微积分发展史.doc

江西师范大学科技学院2014届学士学位毕业论文江西师范大学科技学院学士学位论文微积分发展史The development history of calculus 姓 名： 蔡兴加 学 号： 1007019071 院 系：数学与信息科学系 专 业：数学与应用数学 年 级： 2010级 指导老师： 张廷海 完成时间：2014年3月1日 学士学位论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.其中除加以标注和致谢的地方，以及法律规定允许的之外，不包含其他人已经发表或撰写完成并以某种方式公开过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而作的材料.其他同志对本研究所做的任何贡献均已在文中作了明确的说明并表示谢意.本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学科学技术学院读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学科学技术学院所有.特此声明.声明人（毕业设计（论文）作者）学号：声明人（毕业设计（论文）作者）签名：微积分发展史蔡兴加【摘要】微积分的早期萌芽为微积分的创立奠定了基础;生产实践的需要促进了微积分的创立;牛顿与莱布尼茨的出现,实现了微积分的创立，柯西的到来，使微积分变得无懈可击.【关键词】微积分 萌芽 创立 完善 启发The development history of calculusXingjiacai【Abstract】Early bud calculus calculus founded as the foundation; need to promote the production practices founded calculus; Newton and Leibniz appear to achieve the creation of calculus, Cauchys arrival, so that the micro-integral become invulnerable. 【Key words】 Calculus budding creation perfect inspired 目录一、引言1二、微积分的早期萌芽11 积分的萌芽21.1 欧多克索斯的穷竭法21.2 阿基米德的平衡法21.3 刘徽的割圆术和体积理论21.4 祖暅原理31.5 卡瓦列里的不可分量原理32 微分的萌芽32.1 费马求极大值与极小值的方法32.2 费马求切线的方法42.3 巴罗的微分三角形4三、微积分的创立41 牛顿与微积分52 莱布尼茨与微积分6四 微积分的完善7五 微积分发展史的启示8参考文献:9致 谢9一、引言 微积分是微分学和积分学的总称，微分学包括极限理论、导数理论、微分理论等等，微分学还有一元微分、多元微分，并进一步发展出常微分方程、偏微分方程等数学知识，微分学的核心思想就是以直代曲，即在微小的领域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程.微积分是近代数学发展的基础，是整个近代数学的基础，有了微积分，才有了真正意义上的近代数学. 微积分推动了数学自身的发展，开辟了数学发展的新纪元.通过微积分，数学可以描述运动的事物，描述一种变化的过程，它的创立极大地推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支.微积分成了物理学的基本语言，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答.微积分还对天文学和天体力学的发展奠定了基础.因此，可以说微积分的创立为其它学科的发展作出了巨大的贡献. 微积分不仅推动了数学自身的发展，对推动人类文明的发展更有其举足轻重的地位.微积分由于是研究变化规律的方法，因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分发生联系，都需要运用微积分的基本原理和方法.从这个意义上说，微积分的创立对人类社会的进步和人类物质文明的发展都可发挥极大的推动. 微积分的创立在数学发展史上是一个重要的转折点，它不但成为高等数学发展的基础，也成为众多相关科学发展的数学分析工具.随着现代科学的发展和各学科之间的相互交融，微积分仍将会进一步丰富和发展人们的生活，人们也会进一步将微积分和数学的理论应用于实践，从而为人类社会的进步作出更大的贡献. 基于以上微积分的创立对人类和科学发展的重大意义，我们有理由也很有必要了解其重大发展历程，微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善,汇聚了无数数学家的心血和智慧,是无数数学家长期艰苦奋斗的结晶,了解微积分发展的历史,了解数学家们发现微积分所经历的艰苦而又漫长的道路，感受其敢于探索真理的勇气和坚持不懈的奋斗精神,对于提高我们的数学素养,提升自身的数学意识，锻炼自身的思维能力,创建新的理论和科学，都是大有裨益的.