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宝宝宝宝嘻嘻嘻
第二十三章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列各选项图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( A )
2．下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( A )
A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形
3．如图，下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到右图的是( C )
4．如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是( D )
A．S△ABC＝S△A′B′C′ B．AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
C．AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D．S△ACO＝S△A′B′O
,(第4题图)) ,(第5题图)) ,(第6题图))
5．如图，Rt△ABC向右翻滚，下列说法正确的有( C )
(1)①→②是旋转 (2)①→③是平移 (3)①→④是平移 (4)②→③旋转
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是( C )
A．(0，0) B．(1，0) C．(1，－1) D．(2.5，0.5)
7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是( C )
A．50° B．60° C．70° D．80°
,(第7题图)) ,(第8题图)) ,(第9题图)) ,(第10题图))
8．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，CE＝DF，AE，BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③△ABF与△DAE成中心对称．其中，正确的结论有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，O是等边三角形的旋转中心，∠EOF＝120°，∠EOF绕点O进行旋转，在旋转过程中，OE与OF与△ABC的边构成的图形的面积( A )
A．等于△ABC面积的 B．等于△ABC面积的
C．等于△ABC面积的 D．不能确定
10．如图，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中线段DF的长与DB相等，将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论．
甲：线段AF与线段CD的长度总相等；
乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变．
那么，你认为( A )
A．甲、乙都对 B．乙对甲不对 C．甲对乙不对 D．甲、乙都不对
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．请写出三个中心对称的汉字申、日、一；请写出三个中心对称的字母H、I、X(答案不唯一)．
12．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图2)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°．
,(第12题图)) ,(第13题图))
13．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′.若点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为(－b，a)．
14．已知点A(－2m＋4，3m－1)关于原点的对称点位于第四象限，则m的取值范围是m>2．
15．如图，将图形(1)以点O为旋转中心，每次顺时针旋转90°，则第2 019次旋转后的图形是(4)．(在下列各图中选填正确图形的序号即可)
16．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为6，∠APB＝150°．
,(第16题图)) ,(第17题图)) ,(第18题图))
17．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H. 那么DH的长为．
18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点， 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF＝AP；⑤S四边形AEPF＝S△ABC.上述结论中始终正确的序号有①②③⑤.
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，下列四个图形中，哪些图形中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后所形成的？如果是，请指出旋转中心．
解：B，D中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90°后所形成的，B图中的旋转中心为点P，D图中的旋转中心为点Q. 如图．
20．(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为点P′.
(1)画出旋转后的三角形；
(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．
解：(1)旋转后的△ACP′如图所示．(2)如图，连接PP′.由旋转可得，∠PAP′＝∠BAC＝50°，AP＝AP′，△ABP≌△ACP′，∴∠APP′＝∠AP′P＝65°，∠AP′C＝∠APB，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠B＝65°，又∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝95°＝∠AP′C，∴∠PP′C＝∠AP′C－∠AP′P＝95°－65°＝30°.
21．(10分)如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD.
(1)求证：OC＝AD；
(2)求OC的长．
解：(1)证明：∵△AOB是边长为2的等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∠AOB＝∠BAO＝∠OBA＝60°，又△DCB是由△AOB旋转得到的，∴△DCB也是边长为2的等边三角形，∴∠OBA＝∠CBD＝60°，BC＝BD, 又∠OBC＝∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC＝∠ABD，在△OBC和△ABD中，∴△OBC≌△ABD(SAS), ∴OC＝AD.(2)∵△AOB与△BCD是边长为2的等边三角形，∴BO＝BC，∠OBA＝∠DBC＝∠BCD＝60°，∴∠OBC＝120°，∴∠BOC＝∠BCO＝30°，∴∠OCD＝90°.∵OD＝4，CD＝2，∴在Rt△OCD中，由勾股定理，得OC＝＝＝2.
22．(12分)如图，在网格中有一个四边形图案OABC.
(1)请你分别画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A1B1C1，关于点O对称的△A2B2C2以及绕点O逆时针旋转90°得到的△A3B3C3，并将它们涂黑；
(2)若网格中每个小正方形的边长为1，求四边形AA1A2A3的面积；
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
解：
(1)如图，正确画出图案．(2)如图，S四边形AA1A2A3＝S四边形BB1B2B3－4S△ABC＝(3＋5)2－4××3×5＝34. 故四边形AA1A2A3的面积为34.(3)设AB＝c，BC＝a，AC＝b，由图可知(a＋c)2＝4×ac＋b2，整理，得c2＋a2＝b2，即AB2＋BC2＝AC2.这就是著名的勾股定理．
23．(12分)如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A，B，C的坐标分别为(－3，－1)，(－3，－3)，(－3＋，－2)．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A1B1C1，再以x轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△A2B2C2.
(1)直接写出点C1，C2的坐标．
(2)能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？若能，请直接写出所旋转的度数；若不能，请说明理由．
(3)设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2，△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变．
①当△ABC向上平移多少个单位长度时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合？并直接写出此时点C的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°(0≤α≤180)，使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少？点C的坐标又是什么？
解：(1)点C1，C2的坐标分别为(3－，－2)，(3－，2)．(2)能通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置，所旋转的度数为180°.(3)①当△ABC向上平移2个单位长度时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为(－3＋，0)(如图1)；②当α＝180时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为(－3－，0)(如图2)．
24．(14分)感知：如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)．连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转90°，得到DE，连接BE，过点D作DF∥AC交AB于点F，可知△ADF≌△EDB，则∠ABE的大小为________．
探究：如图②，在△ABC中，∠C＝α(0°＜α＜90°)，AC＝BC，D是边BC上一点(点D不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕着点D逆时针旋转α，得到DE，连接BE，求证：∠ABE＝α.
应用：设图②中的α＝60°，AC＝2.当△ABE是直角三角形时，AE＝________．
解：感知：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠AFD＝∠FDB＋∠FBD＝135°，∵△ADF≌△EDB，∴∠DBE＝∠AFD＝135°，∴∠ABE＝135°－45°＝90°.故答案为：90°.探究：证明：如图，
过点D作DF∥AC交AB于点F，则∠DFB＝∠CAB，∠FDB＝∠C＝α，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠DFB＝∠DBF，∴DF＝DB，由旋转变换的性质可知，∠ADF＝∠EDB，在△ADF和△EDB中，∴△ADF≌△EDB，∴∠DBE＝∠AFD, ∴∠ABE＝∠C＝α.应用：∵α＝60°，CA＝CB，∴△ABC是等边三角形，∴BA＝AC＝2，∵∠ABE＝∠C＝60°，∠AEB＝90°，∴AE＝.
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