系统数学模型01.pptx

第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型 所谓系统的数学模型就是所谓系统的数学模型就是描述系统输入输出描述系统输入输出关系的数学表达式关系的数学表达式。建立起控制系统的数学。建立起控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、模型，并在此基础上对控制系统进行分析、设计、综合，是控制系统的基本研究方法。设计、综合，是控制系统的基本研究方法。本章主要内容本章主要内容1）线性微分方程式的建立及微分方程线性）线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法化的方法2）拉普拉斯变换及传递函数概念）拉普拉斯变换及传递函数概念3）系统方块图和信号流程图的概念）系统方块图和信号流程图的概念 第一节第一节 引引 言言 一、系统的数学模型一、系统的数学模型 数学模型就是系统的输出与输入间的数学表数学模型就是系统的输出与输入间的数学表达式。分为静态模型和动态模型。达式。分为静态模型和动态模型。静态模型静态模型：在静态条件下得到的方程。一般在静态条件下得到的方程。一般用代数方程来表示。用代数方程来表示。动态模型动态模型：在动态条件下得到的方程。一般在动态条件下得到的方程。一般用微分方程式来描述。用微分方程式来描述。工程上常用的数学模型包括微分方程、传递工程上常用的数学模型包括微分方程、传递函数和状态方程，微分方程是基本的数学模函数和状态方程，微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础。型，是列写传递函数的基础。系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法来获取，两种方法是相辅相成的。理论分析可来获取，两种方法是相辅相成的。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而以大致确定数学模型的阶次、参数与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式。试验的方法可以最终确定数学模型的形式。从理论上建立系统的数学模型，常称为理论从理论上建立系统的数学模型，常称为理论建模。这往往是困难的。为建立一个系统的建模。这往往是困难的。为建立一个系统的理想的数学模型，必须注意到以下几点：理想的数学模型，必须注意到以下几点：1 1、必须对元件或系统的构造、工作情况有足、必须对元件或系统的构造、工作情况有足够的了解。够的了解。分布参量集中化。分布参量集中化。非线性因素线性化。非线性因素线性化。时变参量定常化。时变参量定常化。3 3、不同元件或系统应采用与之相应的物理、不同元件或系统应采用与之相应的物理定律来建立输入与输出的关系。如机械系定律来建立输入与输出的关系。如机械系统常用牛顿定律、电气系统采用基尔霍夫统常用牛顿定律、电气系统采用基尔霍夫定律等。这是建立数学模型的基础。定律等。这是建立数学模型的基础。2 2、忽略一些次要的因素，进行合理的简化。、忽略一些次要的因素，进行合理的简化。忽略次要因素或数值上比较小的因素。忽略次要因素或数值上比较小的因素。二、线性系统二、线性系统 如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为如果系统的数学模型是线性的，这种系统称为线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是线性系统。一个系统，无论是用代数方程还是用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为用微分方程来描述，其组成项的最高指数称为方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程；方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程；除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程。程。微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，微分方程中，无论是因变量或者是它的导数，都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其都不高于一次方，并且没有一项是因变量与其导数之积，则此导数之积，则此微分方程就是线性微分方程。微分方程就是线性微分方程。用这种方程用这种方程描述的系统称为线性系统。描述的系统称为线性系统。下列微分方程描述的系统为线性系统。下列微分方程描述的系统为线性系统。下列微分方程描述的系统为非线性系统。下列微分方程描述的系统为非线性系统。1.线性系统的齐次性线性系统的齐次性如果系统在输入如果系统在输入x(t)作用下的输出为作用下的输出为y(t)，并记为并记为x(t)y(t)则则 kx(t)ky(t)称为齐次性。式中称为齐次性。式中k为常数。为常数。线性系统具有齐次性。线性系统具有齐次性。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。线性系统最重要的特性，就是叠加原理。若系统在输入若系统在输入若系统在输入若系统在输入x x1 1(t t)作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为y y1 1(t t),),而在另一个而在另一个而在另一个而在另一个输入输入输入输入x x2 2(t t)作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为作用下的输出为y y2 2(t t)，并记为，并记为，并记为，并记为 x x1 1(t t)y y1 1(t t)x x2 2(t t)y y2 2(t t)则以下关系则以下关系则以下关系则以下关系 x x1 1(t t)+x+x2 2(t t)y y1 1(t t)+y+y2 2(t t)称为叠加性或叠加原理称为叠加性或叠加原理称为叠加性或叠加原理称为叠加性或叠加原理 叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于叠加原理说明，两个不同的输入函数，同时作用于系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之系统的响应，等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一和。