二、微积分的早期萌芽 1 积分的萌芽 积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,所以先来谈谈积分学的早期萌芽，这要追溯至神秘的古希腊时代.其代表性的人物有:1.1 欧多克索斯的穷竭法 安蒂丰是古希腊对圆的求积问题做出贡献的第一人.安蒂丰提出了用圆内接正多边形无限逼近圆面积的方法来化圆为方的论断,他的论断包含希腊穷竭法的萌芽,成为古希腊“穷竭法”的始祖.欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”.欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的三分之一;两圆面积之比等于其半径平方的比;两球体积之比等于其半径立方的比等等.他将穷竭法发展成为一种严格的证明方法,只不过他没有明确的极限思想.1.2 阿基米德的平衡法 我们知道,穷竭法可以严格证明已知的命题,但却不能用来发现新的结果,这是希腊演绎数学的一个大弱点.而阿基米德却不会如此,他的数学工作是创造与论证的结合,这些在他的处理力学问题的方法中有充分的体现.在处理力学问题的方法这篇著作中,阿基米德论述了15个命题,集中阐明了发现求积公式的被称为“平衡法”的方法,阿基米德方法的基本原理是这样的：为了找所求的面积或体积，把它分成很多窄的平行的条和薄的平行的层，并且把这些片挂在杠杆的一端，使它平衡于容积和重心为已知的一个图形，他的平衡法与现代积分的基本思想本质上是相同的.阿基米德利用平衡法解决了许多几何图形中求面积、体积的问题,而平衡法本身则是以极限为基础的,但当时却不可能有极限理论,阿基米德意识到了他的平衡法在数学上缺乏严密性,因此,阿基米德用平衡法每求出一个面积或体积后,一定要用穷竭法加以证明. 1.3 刘徽的割圆术和体积理论 刘徽是中国古代数学史上非常重要的一位数学家,他在积分学方面的贡献主要集中在两个方面:割圆术和体积理论.割圆术是刘徽创造的运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆;刘徽的面积与体积理论建立在他的“出入相补”原理上,在球体积公式的推算中,刘徽首创了立体图形“牟合方盖”,但刘徽在求牟合方盖的体积时,遇到很大的困难，最终未能解决.刘徽虽然没有完成球体体积公式的推证,但他创造的牟合方盖和特殊形式的不可分量方法,为后来的祖冲之父子在球体体积公式推证问题上取得突破奠定了基础.在这里,刘徽实际上已用到了后来被称为的“祖暅原理”，只可惜他没有将它总结为一般形式. 1.4 祖暅原理 刘徽绞尽脑汁没能解决的球体积推证问题,到了祖冲之时代终于由祖暅解决了.祖暅继承了刘徽对球体体积的推导的路线,即从计算“牟合方盖”的体积为突破,祖暅提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异”.这就是著名的“祖暅原理”. 实际上刘徽已经使用了祖暅原理,但首次明确地将它作为一般原理提出来的是祖暅,并成功地应用于球体体积的推算. 1.5 卡瓦列里的不可分量原理 卡瓦列里是意大利的数学家,他对数学的最大贡献是1635年发表的关于不可分量法的专著用新方法促进的连续不可分量的几何学.著作中他发展了系统的不可分量方法,建立了“卡瓦列里原理”:卡瓦列里的不可分量原理大大简化了许多立体图形体积的推导过程.如卡瓦列里的不可分量原理计算球的体积要比祖氏父子的计算方法简单得多.利用不可分量原理,卡瓦列里对积分学创立最重要的贡献还在于1639年他利用平面上的不可分量原理建立了等价于积分的基本结果,使早期积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法的过渡 . 2 微分的萌芽 再来谈谈微分学的早期萌芽.与积分学两千多年的早期萌芽史相比,微分学的萌芽史就短多了.因为积分学研究的问题是静态而微分学研究的则是动态的,它涉及到运动,当生产力还没发展到一定阶段时，微分学是不会产生的,因此直到17世纪,受到求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题的刺激,微分学才出现了重大突破.主要表现在下面三个方面上: 2.1 费马求极大值与极小值的方法费马是法国数学家,费马求极大值与极小值的方法在1629年已经设计完成了,但直到八、九年以后才在他的手稿求最大值和最小值的方法中发现.按费马的方法来确定怎样把长度为的一个线段划分为两个线段和，使得它们的乘积最大，首先用代替，然后写出 ，即消去相同项得 ，两边除以，得 ，费马的方法几乎相当于现今微分学中所用的方法，只是以符号代替了增量 ，但费马的方法除了逻辑上的不完整外,还存在两个问题:一是费马的方法对极大值与极小值未加区别;二是费马不知道的导数为零只是极值的必要条件却并非充分条件. 