比较二次根式大小的方法.doc

郭氏数学内部资料比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。 一、移动因式法此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。 例1：比较的大小。 解： 下面几种题型较难，只适用于培优学生，一般同学不需要掌握。二、运用平方法 两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。 例2：比较与的大小。 解：， 0，0 三、分母有理化法 此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。 例3：比较与的大小。 解： 四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例4：比较与的大小 解： 五、求差或求商法 求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当0时，；当时，；当0时，”来比较与的大小。求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“同号：当1时，；1时，；1时，。异号：正数大于负数” 来比较与的大小。例5：比较的大小。解： 例6：比较的大小。解：1 六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较的大小。 解： 七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。 例8：已知，试比较的大小。解：设，则， ，即八、设特定值法 如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。 例9：比较 与 的大小。解：设，则：1，1，九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。例10：比较的大小。解：设， ，78，即78 ，89，即89 ，即例11：比较与的大小。 解： 十、“结论”推理法通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“（0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例12：比较1与的大小。解：， 由（0）可知：即又，即1总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。 附：“（0）”的证明。证明：， （0） 【典题新练】：1、比较与的大小；2、比较与的大小；3、比较与的大小；4、比较与的大小；5、比较与的大小；6、比较与的大小（其中为正整数）； 7、设，试比较它们的大小；8、比较与的大小； 9、比较与的大小；10、 比较与的大小； 11、比较与的大小；12、比较的大小；13、比较与的大小；14、 比较与的大小； 15、若为正整数，试比较的大小；16、比较的大小 17、比较与的大小。【典题新练参考答案】：1、提示：，2、提示：平方后再进行比较，3、提示：可利用（0）。 ，即4、提示：分母有理化后再进行比较。 ，5、提示：分子有理化后再进行比较。 ，即 6、提示： ，其中为正整数， 故 7、提示：设，则：， ，8、平方后再进行比较。，又，9、提示：23，78，5， 10、提示：分子有理化后再进行比较。因为，而所以，故 11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ，12、提示：，而78，的整数部分为7 。同样可得的整数部分为8，13、提示： 14、提示：平方后再比较大小。 ， 15、提示：由偶次根式的定义得，2009，0， 0，0， 16、提示：由，设，则4，两边平方得： 16，4，这与4相矛盾，假设不成立，故。17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，示例如下图：，；。由图可知：，即