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第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析振型方程振型方程（equation of mode shape）或幅值方程幅值方程频率方程频率方程（equation of frequency）或称为特征方程特征方程第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由一个特解对应一种振动形式。按每一特解形式作自由振动的特点是：振动的特点是：1 1）体系上所有质量的振动频率相同。）体系上所有质量的振动频率相同。2 2）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，）在振动的任一时刻，各质量位移的比值保持不变，即振动形状保持不变，将此振动形式称作即振动形状保持不变，将此振动形式称作主振型主振型，简称为，简称为振型振型（mode shapemode shape）。）。第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析运动方程的通解运动方程的通解 四个积分常数A、B、1和2，可由运动的初始条件 、（）确定。第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8.5.2 频率和振型频率和振型第一频率或基本频率第一频率或基本频率第二频率第二频率基本振型或第一振型基本振型或第一振型第二振型第二振型体系的频率和振型是体系的体系的频率和振型是体系的固有属性固有属性（natural property），），与外界因素无关。与外界因素无关。振型向量量第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析 柔度形式的方程柔度形式的方程第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析特例：特例：刚度形式刚度形式柔度形式柔度形式第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析例例题题 8-15 试试求求图图8-32(a)所所示示两两层层刚刚架架的的自自振振频频率率和和振振型型。，已已知知横横梁梁为为刚刚性性，各各立立柱柱的的抗抗弯弯刚刚度度，立立柱柱的的质质量量忽忽略略不不计，横梁的质量计，横梁的质量m1=m2=5000 kg，每层的高度每层的高度5 m。解：解：两个自由度体系，设两个自由度体系，设m1的位移为的位移为y1，m2的位移为的位移为y2第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析1.28091第二主振型第二主振型10.7808第一主振型第一主振型第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析例例题题 8-16 图图8-33(a)所所示示简简支支梁梁在在三三分分点点处处有有两两个个相相等等的的集集中中质质量量，不不计计梁梁本本身身的的自自重重，梁梁的的抗抗弯弯刚刚度度为为常常数数。试试用柔度法求其自振频率和振型。用柔度法求其自振频率和振型。解：解：不计轴向变形，不计轴向变形，本例有两个自由度，设本例有两个自由度，设1 1、2 2两处质量的竖向位移分别两处质量的竖向位移分别为为y y1 1和和y y2 2。第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第一主振型第一主振型(正对称正对称)第二主振型第二主振型(反对称反对称)利用对称性利用对称性对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度对称两自由度体系的自由振动可通过求解两个单自由度问题来解决问题来解决.正对称正对称反对称反对称第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8.5.3 振型的正交性及其应用振型的正交性及其应用两两个个自自由由度度体体系系有有两两个个振振型型向向量量 ，存存在在着着对对质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵的的正正交交性性（orthogonality）：对对应应不不同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的同自振频率的振型向量对质量矩阵和刚度矩阵都是正交的。证明：证明：第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析关于振型正交性的物理解释关于振型正交性的物理解释第第i 阶阶振振型型产产生生的的惯惯性性力力在在第第j 阶阶振振型型的的位位移移上上所所做做的的虚虚功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功功为零，也即由某振型产生的惯性力在非自身振型上不做功第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算3）振型正交性的利用振型正交性的利用（1）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。）