3不变因子.pptx

2 2 矩阵在矩阵在矩阵在矩阵在初等变换下的初等变换下的初等变换下的初等变换下的标准形标准形标准形标准形3 3 不变因子不变因子不变因子不变因子1 1 矩阵矩阵矩阵矩阵4 4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件矩阵相似的条件矩阵相似的条件6 6 若尔当若尔当若尔当若尔当(Jordan)(Jordan)标准形标准形标准形标准形 的理论推导的理论推导的理论推导的理论推导5 5 初等因子初等因子初等因子初等因子第八章第八章 矩阵矩阵 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子一、行列式因子一、行列式因子二、二、不变因子不变因子8.3 不变因子不变因子 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子1、定义定义一、一、行列式因子行列式因子注意注意级行列式因子（级行列式因子（determinant divisor）.的首项系数为的首项系数为1的最大公因式的最大公因式 称为称为 的的 中必有非零的中必有非零的 级子式，级子式，中全部中全部 级子式级子式设矩阵设矩阵 的秩为的秩为 ，对于正整数，对于正整数 ，若秩若秩 ，则，则 有有 个行列式因子个行列式因子.8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子各级行列式因子各级行列式因子.（1）（定理（定理（定理（定理3 3 3 3）等价矩阵具有相同的秩与相同的等价矩阵具有相同的秩与相同的（即初等变换不改变（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）矩阵的秩与行列式因子）2、有关结论有关结论 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子证：只需证，证：只需证，矩阵经过一次初等变换，秩与行矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的列式因子是不变的设设 经过一次初等变换变成经过一次初等变换变成 ，与与分别是分别是 与与 的的 k 级行列式因子级行列式因子下证下证 ，分三种情形：，分三种情形：8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子此时此时 的每个的每个 级子式级子式或者等于或者等于 的某个的某个 级子式，级子式，或者与或者与 的某个的某个因此，因此，是是 的的 级子式的公因式级子式的公因式.1 1）从而从而 级子式反号，级子式反号，8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子 2）或者等于或者等于 的某个的某个 级子式，级子式，此时此时 的每个的每个 级子式级子式因此，因此，是是 的的 级子式的公因式级子式的公因式.从而从而 或者等于或者等于 级子式的级子式的 c 倍倍.的某个的某个 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子此时此时 中包含中包含 两行的和不包含两行的和不包含 3）级子式与级子式与 中对应的中对应的 级子式相等；级子式相等；中包含中包含 行但不包含行但不包含 行的行的 级子式，级子式，按按 行分成行分成 的一个的一个 级子式与另一个级子式与另一个 级子式级子式的的 倍的和，倍的和，即为即为 的两个的两个 级子式的组合，级子式的组合，行的那些行的那些 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子从而从而 因此因此 是是 的的 级子式的公因式，级子式的公因式，同理可得，同理可得，8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子（2）若若 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且则则 的的 级行列式因子为级行列式因子为 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子证：证：与与 等价，等价，完全相同，则这个完全相同，则这个 级子式为零级子式为零.在在 中，若一个中，若一个 级子式包含的行、列指标不级子式包含的行、列指标不与与 有相同的秩与行列式因子有相同的秩与行列式因子.级子式级子式所以只需考虑由所以只需考虑由 行与行与 列组成的列组成的即即 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子而这种而这种 级子式的最大公因式为级子式的最大公因式为所以，所以，的的 级行列式因子级行列式因子 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子证：设证：设 矩阵矩阵 的标准形为的标准形为（3）（定理（定理（定理（定理4 4 4 4）矩阵的标准形是唯一的矩阵的标准形是唯一的.其中其中 为首为首1多项式，且多项式，且 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子于是于是 即由即由 的行列式因子所唯一确定的行列式因子所唯一确定.由（由（2），），的的 级行列式因子为级行列式因子为所以所以 的标准形唯一的标准形唯一.8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子（4）秩为秩为 的的 矩阵的矩阵的 个行列式因子满足：个行列式因子满足：8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子1、定义定义二、二、不变因子不变因子 矩阵矩阵 的标准形的标准形称为称为 的的不变因子（不变因子（invariant divisor）.的主对角线上的非零元素的主对角线上的非零元素 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子（1）（定理（定理（定理（定理5 5 5 5）矩阵矩阵 、等价等价、有相同的不变因子有相同的不变因子.2、有关结论有关结论、有相同的行列式因子有相同的行列式因子.8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子有相同的标准形，有相同的标准形，证：必要性显然证：必要性显然.只证充分性只证充分性.所以所以 与与 等价等价.若若 与与 有相同的行列式因子，则有相同的行列式因子，则与与 也有相同的不变因子，也有相同的不变因子，从而从而 与与 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子则则 ，为一非零常数为一非零常数.的第的第n个行列式因子个行列式因子 证：若证：若 可逆，可逆，因子全部为因子全部为1，的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵 ，即，即与与 等价等价.（2）若若 的的 矩阵矩阵 可逆，则可逆，则 的不变的不变 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子又又 的的n个行列式因子满足个行列式因子满足:从而不变因子从而不变因子 所以，所以，的标准形为的标准形为 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子注意注意 可逆可逆 与与 等价等价.8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子矩阵的乘积矩阵的乘积.（3）（定理（定理（定理（定理6 6 6 6）可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等证：证：可逆可逆 与与 等价等价存在初等矩阵存在初等矩阵使使 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子存在一个存在一个 可逆矩阵可逆矩阵 与一个与一个 可逆可逆推论推论 两个两个 的的 矩阵矩阵 、等价等价 矩阵矩阵 ，使，使 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子例例1 1 求求 矩阵的不变因子矩阵的不变因子 解：解：的非零的非零1级子式为级子式为:8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子的非零的非零2级子式为级子式为:8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子又又 所以，所以，的不变因子为的不变因子为：8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子解：解：8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子又又 而而 的不变因子为的不变因子为 8.38.3 不变因子不变因子不变因子不变因子练习练习练习练习 求求 的不变因子的不变因子答案答案: