符号24、已知 是上的5元置换，且 ，求 ，。25、考虑GF(23)上的椭圆曲线E：，令P1=（3,10），P2=（9,7），计算P1+P2。 四、解同余方程26、求解一次同余方程。27、解同余方程组 五、证明题28、证明：如果是整数，则能被3整除。29、证明：模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成m阶循环群。六、应用题30、RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p和q，计算n=pq。选择两个正整数e和d，满足：ed=1(mod)。Bob的公钥是（n，e），对外公布。Bob的私钥是d，自己私藏。如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257，试求出Bob的私钥d。