可用振型的正交性来检验所求得的振型是否正确。例题例题 8-17 试检验例题试检验例题 8-15所求得振型的正确性。所求得振型的正确性。解：解：由此证明，所得振型具有较好的精度，是正确的。由此证明，所得振型具有较好的精度，是正确的。8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（2）已知振型的情形下，可用以计算该振型对应的自）已知振型的情形下，可用以计算该振型对应的自振频率。振频率。证明：证明：称为第第i 振型的广义质量振型的广义质量称为第第i 振型的广义刚度振型的广义刚度小结小结:第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（3）位移的分解位移的分解任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将任意一个给定位移向量，利用振型的正交性，均可将其分解成其分解成2个振型的线性组合。个振型的线性组合。位移向量按振型的正则坐标变换位移向量按振型的正则坐标变换（normal coordinates transform），），组合系数组合系数 称为位移向量的称为位移向量的广义坐标广义坐标（generalized coordinates或称或称正则坐标正则坐标）第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（4）将两自由度体系变成单自由度求解）将两自由度体系变成单自由度求解+=0两边同时左乘两边同时左乘第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8.5.4 简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼的受迫振动分析幅值方程幅值方程运动方程运动方程特解（稳态解）特解（稳态解）+A第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算共振分析共振分析在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系在两个自由度的振动中，当外界干扰力的频率等于体系的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共的任意一阶自振频率时，都会出现共振，即体系存在两个共振点振点。8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算特例分析特例分析8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算吸振原理吸振原理2m128.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析m1EI1=m2k1k2EI1=hh解解:(1)求刚度系数求刚度系数(2)求位移幅值求位移幅值例题例题 8-18 8-18 已知已知 。试求：一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。试求：一、二层横梁的动位移幅值及柱子动弯矩幅值图。由已知条件知由已知条件知:8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（3）计算惯性力幅值）计算惯性力幅值（4 4）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，）计算内力：将荷载幅值和惯性力幅值作用在结构上，按静力进行计算按静力进行计算8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析12l/9图图12l/9图图m1m2l/3l/3l/3已知：已知：EI=常数，常数，解：解：(1)(1)求柔度系数和自由项求柔度系数和自由项F2Fl/9MP图图(2)(2)振幅振幅8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析（3 3）动弯矩幅值）动弯矩幅值8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析F动弯矩幅值图动弯矩幅值图F荷载幅值的静弯矩图荷载幅值的静弯矩图0.952F0.342F0.611F动剪力幅值图动剪力幅值图2F/3F/3荷载幅值的静剪力图荷载幅值的静剪力图8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算（4 4）动力系数）动力系数多自由度体系没有统一的动力系数多自由度体系没有统一的动力系数位移放大系数：位移放大系数：弯矩放大系数：弯矩放大系数：8.5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、振型正交性、任意位移向量可按正则坐标（振型）分解、两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于两自由度体系可以化为两个单自由度求解等结论同样适用于多自由度体系。