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§2-2 微分和导数的几何解释和物理解释
微分和导数的几何解释和物理解释
1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数.近代微积分是借助极限定义函数的微分和导数.如图2-4，因为比值是弦的斜率，当时，点沿曲线无限接近点，
所以曲线在点处切线的
斜率就是导数

图2-4

法线

B
T
dy
A
N

x
切线
P

O
y

Q

根据直线方程的点斜式，切线的方程
就是

其中，和为切线上流动点
的坐标.
我们可以得出下面的结论：
曲线在点处有不垂直于轴的切线，充分必要条件是函数在点可微分；当很小时，曲线接近它在点处的切线
[其中]
这就是说，在点近旁，曲线段看作直线段（切线）是合理的.
【注】 当（无穷导数）时，说明曲线在点处有垂直于轴的切线.
在点处垂直于切线的直线，称为曲线在点处的法线(图2-4).因此，当时，曲线在点处法线的斜率为（相互垂直两直线斜率的乘积等于），从而法线方程就是
(点斜式)
其中和为法线上流动点的坐标.
其次，在图2-4中，从初等数学的角度说，把“微分三角形”和“增量三角形”看作全等当然是不对的.但从变量数学的观点来说，把和看作“相等”是合理的 [因为]，所以三角形和三角形“全等”(这里说的“全等”是指对应边为等价无穷小量).于是，把弧的长度、弦长和微分三角形的斜边长都看作“相等”是合理的.因此，在微积分中就认为 或
(2-4)
我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分.
函数的微分和导数的这些几何解释，是微积分能够应用于几何学的基础.
微积分中有许多结论，最初都是根据几何图形上的启示得到的.例如图2-5，曲线在最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于0).这就是下面的重要结论(以后会多次用到它).

图2-5
O
x0

x

切线
y

定理2-1 设函数在含点的某区间内有定义.若函数在点取到最大值或最小值，即
或，
而且有导数，则.
证 不妨认为函数在点取到最大值

根据函数在点的可微性，则有(注意)

(反证法) 假若，则当足够小时，与有相同的符号.于是，当与同符号时，上式右端大于0.这与上式左端矛盾.
2.微分和导数的物理解释 当一个质点沿直线以常速匀速运动时，它在时间间隔内经过的路程为，即与成正比.因为，所以
或 (见图2-6)
假若质点沿直线的运动不是匀速的，为了更精确地研究质点的运动，就要引入质点在时刻的“瞬时速度”这个概念.例如运动着的物体的冲量和动量中的速度就是瞬时速度.

v
O
dt
v = v(t)
t
图2-7
ds
图2-6
v
O t t+dt t
v
ds

设想质点从时刻到时刻这段时间内经过的路程为，而把平均速度的极限

称为质点在时刻的瞬时速度是合理的.而当很小时，微分(看作有限量)就是质点在时间间隔内实际经过路程的近似值(图2-7).例如，从静止点自由落下的物体(图2-8)，从中学物理中知道，路程公式为
图2-9

A
t
B
t+Δt
O
t
v

D
E
ds
C

图2-8
O

s
(其中为重力加速度)

所以它在时刻的瞬时速度为

而在时刻的微分是物体在时间间隔内实际经过路程(图2-9中梯形的面积)的近似值(图2-9中矩形的面积).
根据同样的道理，若质点沿直线运动的速度为，则它运动的加速度是速度对时间的变化率，即

于是，作用到物体上的力为
(牛顿第二定律)
因此，物理学中说，作用到物体上的力是物体产生加速度的原因.
x x+Δx x
图2-10
f (x)
f (x)
图2-11
x x+dx x
O
y

dw
再如质点在常力的作用下移动的距离为，则这个常力(恒力)所做的功为. 可是，若这个力是沿某轴方向的变力(图2-10)， 而某物体在这个力的作用下沿轴移动的距离为，则当很小时，可以认为变力所做的功为(合理假设).因此，变力所做的功的微分形式就是
(图2-11).

函数的微分和导数的这些物理解释，是微积分能够应用于物理学和力学的基础.
习题和选解
1.设曲线(见图2-4)，其中有导数. 求证：
； ； ； .
2.求曲线在点的切线方程和法线方程.
答案：
3.设函数在闭区间上有定义，且存在单侧导数和.若在左
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
切线
切线
①
②
第3题图
端点取到最小值，且在右端点
取到最大值；或在左端点取
到最大值，且在右端点取到最
小值(见第3题图).证明

证 不妨认为在左端点取到
最小值，且在右端点取到最大值[第3题图①].于是，
（因为）,
（因为）.
因此，.
4.设函数在有限开区间内有导数且存在单侧导数和.若，则必有点，使.(达布定理)
证 因为函数在开区间内有导数，所以它在内连续；又存在单侧导数和，所以它在区间端点上也连续，即它在闭区间上连续.因此，它在闭区间上有最大值和最小值.可是，它在区间端点上不能同时取到最大值和最小值，否则就有(第3题的结论)，这与假设条件矛盾.这就是说，函数在开区间内至少在某点取到最大值或最小值.根据定理2-1，.
【注】若函数在某有限或无限区间内的导数，则导数在这个区间内不会改变符号.
5.设函数在有限开区间内有导数，且存在单侧导数与.若有常数，使
或
则必有点，使.(达布定理的推广)
提示：不妨认为是.作辅助函数
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