因此，线性系统对几个输入量的响应，可以一个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。个一个的处理，然后对它们的响应结果进行叠加。2.线性系统的叠加性线性系统的叠加性三三.非线性系统非线性系统 用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。用非线性方程表示的系统，叫做非线性系统。虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但是在大多数情况下，实际的关系并非是真正是在大多数情况下，实际的关系并非是真正线性的。线性的。事实上，对物理系统进行仔细研究事实上，对物理系统进行仔细研究后可以发现，即使对所谓的线性系统来说，后可以发现，即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影也只是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差，工程上响较小的非线性因素所引起的误差，工程上又允许的话，这一系统就可以作为线性系统又允许的话，这一系统就可以作为线性系统来处理。图来处理。图 2-1为工程上常见的非线性特性为工程上常见的非线性特性曲线。曲线。当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理。在实际系统中，有时还人为的引入饱性元件来处理。在实际系统中，有时还人为的引入饱性元件来处理。在实际系统中，有时还人为的引入饱性元件来处理。在实际系统中，有时还人为的引入饱和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行。在额定或安全情况下运行。在额定或安全情况下运行。在额定或安全情况下运行。饱和非线性饱和非线性当输入信号在一定范围内变化时，当输入信号在一定范围内变化时，当输入信号在一定范围内变化时，当输入信号在一定范围内变化时，具有具有具有具有饱和特性的环节其输入输出呈饱和特性的环节其输入输出呈饱和特性的环节其输入输出呈饱和特性的环节其输入输出呈线性关系；当输入信号线性关系；当输入信号线性关系；当输入信号线性关系；当输入信号x x的绝对值的绝对值的绝对值的绝对值超出其线性范围后，输出信号不再超出其线性范围后，输出信号不再超出其线性范围后，输出信号不再超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持在一常值上。随输入信号变化而保持在一常值上。随输入信号变化而保持在一常值上。随输入信号变化而保持在一常值上。具有饱和特性的元件如放大器、调具有饱和特性的元件如放大器、调具有饱和特性的元件如放大器、调具有饱和特性的元件如放大器、调节器等。节器等。节器等。节器等。只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。在工程误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。在工程误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。在工程误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。在工程实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入或增大死区。或增大死区。或增大死区。或增大死区。死区非线性死区非线性死区特性又称不灵敏特性，图中死区特性又称不灵敏特性，图中死区特性又称不灵敏特性，图中死区特性又称不灵敏特性，图中横坐标为输入，纵坐标为输出。横坐标为输入，纵坐标为输出。横坐标为输入，纵坐标为输出。横坐标为输入，纵坐标为输出。由此可见，当输入信号在零附近由此可见，当输入信号在零附近由此可见，当输入信号在零附近由此可见，当输入信号在零附近变化时，系统输出为零。变化时，系统输出为零。变化时，系统输出为零。变化时，系统输出为零。间隙非线性间隙非线性传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统传动机构的间隙也是控制系统中一种常见的非线性特性现象。中一种常见的非线性特性现象。中一种常见的非线性特性现象。中一种常见的非线性特性现象。在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度在机械传动中，由于加工精度的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需的限制及运动件相互配合的需要，总会有一定的间隙存在。要，总会有一定的间隙存在。要，总会有一定的间隙存在。要，总会有一定的间隙存在。例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵例如齿轮传动，为保证转动灵活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许活不发生卡死现象，必须容许有少量间隙。有少量间隙。有少量间隙。有少量间隙。