1、一、单项选择题
1、设a, b都是非零整数。若a|b，b|a，则【 】
A.a＝b B.a＝± b
C.a＝－b D. a > b
2、设a, b, c是三个整数，c¹0且c|a，c|b，如果存在整数s, t, 使得sa＋tb＝1，则【 】
A.(a, b)= c B. c＝1
C.c＝sa＋tb D. c＝± 1
3、Fermat定理：设p是一个素数，则对任意整数a有【 】
A. a p＝1 (mod p) B.
2、a j (p)＝1 (mod a)
C. a j (p)＝a (mod p) D. a p ＝a (mod p)
4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【 】
A. B.
C. D.
5、已知，是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】
A. [1] 是生成元 B.有3阶子群
C. [0] 是单位元 D.有真子群
6、设是环，则下列不正确的是【 】
A. 是可换群 B. 是半群
3、
C. 对+是可分配的 D. +对是可分配的
7、模30的简化剩余系是【 】
A. －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29
B. －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29
C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
D. －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
8、设n是整数，则 (2n, 2(n＋1))＝【 】
A.1 B.2
C.n D.2n
4、9、模17的平方剩余是【 】
A.3 B.10
C.12 D.15
10、整数5模17的指数ord17(5)＝【 】
A.3 B.8
C.16 D.32
11、下面的集合和运算是群的是【 】
A. （运算“＋”是自然数集N上的普通加法）
B. （R是实数集，“×”是普通乘法）
C. （运算“＋”是整数集Z上的普通加法）
D
5、 （P（S）是集合S的幂集，“∩”为集合的交）
12、一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是【 】
A.18 B.6
C.9 D.0
13、集合F上定义了“＋”和“ · ”两种运算。如果( )，则构成一个域。【 】
A. F对于运算 “＋”和 “ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e，且F\{e}对于 “ · ”构成交换群
B. F对于运算 “＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ ·
6、 ”构成交换群
C. F对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
D. F对于运算“＋”构成交换群，单位元是e；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算 “＋”和 “ · ”之间满足分配律
14、群是一种代数结构，下列说法错误的是【 】
A.群运算必是封闭的 B.群必有单位元
C.群必是满足消去律的 D.群必是满足交换律的
15、3次对称群S3的元素个数是【 】
A.1 B.3
C.6 D.4
二、填空题
16、=_______。
7、17、设 m 是一个正整数, ad≡bd (mod m)，如果 ，则a≡b (mod m)。
18、一次同余式：ax º b (mod m)有解的充分必要条件是 。
19、设(F，+,·)是一个域，则(F-{0}，·)是__________。
20、如果G是一个含有9个元素的群，那么，G的真子群的阶只能是___________。
三、计算题
21、令 。用广义欧几里德算法求整数，使得。
22、计算3模19的指数。
23、计算Legendre符号
24、已知 是上的5元置换，且 ，
求 ，，，。
25、考虑GF(23)上的椭圆曲线E：，令P1=（3,10），P2=（9,7），计算P1+P2。
四、解同余方程
26、求解一次同余方程。
27、解同余方程组
五、证明题
28、证明：如果是整数，则能被3整除。
29、证明：模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成m阶循环群。
六、应用题
30、RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p和q，计算n=pq。选择两个正整数e和d，满足：ed=1(mod)。Bob的公钥是（n，e），对外公布。Bob的私钥是d，自己私藏。如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257，试求出Bob的私钥d。
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