2.2 费马求切线的方法 费马在他的手稿求最大值和最小值的方法中还给出了求曲线切线的方法,这个方法与现在的方法实质是相同的.费马在处理求曲线的切线和求极大值与极小值两大问题时,所采用的方法是一致的,简言之,就是先取增量,而后让增量趋向于零,其正是微分学的实质所在. 2.3 巴罗的微分三角形 巴罗是英国的数学家,巴罗也给出了求曲线切线的方法,这种方法记载在1669年出版的几何讲义中,但他应该是在更早的时候就得到这种方法了.与费马不同,巴罗使用的是几何学.巴罗几何法的关键概念后来变得很有名,就是“微分三角形”,也叫“特征三角形”.巴罗求切线的方法非常接近微分学中所采用的方法,是费马方法的进一步发展.三、微积分的创立 17 至 18 世纪的英国和欧洲处于资本主义经济和技术迅猛发展的时期，资产阶级革命风起云涌，资产阶级与封建王朝的革命与复辟的反复斗争此起彼伏，宗教改革带来的思想解放，整个欧洲处于社会大动荡、大变革、科学大发展的浪潮之中.新大陆的发现，第一次工业革命的影响（15401640 年），海上贸易和海外市场的掠夺，冶金、纺织、造船、火药、造纸、武器制造，航海、手工业和商业等领域发生和发展的需要，对数学提出了一系列迫切需要解决的课题，几千年人类数理文化的积累为微积分的出现准备好了舞台，也可以说为天才人物的出场编好了序曲.牛顿和莱布尼茨的出现,完成了微积分创立中最关键的一步. 1 牛顿与微积分 数学家们在17世纪上半叶所做的一系列的工作为微积分的创立做了坚实的铺垫,但所有这些努力还并不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生,因为他们的方法只是针对具体特殊问题,缺乏一般性.微积分的微分与积分的互逆关系,虽然在研究中已经有所触及,但没有人能意识到这种联系的重要价值并深入研究.牛顿对微积分问题的研究始于1664年,1665年11月发明“正流数术”(微分法),次年5月建立了“反流数术”(积分学).1666年10月,牛顿将前两年研究成果整理成一篇论文流数简论,此论文是历史上第一篇系统的微积分文献. 流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景.以速度形式引进了“流数”(即微商)概念.牛顿在简论中提出微积分的基本问题，其中一个问题是：设有两个或更多个物体在同一时刻描画线段已知表示这些线段的关系的方程，求它们的速度的关系牛顿对多项式问题给出问题的解法，以下举例说明牛顿的解法，已知方程 ，牛顿分别以和代换方程中的和，然后利用二项式定理展开得 消去和为0的项，得 以除之，得 这时牛顿指出“其中含的那些项为无限小，略去这些无限小，得 即所求的速度与的关系，牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式 问题的解为 牛顿对于面积计算与求切线问题的互逆关系,明确地作为一般规律提出来,并将它作为建立微积分普遍算法的基础.正是运用了这种关系,将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术也就是微分与积分,并证明了二者的互逆关系,进而将这两类运算进一步统一成整体.牛顿的工作将微积分的创立从量的积累完成了质的飞跃,也正因为如此,我们说牛顿发明了微积分. 牛顿的微积分理论主要体现在下述三部正式出版的论著里:(1)运用无限多项方程的分析(简称分析学,完成于1669年);(2)流数法与无穷级数(简称流数法,完成于1671年);(3)曲线求积术(简称求积术,完成于1691年).上述三部论著反映了牛顿微积分学说的发展过程,是微积分发展史上的重要里程碑,也为近代数学甚至近代科学的产生发展开辟了新纪元. 2 莱布尼茨与微积分与牛顿共享微积分创立这一荣誉的当然是德国数学家莱布尼茨了,但两人研究的出发点不同,牛顿的微积分是以运动学为背景的,而莱布尼茨创立微积分则是出于对几何问题的思考,特别是对特征三角形的研究.他逐步认识到:求曲线的切线要依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时之比;而求曲线下的面积则要依赖于无限小区间上的纵坐标之和.莱布尼茨还发现了这两个问题的互逆关系.他在自己对数的序列的研究中,找出了一种更一般的算法,将以往解决上述两类问题的各种结果和技巧统一起来.莱布尼茨总结出求切线是求差,求积是求和.到了1676年,他给出了幂函数的微分和积分公式,1677年在一篇手稿中,他陈述了他的微积分基本定理.1684年,莱布尼茨发表了第一篇微积分论文一种求极大与极小值和求切线的新方法,这也是数学史上第一篇正式公开发表的微积分文献;新方法中明确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和差积商，乘幂与方根的微分公式： ， 莱布尼茨还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼茨法则”推广到了高阶情形 1686年,莱布尼茨发表了他的第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量及无限的分析,在这篇积分学论文中，莱布尼茨给出了摆线方程为 目的是要说明他的方法和符号，可以将一些被其他方法排斥超越曲线表为方程，而正是在这篇文章中，积分号第一次出现在印刷出版物上;1693年,莱布尼茨又在教师学报上发表了一篇论文,其中更清楚地阐述了微分与积分的关系;关于积分常数的论述发表于1694年. 