多自由度体系。8.6.1 无阻尼自由振动分析无阻尼自由振动分析n个自由度体系无阻尼自由振动方程为个自由度体系无阻尼自由振动方程为振型或幅值方程为振型或幅值方程为频率方程为频率方程为n个主振型个主振型对应的频率对应的频率通解为通解为第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析例题例题 8-20 8-20 已知条件如图已知条件如图8-39所示，试求结构的频率和振型。所示，试求结构的频率和振型。解解：(1)(1)频率计算频率计算第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析(2)(2)振型振型计算计算（归一化）（归一化）第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析例例题题 8-218-21 已已知知例例题题8-20所所示示体体系系的的第第一一、二二两两振振型型分分别别为为；。试试求求结构的频率。结构的频率。解：解：(1)求第三振型求第三振型设设第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析(2)求广义质量求广义质量(3)求广义刚度求广义刚度(4)求各振型频率求各振型频率（注意：）第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析例例题题 8-228-22 设设有有一一位位移移向向量量 ，试试用用例例题题8-208-20的振型向量将其进行分解。的振型向量将其进行分解。解：解：广义坐标广义坐标第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6.2 无阻尼受迫振动分析无阻尼受迫振动分析振型分解法振型分解法关关于于正正则则坐坐标标 n n个个独独立立运运动动方方程程，解解答可由单自由度的杜哈梅积分给出。答可由单自由度的杜哈梅积分给出。8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算振振型型分分解解法法（mode analysis method）或振振型型叠叠加加法法（mode superposition method）。主主要要核核心心是是：把把位位移移向向量量按按振振型型进进行行分分解解，利利用用振振型型的的正正交交性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程性，从而得到相互独立的关于正则坐标的单自由度运动方程。8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算振型分解法按以下步骤进行：振型分解法按以下步骤进行：（1 1）求体系的）求体系的自振频率自振频率和对应的和对应的振型振型。（2 2）计算）计算广义质量广义质量和和广义荷载广义荷载。（3 3）杜哈梅（）杜哈梅（DuhamelDuhamel）积分积分求解正则坐标求解正则坐标（4 4）计算体系的）计算体系的位移响应位移响应向量向量（5 5）如果是非零初始条件，则确定）如果是非零初始条件，则确定积分常数积分常数。（6 6）由体系的位移响应进一步求）由体系的位移响应进一步求其他动力响应其他动力响应。8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算 例题例题 8-23 8-23 分析图分析图8-40(a)所示静止的结构，在质点所示静止的结构，在质点2处处受突加荷载作用时的位移响应。已知受突加荷载作用时的位移响应。已知 ,荷载为荷载为 ，EI=常数。常数。解：解：(1)自振频率和振型自振频率和振型(2)计算广义质量计算广义质量8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(3)计算广义荷载计算广义荷载(4)正则坐标的解答（杜哈梅积分）为正则坐标的解答（杜哈梅积分）为(5)两个自由度的位移向量解答两个自由度的位移向量解答8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算注注意意：动动力力位位移移一一般般主主要要由由前前几几阶阶较较低低频频率率的的振振型型组组成成，可可只只取取少少数数几几个个振振型型进进行行计计算算。在在求求位位移移的的幅幅值值时时，不不能能简简单单地由各振型幅值叠加。地由各振型幅值叠加。