由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮（其转角为输入信号（其转角为输入信号（其转角为输入信号（其转角为输入信号x x(t t)）总要转过间隙量）总要转过间隙量）总要转过间隙量）总要转过间隙量2 2 x x的空行的空行的空行的空行程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号程后才能推动从动齿轮（其转角为输出信号y y(t t)）转）转）转）转动，形成如图所示的环状间隙特性。动，形成如图所示的环状间隙特性。动，形成如图所示的环状间隙特性。动，形成如图所示的环状间隙特性。在机械传动中，摩擦是必然在机械传动中，摩擦是必然在机械传动中，摩擦是必然在机械传动中，摩擦是必然存在的物理因素。例如执行存在的物理因素。例如执行存在的物理因素。例如执行存在的物理因素。例如执行机构由静止状态启动，必须机构由静止状态启动，必须机构由静止状态启动，必须机构由静止状态启动，必须克服机构中的静摩擦力矩克服机构中的静摩擦力矩克服机构中的静摩擦力矩克服机构中的静摩擦力矩y y1 1 。启动之后，又要克服机构。启动之后，又要克服机构。启动之后，又要克服机构。启动之后，又要克服机构中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩中的动摩擦力矩y y2 2 。一般静。一般静。一般静。一般静摩擦力矩大于动摩擦力矩。摩擦力矩大于动摩擦力矩。摩擦力矩大于动摩擦力矩。摩擦力矩大于动摩擦力矩。如图所示。相应的数学表达如图所示。相应的数学表达如图所示。相应的数学表达如图所示。相应的数学表达式为式为式为式为摩擦间隙非线性摩擦间隙非线性非线性系统重要的特性，是不能应用叠加原非线性系统重要的特性，是不能应用叠加原理。因此，对包含有非线性系统的问题求解，理。因此，对包含有非线性系统的问题求解，其过程通常是非常复杂的。为了绕过由非线其过程通常是非常复杂的。为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需引入性系统而造成的数学上的难关，常需引入“等效等效”线性系统线性系统来代替非线性系统。如饱和来代替非线性系统。如饱和非线性（图非线性（图a）和死区非线性（图）和死区非线性（图b）。这种）。这种等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正确的，而对于那些确的，而对于那些本质的非线性本质的非线性（图（图c、图图d），则用线性化处理的数学模型来近似的，则用线性化处理的数学模型来近似的表示非线性系统。在第三节中，将介绍线性表示非线性系统。在第三节中，将介绍线性化处理的方法。化处理的方法。第二节第二节 线性微分方程式的建立线性微分方程式的建立 一建立线性微分方程式的步骤一建立线性微分方程式的步骤 1、首先将系统划分为若干个环节，、首先将系统划分为若干个环节，确定每一确定每一环节的输入信号和输出信号环节的输入信号和输出信号。确定输入信号和。确定输入信号和输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。环节的输入信号。2 2、写出每一环节（或元件）输出信号和输入写出每一环节（或元件）输出信号和输入信号相互关系的运动方程式信号相互关系的运动方程式，找出联系输出量，找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时就是环节（或元件）的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化，忽略一些次要因素等化，忽略一些次要因素等 。3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含输入量和输出量的方程最后得到只包含输入量和输出量的方程式。式。4.化成标准形式，即化成标准形式，即输出量放在方程式的输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端左端，而输入量放在方程式的右端，且各，且各阶导数项其阶次依次按幂排列阶导数项其阶次依次按幂排列 *建立数学模型的基础：建立数学模型的基础：机械运动：机械运动：牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理 电电 学：学：欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律 热热 学：学：传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律机械系统设备大致分两类：平移的和旋转机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区别在于前者施加的力而的。它们之间的区别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生的是转角。的是转角。牛顿定律和虎克定律牛顿定律和虎克定律等物理定等物理定律是建立机械系统数学模型的基础律是建立机械系统数学模型的基础 二举例二举例 1机械系统的微分方程式机械系统的微分方程式 机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素质量质量 M弹簧弹簧 K阻尼阻尼 B机械运动的实质：机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理实例实例（1 1）平移运动）平移运动）平移运动）平移运动如图所示机械系统。求其微分方程，图中如图所示机械系统。求其微分方程，图中如图所示机械系统。求其微分方程，图中如图所示机械系统。求其微分方程，图中X Xi i 表示输入表示输入表示输入表示输入位移，位移，位移，位移，X Xo o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。表示输出位移，假设输出端无负载效应。表示输出位移，假设输出端无负载效应。表示输出位移，假设输出端无负载效应。