就微积分创立而言,牛顿与莱布尼兹功绩相当,尽管两人各自采用了不同的方法,但他们都各自独立地发现了微积分基本定理,并建立了一套有效的微分与积分的算法.四 微积分的完善尽管微积分的运算方法在 18 世纪和 19 世纪发挥了巨大的作用，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和高斯等人把它运用到物理学和天文学上，并大获全胜，取得了辉煌的成就，但他们的理论基础是很薄弱的，缺乏严格的逻辑基础，这就难免招致责难，有时甚至是攻击. 1734 年英国哲学家贝克莱主教在分析学家一文中提出了“无穷小悖论”. 对牛顿的微积分学基础作了猛烈的抨击. 问题出在无穷小的定义上碰到了 0/0 形式的困难. 到 19 世纪经布尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯和康托尔等人的努力，建立了较严格的极限理论，才有了今天精确描述极限的“ N”，“ ”方法. 五 微积分发展史的启示纵观微积分产生以前的历史，就可以明白，微积分不是凭空而来的，它经历了漫长的酝酿过程. 如果追溯一下的话，可以发现，至少是积分的思想早在微积分诞生之前两千年，就已经有了它的萌芽，但是古代的微积分的萌芽并没有在 17 世纪以前的漫长年代里得到培育、生根、开花. 原因是数学的发展终究要受社会的影响. 作为变量数学研究的对象微积分只能在变量问题多得无法用常量数学解决之时，才会产生. 因为当时要求变速运动的物体所走的路程、瞬时速度、加速度以及曲线的切线和函数的最大最小值. 这是微积分产生于 17 世纪的一个重要原因. 曲线的长，曲线所围的面积，曲面所包围的体积等具体问题都需要微积分的概念. 积分的概念比微分的概念先产生. 积分的概念最初是由求某些东西的面积、体积及弧长相联系的过程而引起的，而微分是作曲线的切线和函数的极值而产生. 后来才注意到，微分和积分作为互逆的运算而相互关联. 因此可以看出数学具有这样的一个特点,由于社会发展的需要，从研究实际问题出发,抽象成数学问题,许多的数学家、物理学家、天文学家,为了解决这些实际问题,向数学界引入新的概念和数学方法,构造新的数学体系，开辟新的数学领域.促进了数学的大发展,而数学理论的建立,反过来解决了更多的实际问题,而且数学理论本身的正确性在实践中得到进一步的证实. 数学的发展主要有两种形式,一种是根本性概念的变革导致新的数学领域的开拓,另一种是使开始建立的新理论日趋完善,如果我们把前一种形式比作是对一个新阵地的突破,那么后一种方式就是扩大和巩固这块一突破的阵地.数学家们就是这样使自己的疆域不断扩大.数学作为一种文化的子系统与经济生产、社会制度、哲学思想等都有密切联系. 在整个发展过程中社会实践起了决定性的作用.它向数学提出了新的问题,刺激数学的发展,并且提供验证数学理论的标准.微积分发现的历史昭示世人，任何历史上的巨大发现和发明，都须经过几十年，甚至数百年全人类共同努力才能实现. 今天的时代是信息广泛传递、生产技术和科学进步日新月异的年代，巨大的发现和发明的时间周期可能会大大缩短，然而非等到全人类共同创造的社会财富,达到“激发点”时，绝不会有惊人的绝世奇作的. 我们需要忍耐，需要有坚韧不拔的勇攀科技高峰的勇气和毅力. 在重大的理论发现之前，多做艰苦细致的工作，做好铺垫，持之以恒的朝着目标挺进. 水到渠成，瓜熟蒂落是指日可待的. 参考文献:1李文林.数学史概论M.北京:高等教育出版社2张顺燕.数学的源与流M.北京:高等教育出版社3柳成行.简明数学史M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社4林永伟，叶立军:数学史与数学教育M.浙江大学出版社5吴文俊.世界著名科学家传记M .北京:科学出版社,6李晓奇.先驱者的足迹M.东北大学出版社7周述岐.微积分思想简史M.北京:中国人民大学出版社8钱能生.五邑大学学报（自然科学版）J.第16卷 第 1期 2002年3月9刘和义 .微积分发展简史（衡水学院学报）J.2005年3月10张祖贵.莱布尼茨与微积分（数学的实践与认识）J.1987年12月致 谢 搁笔之际，首先我要感谢我的导师张廷海老师.本文的撰写工作是在张老师的精心指导下完成的.张老师在我的论文选题、资料收集、提纲确定、细节写作直至最终定稿都给出了很好的指导和建议.在平时的学校和生活中，张老师渊博的学识、严谨的作风和朴实的品质，让我受益匪浅，也深深影响着我以后的工作和学习.其次，我要感谢四年来曾经帮助、支持、鼓励和关心过我的同学和老师，是你们督促我成长，使我进步.仅以此文，向你们致敬！9