高考复习圆锥曲线中的离心率问题(含详细答案).doc

圆锥曲线中的离心率问题（答案）
一、直接求出a、c，求解e
已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。
例1. 过双曲线C：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。
解：易知A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。
二、变用公式，整体求出e
例2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。
解：由（其中k为渐近线的斜率）。这里，则，从而选A。
三、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。
四. 构造a、c的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值，这也是常用的一种方法。
例4. 已知、是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：如图，设的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式，即，得，有，解得（舍去），故选D。

高考试题分析
1.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( )
A． B． C． D．
答案：C
【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，，
因此．
2.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于椭圆，因为，则
3.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
所以,,故选D
4.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是
（A） （B） （C） （D）
[解析]由得，选B
5.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．3
【解析】由有,则,故选B.
6.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【解析】因为，再由有从而可得，故选B
7.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率 (A)
A． B. C. D.
8. （2008福建理11）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
利用第二定义及焦半径判断
9.（2008湖南理8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)
解析：利用第二定义
10.（2008江西理7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）
A． B． C． D．
解析：满足的点总在椭圆内部，所以c<b.
11.（2008全国二理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
12.（2008湖南文10）双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A． B． C． D．
利用焦半径公式及，解不等式即可。
13.（2007全国2理）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
14.（07江苏理3）．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）
A． B． C． D．
（注意焦点在轴上）
15.（07湖南文）．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ D ）
A． B． C． D．
16（07北京文4）．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　D　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17.（2009重庆卷文）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
. 解法1，因为在中，由正弦定理得
则由已知，得，即
设点由焦点半径公式，得则
记得由椭圆的几何性质知，整理得
解得，故椭圆的离心率
18.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率
19.（2008全国一理15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
20.（2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.
21、（2010四川理数）（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|＝ ， |PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴Þ 又e∈(0,1)故e∈
答案：D
22.（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(I) 求椭圆C的离心率；
(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：
设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为 ，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 . ……6分
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为.

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