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初中数学教师面试试题

1. 一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ____8___，
第个数是（为正整数）．（崇文二模填空12）

考察的知识点：1.找规律；2.情况讨论，n为奇数与偶数。

2. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5，则整数m的值为 0或4 （答对一个给2分；在答出0或4的基础上，多答的只给2分.）
（朝阳区二模填空12）
考察的知识点：1. 抛物线与x轴与有两个交点，则判别式大于0；
2.求根公式；3.根据题中要求取舍m值.

3.圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于 _______65_ （朝阳区二模选择5）

考察的知识点：1. 勾股定理；2. 圆锥的侧面积公式

4. 已知： ，求代数式的值.（顺义区一模17）

解：
∵
∴ ---------------------------------------------------------------------------------2分
∴ -----5分

考察的知识点：整体代入思想

5. （顺义区一模19）
已知：如图，⊙O的直径=8cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接．
(1) 若，求阴影部分的面积；
(2)若点在的延长线上运动，的平分线交于点，∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠的度数．
. 解：(1) 联结OC. ∵ PC为⊙O的切线 ,
∴ PC⊥OC .
∴ ∠PCO=90°. ----------------------------------------------------------------------1分
∵ ∠ACP=120°
∴ ∠ACO=30°
∵ OC=OA ,
∴ ∠A=∠ACO=30°.
∴ ∠BOC=60°--------------------------------------------------------------------------2分
∵ OC=4
∴
∴ -------------------------------------------3分
(2) ∠CMP的大小不变，∠CMP=45° --------------------------------------------------4分
由（1）知 ∠BOC+∠OPC=90°
∵ PM平分∠APC
∴ ∠APM=∠APC
∵ ∠A=∠BOC
∴ ∠PMC=∠A+∠APM=(∠BOC+∠OPC)= 45°---------------------------5分

考察的知识点：1.切线；2.阴影面积的表示；3.平分线的性质

6.（海淀区一模23）已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

.
.（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.
依题意 k-1≠0.
∴ . ……………………………………………………………1分
∵ 方程的根为正整数，k为整数,
∴ k-1=1或k-1=2.
∴ k1= 2, k2=3. ……………………………………………………………2分
（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
= …………………………3分
（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数
根. ………………………………………………………………4分
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+4ac(k-1). …………………………………………………5分
∵ 方程kx=x+2的根为正实数，
∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. …………………………………………………6分
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)2³0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …………7分
证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点,
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc³0.
(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).
由证法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc³0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …………………7分
综上, 方程②有两个不相等的实数根.

考察的知识点：1.整体代入；2.判别式.

7.（朝阳二模24）
抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）设直线AC的解析式为，把A（－1，0）代入得.
∴直线AC的解析式为. ………………………………………………1分
依题意知，点Q的纵坐标是－6.
把代入中，解得，∴点 Q（1，）. ………………2分
∵点Q在抛物线的对称轴上，∴抛物线的对称轴为直线.
设抛物线的解析式为，由题意，得，解得
∴抛物线的解析式为.………………………………………………3分
（2）如图①，过点C作AC的垂线交抛物线于点D，
交x轴于点N，则
∴，∴.
∵，，∴.
∴点N的坐标为（9，0）
可求得直线CN的解析式为. 图①
由，解得，即点D的坐标为（，）.………5分
（3）设抛物线的对称轴交x轴于点E，
依题意，得，，.
∵，
且，
又，∴.
设P（1，m）， 图②
①当点P在点M上方时，PM＝m＋4＝3，
∴，∴P（1，－1）. …………………………………………………………6分
②当点P在点M下方时，PM＝－4－m＝3，
∴，∴P（1，－7）. …………………………………………………………7分
综上所述，点P的坐标为（1，－1），（1，－7）
考察的知识点：1.点在直线上则它满足函数关系；2.等量代换；
3.正切；4.面积；5.分情况讨论.

8.（朝阳二摸25）

图① 图②
（1） 已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且
∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．

解（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AC=BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
以CE为一边作∠ECF＝∠ECB，在CF上
截取CF=CB，则CF=CB=AC. 图①
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE. ………………………………………………1分
∴FE=BE，∠1＝∠B＝45°.
∵∠DCE＝∠ECF＋∠DCF＝45°，
∴∠DCA＋∠ECB＝45°.
∴∠DCF＝∠DCA.
∴△DCF≌△DCA. ……………………………………………………………2分
∴∠2＝∠A＝45°，DF＝AD.
∴∠DFE＝∠2＋∠1＝90°.
∴△DFE是直角三角形.
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形. ……………………………4分
（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能
构成一个等腰三角形.
如图②，与（1）类似，以CE为一边，作
∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得
△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA.
∴AD=DF，EF=BE. 图②
∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°. ……………………………………5分
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. ……………6分
且顶角∠DFE为120°.
（3）证明：如图①，
∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠CDB＝∠ACD＋∠A.
又∠DCE＝∠A＝45°，
∴∠ACE＝∠CDB.
又∠A＝∠B，
∴△ACE∽△BDC.
∴.
∴.
∵Rt△ACB中，由，得.
∴.…………………………………………8分
考察的知识点：1.等腰三角形的性质；2.全等；
3.辅助线的添加；4.相似
8．在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ；
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=，则Q= （用、L表示）．
解：（I）如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN ．
此时 ．
（II）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
,且．．
又是等边三角形，
．
在与中：

(SAS) ．
DM=DE,

在与中：

(SAS)
MN=NE=NC+BM
的周长Q=AM+AN+MN
=AM+AN+(NC+BM)
　　　　　　=(AM+BM)+(AN+NC)
　　　　　　=AB+AC
　　　　　　 =2AB
而等边的周长L=3AB
.
（III）如图3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=，
则Q= 2+ （用、L表示）．
考察知识点：1.辅助线的添加;
2.全等；3.等量代换.

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