8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.6.3 有阻尼受迫振动分析有阻尼受迫振动分析1多自由度体系的阻尼问题多自由度体系的阻尼问题 C为阻阻尼尼矩矩阵阵（damping matrix）。在在粘粘滞滞阻阻尼尼假假设设下下，阻阻尼尼矩矩阵阵元元素素的的物物理理意意义义为为：第第个个位位移移方方向向有有单单位位速速度度（其其他他质质量量位位移移方方向向的的速速度度为为零零）所所引引起起的的第第个个位位移移方方向向的的 阻阻 尼尼 力力，称称 为为 阻阻 尼尼 影影 响响 系系 数数（damping influence coefficient）比比例例阻阻尼尼（proportion damping也称Rayleigh阻阻尼尼），其其表表达式为达式为第阶振型的广义阻尼系数第阶振型的广义阻尼系数(generalized damping coefficient)8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算第第 j 阶振型的广义阻尼比阶振型的广义阻尼比(generalized damping ratio)钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构实实验验测测得得的的阻阻尼尼比比来来计计算算a、b的值的值8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算2有阻尼受迫振动分析有阻尼受迫振动分析8.6 多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法能能量量法法求求基基本本频频率率和和迭迭代代法法求求前前几几阶阶较较低低的的频频率率及及其其相相应的振型应的振型8.7.1 能量法求基频能量法求基频变形能+动能=const.1单自由度体系单自由度体系能量法能量法（energy method）或称为瑞利法瑞利法(Rayleigh method第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法 2.多自由度体系多自由度体系第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法例例题题 8-24 用用能能量量法法求求两两层层刚刚架架的的基基本本频频率率。图图中中刚刚架架各各立立柱柱的的抗抗弯弯刚刚度度 ，横横梁梁的的质质量量m1、m2均均为为5000 kg，立柱的质量忽略不计，每层的高度立柱的质量忽略不计，每层的高度 。解法一：解法一：在质量在质量m1上沿运动方向作用一个单位力上沿运动方向作用一个单位力基本频率为10.050(1/s),其误差为第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法解法二：解法二：将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，将运动质量对应的重量沿振动方向作用在结构上，误差仅为误差仅为第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法8.7.2 迭代法求频率和振型迭代法求频率和振型动动 力力 矩矩 阵阵（dynamic matrix）任任意意假假设设一一个个经经过过标标准准化化（例例如如取取第第一一个个元元素素为为1 1）的的初初始始迭代向量，将其按振型分解可得迭代向量，将其按振型分解可得标准化标准化第一次迭代第一次迭代第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法第二次迭代第二次迭代第第m m次迭代次迭代第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法当当m足够大时足够大时第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：用迭代法可求得第一频率和振型，具体的计算的步骤为：（1 1）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵；）计算并形成体系的质量和柔度（或刚度）矩阵；（2 2）由由柔柔度度（或或刚刚度度）和和质质量量矩矩阵阵生生成成体体系系动动力力矩矩阵阵D；（3 3）假设第一振型的初始迭代向量）假设第一振型的初始迭代向量A0 ；8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法（4 4）由由 用用 求求迭迭代代值值并并进进行行标标准准化化（例例如如取取第一个元素为第一个元素为1 1），得），得 ；（6 6）由）由 计算第一频率，计算第一频率，即为第一振型。即为第一振型。（5 5）用用 代代替替 ，重重复复（4 4）进进行行反反复复迭迭代代，直直到到满足精度要求为止满足精度要求为止;第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算迭代结果总是收敛于第一振型。迭代结果总是收敛于第一振型。