（c c、c c1 1、c c2 2为阻尼系数，为阻尼系数，为阻尼系数，为阻尼系数，k k1 1、k k2 2为弹性系数）为弹性系数）为弹性系数）为弹性系数）解：（解：（1 1）对图）对图a a所示系统，由所示系统，由牛顿定律有牛顿定律有即即消除中间变量消除中间变量x有有（2）对图）对图b所示系统，引所示系统，引入一中间变量入一中间变量x并由牛顿定并由牛顿定律有：律有：(3)(3)对图对图c c所示系统，由牛顿所示系统，由牛顿定律有定律有即即（2 2）机械旋转系统）机械旋转系统）机械旋转系统）机械旋转系统 图图图图2-32-3 所示的转动惯量为所示的转动惯量为所示的转动惯量为所示的转动惯量为J J的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为的转子与弹性系数为k k的的的的弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为弹性轴和阻尼系数为B B的阻尼器连接。假设外部施的阻尼器连接。假设外部施的阻尼器连接。假设外部施的阻尼器连接。假设外部施加扭矩加扭矩加扭矩加扭矩mm(t t),则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移则系统产生一个偏离平衡位置的角位移 (t)。现研究外扭矩。现研究外扭矩。现研究外扭矩。现研究外扭矩m(t)和角位移和角位移和角位移和角位移(t)的关系。的关系。的关系。的关系。图图2-3 具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统具有惯性矩、扭矩和阻尼器的旋转系统 列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩列出系统原始方程：在平衡位置时，外加扭矩m(t)应与惯性矩应与惯性矩应与惯性矩应与惯性矩m1(t)阻尼矩阻尼矩阻尼矩阻尼矩m2(t)和弹性阻力矩和弹性阻力矩和弹性阻力矩和弹性阻力矩m3(t)平衡，即平衡，即平衡，即平衡，即 （2-32-3）式中式中式中式中 所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为所以系统的运动方程式为 （2-42-4）2电气系统的微分方程电气系统的微分方程 电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁电气系统和元件种类繁多，但根据有关电、磁及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总及电路的基本定律，无论其结构多么复杂，总可以建立起相应的数学模型的。电气系统的微可以建立起相应的数学模型的。电气系统的微可以建立起相应的数学模型的。电气系统的微可以建立起相应的数学模型的。电气系统的微分方程主要根据分方程主要根据分方程主要根据分方程主要根据基尔霍夫定律和电磁感应定律基尔霍夫定律和电磁感应定律基尔霍夫定律和电磁感应定律基尔霍夫定律和电磁感应定律等基本物理规律列写等基本物理规律列写等基本物理规律列写等基本物理规律列写 图图2-4 所示的系统中，所示的系统中，ui(t)为输入电压，为输入电压，uo(t)为输出电压。为输出电压。根据基尔霍夫定律和根据基尔霍夫定律和欧姆定律，有欧姆定律，有 （2-52-5）（2-6)2-6)（2-72-7）（2-82-8）图图图图2-42-4无源电路无源电路无源电路无源电路 将方程联立求解，消去中间变量将方程联立求解，消去中间变量i1(t)、i2(t)、i3(t)后，即可得到以后，即可得到以ui(t)为输入量，以为输入量，以uo(t)为为输出量的电路微分方程式，即：输出量的电路微分方程式，即：（2-92-9）第三节第三节 非线性系统的线性化非线性系统的线性化 实际上，所有元件和系统都不同程度地具有实际上，所有元件和系统都不同程度地具有非线性特性，例如：元件的死区、传动的间非线性特性，例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等等 由于非线性有各种不同的类型，所以也没有由于非线性有各种不同的类型，所以也没有解析求解的通用方法。解析求解的通用方法。具有本质非线性特性的系统，只能用非线性具有本质非线性特性的系统，只能用非线性理论去处理。理论去处理。对于非线性函数的线性化方法有两种。对于非线性函数的线性化方法有两种。一种是忽略非线性因素。如果非线性因一种是忽略非线性因素。如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略。如素对系统的影响很小，就可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情死区、磁滞以及某些干摩擦等，一般情况下就可以忽略。另一种方法就是切线况下就可以忽略。另一种方法就是切线法，或称微小偏差法。法，或称微小偏差法。在工作中，控制系统各个变量偏离其平在工作中，控制系统各个变量偏离其平衡值一般都比较小，因此，对于具有非衡值一般都比较小，因此，对于具有非本质非线性特性的系统，可以采用小偏本质非线性特性的系统，可以采用小偏差线性化的方法求取近似的线性微分方差线性化的方法求取近似的线性微分方程以代替原来的非线性微分方程。程以代替原来的非线性微分方程。切线法：切线法：如果工程中存在着如果工程中存在着一些元件（或系统）一些元件（或系统）其输出与输入的静其输出与输入的静态关系如图态关系如图2-5所示。所示。系统在平衡点系统在平衡点A(x0、y0)工作，当输入量工作，当输入量x在平衡点在平衡点A附近很附近很小范围内变化时，小范围内变化时，输入与输输入与输图图图图2-5 2-5 非线性特性线性化的几何意义非线性特性线性化的几何意义非线性特性线性化的几何意义非线性特性线性化的几何意义出关系可以近似用切于出关系可以近似用切于A点的一段直线点的一段直线BC来代来代替实际的曲线替实际的曲线BC,这种代替虽然存在误差，但这种代替虽然存在误差，但在工程实际中，其误差是允许的。在工程实际中，其误差是允许的。若若若若BCBC的斜率为的斜率为的斜率为的斜率为k k，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为，则输入与输出关系可以表示为:式中式中式中式中 y y为在平衡点为在平衡点为在平衡点为在平衡点A A附近附近附近附近输出量输出量输出量输出量的变化；的变化；的变化；的变化；x为在平衡点为在平衡点为在平衡点为在平衡点A A附近附近附近附近输入量输入量输入量输入量的变化；的变化；的变化；的变化；由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近由此可见，一个非线性系统，如果在平衡点附近工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的工作时，就可以用线性关系描述其输出与输入的关系。关系。关系。关系。当非线性关系可以用当非线性关系可以用当非线性关系可以用当非线性关系可以用解析关系解析关系解析关系解析关系描述时，且仍然在描述时，且仍然在描述时，且仍然在描述时，且仍然在平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达平衡点附近工作，系统的线性关系应该如何表达呢？下面就来分析此种情况。呢？下面就来分析此种情况。呢？下面就来分析此种情况。呢？下面就来分析此种情况。非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时非线性关系如果可用下述解析形式表达时 （2-112-11）平衡工作点为平衡工作点为平衡工作点为平衡工作点为A(x0、y0),则（则（则（则（2-112-11）式在平）式在平）式在平）式在平衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为衡点展成泰勒级数为 （2-12 2-12）假设假设假设假设(x x-x x0 0)很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一很小，则可以忽略高次项，而只保留一次项，则（次项，则（次项，则（次项，则（2-122-12）可以写成）可以写成）可以写成）可以写成 （2-132-13）式中式中式中式中 所以，式（所以，式（所以，式（所以，式（2-132-13）变为：）变为：）变为：）变为：（2-142-14）即即即即 如果输出量如果输出量y为两个输入量为两个输入量x1与与x2的函数时，即的函数时，即（2-152-15）为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在为了得到线性系统的近似线性关系，仍然在平衡点展成泰勒级数，即：平衡点展成泰勒级数，即：（2-162-16）当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是（2-16）式可以写成）式可以写成 :（2-172-17）式中式中式中式中 (2-17)(2-17)式又可以写成：式又可以写成：式又可以写成：式又可以写成：为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量为了书写方便起见，增量 y与与与与 x均可以用变量均可以用变量均可以用变量均可以用变量y y与与与与x x代替，但在理解时，应看作在工作点附近小代替，但在理解时，应看作在工作点附近小代替，但在理解时，应看作在工作点附近小代替，但在理解时，应看作在工作点附近小范围内的关系。范围内的关系。范围内的关系。范围内的关系。这样，（这样，（这样，（这样，（2-102-10）式、（）式、（）式、（）式、（2-142-14）式与（）式与（）式与（）式与（2-182-18）则）则）则）则可以分别写成为可以分别写成为可以分别写成为可以分别写成为 （2-192-19）（2-202-20）这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用这里需指出，前面所讲过的线性化方法只能用在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓在没有间断点、折断点的非线性特性，即所谓非本质非线性特性。非本质非线性特性。非本质非线性特性。非本质非线性特性。例例例例2-1 2-1 图图图图2-62-6为一液面系统。为一液面系统。为一液面系统。为一液面系统。Q Qr r为流入液量，为流入液量，为流入液量，为流入液量，Q Qc c为为为为流出液量流出液量流出液量流出液量 ,h h为液面高度，为液面高度，为液面高度，为液面高度，S S为容器截面积，在为容器截面积，在为容器截面积，在为容器截面积，在h h变变变变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：解：系统原始方程式：以以以以Q Qr r为输入量，以为输入量，以为输入量，以为输入量，以h h为输出量。为输出量。为输出量。为输出量。根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得根据物质守恒定律可得 由流量公式可知由流量公式可知由流量公式可知由流量公式可知 式中式中式中式中 决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构决定于流通管道面积及其结构形式的参数。结构一定时，在一定时，在一定时，在一定时，在Q Qc c变化的一定范围内，可近似地认为恒值变化的一定范围内，可近似地认为恒值变化的一定范围内，可近似地认为恒值变化的一定范围内，可近似地认为恒值 显然式（显然式（显然式（显然式（2-232-23）是一个非线性方程式。）是一个非线性方程式。）是一个非线性方程式。）是一个非线性方程式。