如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分，如果初始迭代向量中，不包含第一主振型成分，结果收敛于第二主振型。，结果收敛于第二主振型。如果如果 ，结果将收敛于第三主振型。，结果将收敛于第三主振型。要要想想求求出出体体系系的的高高阶阶振振型型和和频频率率，就就必必须须在在所所假假设设的的振振型型迭迭代代向向量量中中将将低低阶阶主主振振型型的的分分量量消消除除。这这个个步步骤骤称称为为清清型型或或滤型滤型。8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法2.迭代法求高阶振型和频率迭代法求高阶振型和频率第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法一阶滤型矩阵一阶滤型矩阵为为了了避避免免在在迭迭代代的的过过程程中中由由于于舍舍入入误误差差而而引引入入第第一一主主振振型型的的分分量量，必必须须在在每每次次迭迭代代前前都都重重复复进进行行上上述述的的滤滤型型过过程程，以保证迭代过程能收敛于第二主振型。以保证迭代过程能收敛于第二主振型。第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算经经过过滤滤型型后后的的求求第第二二主主振振型型所所需需用的动力矩阵。用的动力矩阵。8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法3.迭代法算例迭代法算例例例题题 8-25 试试用用迭迭代代法法求求图图8-42(8-42(a)a)所所示示简简支支梁梁的的第第一一频频率和振型。率和振型。解：解：第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算求第二主振型所需的动力矩阵如下：求第二主振型所需的动力矩阵如下：8.7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法8.7 结论与讨论结论与讨论8.8.1 结论结论(1)(1)我我国国是是地地震震多多发发国国家家，在在当当前前综综合合国国力力条条件件下下，对对一一般般结结构构的的抗抗震震设设计计原原则则为为“小小震震不不坏坏、中中震震可可修修、大大震震不不倒倒”，为此，为此掌握结构动力学基本知识十分重要掌握结构动力学基本知识十分重要。(2)(2)随随时时间间变变化化的的荷荷载载作作用用是是否否作作动动力力学学问问题题分分析析，要要看看结结构构在在这这种种荷荷载载作作用用下下所所产产生生的的惯惯性性力力大大小小。对对于于不不同同结结构受同一荷载作用，结论可能是不同的。构受同一荷载作用，结论可能是不同的。(3)(3)实实际际结结构构都都是是无无限限自自由由度度的的，一一般般可可用用集集中中质质量量法法将其简化为有限自由度问题进行分析。将其简化为有限自由度问题进行分析。(4)(4)体体系系的的自自由由度度数数目目既既和和体体系系的的质质量量数数目目有有关关，又又不不完完全全取取决决于于质质量量数数目目，自自由由度度还还和和体体系系的的可可能能变变形形状状态态有有关关，因此因此要根据具体问题要根据具体问题“按自由度数定义按自由度数定义”分析确定分析确定。第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(5)(5)建立体系运动方程的方法很多，最常用的是建立体系运动方程的方法很多，最常用的是动静法动静法，这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻这是将随时间变化的运动方程建立问题，在考虑惯性力和阻尼力后转化为尼力后转化为瞬时平衡问题瞬时平衡问题。(6)(6)直直接接平平衡衡法法有有两两种种建建立立方方程程的的方方法法：刚刚度度法法和和柔柔度度法法。但但都都是是根根据据达达朗朗伯伯尔尔原原理理和和所所采采用用的的阻阻尼尼假假设设在在体体系系上上加加惯惯性性力力和和阻阻尼尼力力。刚刚度度法法是是考考虑虑质质量量各各自自由由度度方方向向的的平平衡衡；柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。柔度法是建立各自由度方向位移的协调条件。(7)(7)动动力力自自由由度度数数是是确确定定质质量量空空间间位位置置的的独独立立坐坐标标（参参数数）个个数数，它它和和结结构构超超静静定定次次数数或或独独立立位位移移个个数数没没有有关关系系。列列运运动动方方程程时时的的刚刚度度系系数数和和柔柔度度系系数数和和解解超超静静定定问问题题时时的的对对应系数之间也没有关系。应系数之间也没有关系。(8)(8)集集中中质质量量多多自自由由度度体体系系的的质质量量矩矩阵阵是是对对角角矩矩阵阵，其其元元素素为为各各自自由由度度方方向向的的总总质质量量。刚刚度度矩矩阵阵元元素素为为“仅仅j j自自由由度度发发生生单单位位位位移移时时，i i自自由由度度方方向向所所需需施施加加的的（附附加加）约约束束反力反力”，根据反力互等定理，根据反力互等定理刚度矩阵是对称的刚度矩阵是对称的。