对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和对上式进行线性化处理，首先确定额定工作点和静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（静态方程式：额定工作点为（Q Qr0r0、h h0 0),静态方程静态方程静态方程静态方程式为：式为：式为：式为：将非线性函数将非线性函数将非线性函数将非线性函数 线性化：线性化：线性化：线性化：代入代入代入代入(2-21)(2-21)式中消去式中消去式中消去式中消去Q Qc c,可得液面运动方程式可得液面运动方程式可得液面运动方程式可得液面运动方程式 （2-23）将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量之和来表示来表示 从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（从上式减去静态方程式，可得式（2-232-23）的线性）的线性）的线性）的线性化方程式：化方程式：化方程式：化方程式：线性化有如下特点：线性化有如下特点：（1 1）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作）线性化是相对某一额定工作点进行的。工作点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；点不同，得到的线性化微分方程的系数也不同；（2 2）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中）若使线性化具有足够的精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；变量偏离工作点的偏差信号必须足够小；（3 3）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增）线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；量来描述的。因此，可以认为其初始条件为零；（4 4 4 4）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非）线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。线性系统是不适用的。线性系统是不适用的。线性系统是不适用的。第四节第四节 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 利用拉普拉斯变换，可将利用拉普拉斯变换，可将利用拉普拉斯变换，可将利用拉普拉斯变换，可将微分方程微分方程微分方程微分方程转换为转换为转换为转换为代数方代数方代数方代数方程程程程，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分，使求解大为简化，因而拉普拉斯变换成为分析工程控制系统的基本数学方法之一。析工程控制系统的基本数学方法之一。析工程控制系统的基本数学方法之一。析工程控制系统的基本数学方法之一。一一.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义设设f(t)是实变量是实变量t的单值函数，在的单值函数，在t0的任一有限区的任一有限区间上是连续的或至少是分段连续的。并且当间上是连续的或至少是分段连续的。并且当t趋于趋于无穷大时，无穷大时，f(t)是指数级数的。即存在一个正实数是指数级数的。即存在一个正实数，在，在t趋于无穷大时，它使函数趋于无穷大时，它使函数e-t t f(t)趋近于趋近于零。则零。则f(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换F(s)定义为：定义为：2-25式中式中式中式中S S是一个实部大于是一个实部大于是一个实部大于是一个实部大于 的复变量。的复变量。的复变量。的复变量。L L为拉氏变换为拉氏变换为拉氏变换为拉氏变换运算符。通常称运算符。通常称运算符。通常称运算符。通常称f f(t t)为原函数、为原函数、为原函数、为原函数、F F(s s)为拉氏变换函为拉氏变换函为拉氏变换函为拉氏变换函数或原函数的象函数。数或原函数的象函数。数或原函数的象函数。数或原函数的象函数。拉氏变换定义式中，其积分的下限为零。但是，拉氏变换定义式中，其积分的下限为零。但是，拉氏变换定义式中，其积分的下限为零。但是，拉氏变换定义式中，其积分的下限为零。但是，若函数若函数若函数若函数f f(t t)在在在在t t=0=0处有突跳，这就存在积分下限是处有突跳，这就存在积分下限是处有突跳，这就存在积分下限是处有突跳，这就存在积分下限是从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，即积分下限是取即积分下限是取即积分下限是取即积分下限是取0 0+还是还是还是还是0 0-的问题。因为对于这两的问题。因为对于这两的问题。因为对于这两的问题。因为对于这两种下限，种下限，种下限，种下限，f f(t t)的拉氏变换是不同的。我们采用如下的拉氏变换是不同的。我们采用如下的拉氏变换是不同的。我们采用如下的拉氏变换是不同的。我们采用如下标记区分这种差别：标记区分这种差别：标记区分这种差别：标记区分这种差别：例例例例2-2 2-2 求求求求 的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。u u(t t)为单位阶跃函数，见图为单位阶跃函数，见图为单位阶跃函数，见图为单位阶跃函数，见图2-72-7（a a）。即）。即）。即）。即（a）单位阶跃函数单位阶跃函数图图-7函数曲线函数曲线 解：利用（解：利用（解：利用（解：利用（2-252-25）式，可得）式，可得）式，可得）式，可得 注：当注：当注：当注：当u u(t t)不为单位阶跃函数，为不为单位阶跃函数，为不为单位阶跃函数，为不为单位阶跃函数，为 时，时，例例例例2-3 2-3 求单位斜坡函数求单位斜坡函数求单位斜坡函数求单位斜坡函数f f(t t)=)=t t的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。的拉氏变换。单位斜坡函数如图单位斜坡函数如图单位斜