8.7 结论与讨论结论与讨论第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(9)等等效效干干扰扰力力向向量量的的元元素素可可由由“刚刚度度矩矩阵阵乘乘荷荷载载位位移移向向量量计计算算”，也也可可由由约约束束全全部部自自由由度度的的位位移移，求求动动荷荷载载下下附附加加约约束束上上的的反反力力来来组组成成。用用后后一一方方案案时时要要注注意意反反力力反反向向才才是是等效干扰力。等效干扰力。(10)单单自自由由度度体体系系的的频频率率、周周期期的的计计算算公公式式；振振幅幅、相相位位的的算算式式和和各各种种力力的的平平衡衡关关系系；简简谐谐荷荷载载下下纯纯受受迫迫振振动动的的动动力力放放大大系系数数与与频频率率比比、阻阻尼尼比比间间的的关关系系等等等等。这这些些基基本本概概念念必须深刻理解、熟练掌握。必须深刻理解、熟练掌握。(11)利利用用使使结结构构产产生生初初位位移移或或初初速速度度来来获获得得自自由由振振动动记记录录，从从而而可可用用式式（8-31a）由由实实测测得得到到阻阻尼尼比比。这这是是最最常常用用方方法法之之一一。由由于于阻阻尼尼比比一一般般很很小小，它它对对频频率率、周周期期的的影影响响一一般可忽略。般可忽略。(12)在在共共振振区区，阻阻尼尼的的作作用用是是不不可可忽忽略略的的。从从能能量量角角度度看看，阻阻尼尼使使能能量量耗耗散散，当当不不希希望望有有能能量量耗耗散散时时应应减减少少阻阻尼尼，而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。而当希望尽可能使输入结构的能量减少时，应增大阻尼。8.7 结论与讨论结论与讨论第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(13)对对于于线线性性体体系系利利用用冲冲量量叠叠加加建建立立了了Duhamel积积分分公公式式，利利用用Duhamel积积分分可可获获得得结结构构在在各各种种动动荷荷载载作作用用下下的的解解析或数值响应。析或数值响应。(14)利利用用Fourier 级级数数展展开开，可可将将任任意意周周期期荷荷载载变变成成常常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。量荷载和一系列简谐荷载的叠加。(15)对对于于各各种种短短期期荷荷载载作作用用，可可以以不不考考虑虑阻阻尼尼的的影影响响，关键是要分时段进行分析。关键是要分时段进行分析。(16)不不管管运运动动方方程程用用那那种种方方法法建建立立，多多自自由由度度体体系系自自由由振振动动最最终终归归结结为为求求解解频频率率和和振振型型方方程程，从从数数学学上上说说属属矩矩阵阵特特征值问题。征值问题。(17)多多自自由由度度体体系系的的自自振振频频率率取取决决于于结结构构的的刚刚度度矩矩阵阵（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为：（或柔度矩阵）和质量矩阵，频率方程为：8.7 结论与讨论结论与讨论第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(18)(18)一一般般工工程程结结构构作作多多自自由由度度无无阻阻尼尼自自由由振振动动分分析析时时，其其自自振振频频率率个个数数等等于于自自由由度度数数，且且各各不不相相等等。其其中中最最小小频频率率称称为为基基本本频频率率，简简称称为为基基频频。全全部部频频率率由由小小到到大大排排列列的的序序列列，称称为为体体系系的的频频率率谱谱。如如果果相相邻邻频频率率间间隔隔较较小小，称称为为密密集集型型频频谱谱。否否则则，称称为为稀稀疏疏型型频频率率。不不同同频频率率谱谱的的结结构构受受动动荷荷载载作作用的响应是不同的，频率谱是结构的重要动力特性之一。用的响应是不同的，频率谱是结构的重要动力特性之一。(19)(19)将将频频率率代代入入振振型型方方程程，可可求求得得每每一一个个自自振振频频率率对对应应的的振振型型向向量量，它它反反映映了了结结构构以以该该自自振振频频率率振振动动时时所所固固有有的的变变形形形形态态。振振型型向向量量可可用用令令向向量量中中某某个个元元素素为为一一给给定定值值（一一般取为般取为1 1）进行）进行规格化规格化。(20)(20)不不同同自自振振频频率率的的振振型型向向量量对对质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵都是都是正交正交的。的。8.7 结论与讨论结论与讨论阻阻尼尼是是一一个个复复杂杂的的问问题题，为为简简化化一一般般结结构构的的动动力力分分析析，常常用用RayleighRayleigh比比例例阻阻尼尼，也也即即阻阻尼尼矩矩阵阵 ，显显然然这这时振型对阻尼也将是正交的。时振型对阻尼也将是正交的。其其中中a、b由由已已知知的的任任意意两两频频率率及及对对应应的的阻阻尼尼比比确确定定，对对钢钢筋筋混混凝凝土土结结构构，一一般般假假设设第第一一和和第第二二振振型型阻阻尼尼比比都都为为0.050.05，由此可求得各振型的阻尼比。，由此可求得各振型的阻尼比。(21)(21)多多自自由由度度体体系系可可产产生生多多种种频频率率下下的的共共振振。简简谐谐荷荷载载作作用用下下非非共共振振的的稳稳态态位位移移响响应应，可可通通过过求求解解如如下下幅幅值值方方程程得到得到式式中中，为为等等效效干干扰扰力力向向量量的的幅幅值值。实实质质为为转转换换成成线线性代数方程求解问题。性代数方程求解问题。8.7 结论与讨论结论与讨论第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(22)(22)任任意意一一个个n 维维已已知知向向量量，均均可可按按自自由由度度体体系系的的振振型型展展开开。因因此此，多多自自由由度度的的任任意意荷荷载载作作用用下下的的强强迫迫振振动动，在在假假设设体体系系阻阻尼尼为为比比例例阻阻尼尼的的条条件件下下，可可通通过过振振型型叠叠加加法法（或或称称振振型型分分解解法法），作作正正则则坐坐标标变变换换将将多多自自由由度度体体系系耦耦合合的的运运动动微微分分方方程程组组转转换换成成个个独独立立正正则则坐坐标标的的单单自自由由度度运运动动方方程程，利利用用单单自自由由度度问问题题的的杜杜哈哈梅梅积积分分，在在获获得得正正则则坐坐标标解解答答后后，即即可利用上式得到受迫振动的响应。可利用上式得到受迫振动的响应。(23)(23)利利用用吸吸振振器器原原理理，在在主主体体结结构构上上附附加加调调频频质质量量阻阻尼尼器器或或调调频频液液体体阻阻尼尼器器，使使阻阻尼尼器器的的频频率率接接近近主主体体结结构构的的基基频频，可达到减少主体结构振动的作用。可达到减少主体结构振动的作用。8.7 结论与讨论结论与讨论第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算(24)(24)对对无无阻阻尼尼体体系系，根根据据能能量量守守恒恒，可可用用能能量量法法求求体体系系自自振振频频率率，一一般般用用以以求求基基频频。当当将将运运动动质质量量的的重重量量沿沿自自由由度度方方向向作作用用，以以其其所所产产生生的的静静位位移移作作为为第第一一振振型型的的近近似似值值，按按能能量量法法计计算算可可获获得得相相当当精精确确的的结结果果。能能量量法法结结果果是是精精确确解解的的上限。上限。(25)(25)对对频频率率稀稀疏疏型型结结构构，用用迭迭代代法法可可方方便便地地求求得得前前几几阶阶振振型型和和频频率率。求求第第一一振振型型时时的的动动力力矩矩阵阵为为，不不管管初初始始假假设设的的近近似似振振型型如如何何，也也不不管管计计算算过过程程中中是是否否有有误误，均均能能收收敛敛与与第第一一振振型型和和频频率率。当当要要求求频频谱谱前前几几阶阶频频率率和和振振型型时时，得得用用考考虑虑滤型的动力矩阵。滤型的动力矩阵。8.7 结论与讨论结论与讨论第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算8.7 结论与讨论结论与讨论8.8.2 讨论讨论（1 1）当当质质量量集集中中于于杆杆系系结结构构结结点点时时，如如果果考考虑虑杆杆件件的的轴向变形，集中质量的数目和体系的自由度数有何关系。轴向变形，集中质量的数目和体系的自由度数有何关系。（2 2）对对于于经经受受地地震震地地面面运运动动作作用用的的结结构构，当当不不考考虑虑地地面面运运动动转转动动分分量量时时，以以质质量量相相对对地地面面的的运运动动参参数数作作为为体体系系的的自自由由度度，根根据据达达朗朗伯伯尔尔原原理理加加惯惯性性力力时时考考虑虑地地面面的的牵牵连连运运动动（惯性力由绝对加速度引起）即可（惯性力由绝对加速度引起）即可（3 3）在在给给定定动动荷荷载载的的条条件件下下，单单自自由由度度体体系系的的最最大大响响应应只只和和周周期期、阻阻尼尼比比有有关关。对对不不同同的的阻阻尼尼比比做做出出最最大大响响应应随随周周期期变变化化的的曲曲线线，这这些些曲曲线线称称为为体体系系在在给给定定荷荷载载作作用用下下的的“反反应应谱谱”。位位移移的的最最大大响响应应曲曲线线叫叫位位移移反反应应谱谱、速速度度的的叫叫速速度度反反应应谱谱、加加速速度度的的叫叫加加速速度度反反应应谱谱。这这一一概概念念是是结结构构抗抗震震课程的基础。课程的基础。8.7 结论与讨论结论与讨论（4 4）结结构构刚刚度度较较小小的的顶顶部部附附属属部部分分鞭鞭击击效效应应（鞭鞭梢梢效效应）。应）。（5 5）其他正交关系）其他正交关系（6 6）可可取取少少量量低低阶阶振振型型结结果果的的叠叠加加作作近近似似解解，使使工工作作量减少。量减少。（7 7）人人体体和和结结构构的的共共同同作作用用结结果果，将将使使结结构构的的刚刚度度和和阻阻尼尼都都发发生生变变化化，使使人人-结结构构体体系系的的频频率率比比原原结结构构的的频频率率增增高。高。第第1 15 5章章 结构的动力计算结构的动力计算第第8 8章章 结构动力计算结构动力计算