椭圆和双曲线基础题练习题及答案.pdf

第 1 页 共 6 页圆锥曲线基础测试题一、选择题（60 ）1 已知椭圆的两个焦点为、，且，弦 AB 过点，125222yax)5(a1F2F8|21FF1F则的周长为（）2ABF（A）10 （B）20 （C）2（D）414142 椭圆上的点 P 到它的左准线的距离是 10，那么点 P 到它的右焦点的距离13610022yx是（）（A）15（B）12（C）10（D）83 椭圆的焦点、，P 为椭圆上的一点，已知，则192522yx1F2F21PFPF 的面积为（）21PFF（A）9（B）12（C）10（D）84 以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是（）（A）（B）222 yx222 xy（C）或 （D）或422 yx422 xy222 yx222 xy5 双曲线右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2，则 P 点到左准线的距离为191622yx（）（A）6 （B）8 （C）10 （D）126 过双曲线的右焦点 F2有一条弦 PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么F1PQ 的周822 yx长为（）（A）28 （B）（C）（D）28142814287 双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2，则双曲线的离心12021MFF率为（）（A）（B）（C）（D）32636338 在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为(C )A、22 B、2 C、2 D、229 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）193622yx（A）（B）（C）（D）02yx042yx01232 yx082yx第 2 页 共 6 页10 如果双曲线22142xy上一点P到双曲线右焦点的距离是 2，那么点P到y轴的距离是（A）A、4 63 B、2 63 C、2 6 D、2 311 中心在原点，焦点在 y 轴的椭圆方程是 22sincos1xy，(0,)2，则 （）A(0,)4 B(0,4 C(,)4 2 D,)4 2 12 已知双曲线222210,0 xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为（A ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A、65 B、75 C、58 D、95二、填空题（20 ）13 与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标22143xy3准方程是 。14 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是 35e3x。15 以知 F 是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为 9 16 已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcF c，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPFFaPF Fc，则该双曲线的离心率的取值范围是 (1,21)e 三、解答题（70 ）17)已知椭圆 C 的焦点 F1（，0）和 F2（，0），长轴长 6，设直线2222交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。2 xy第 3 页 共 6 页18)已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.125922yx51419)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。02yx03 yx33820(1)椭圆 C:(ab0)上的点 A(1,)到两焦点的距离之和为 4,12222byax23求椭圆的方程;(2)设 K 是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN时，那么是与点 P 位置PNPMkk无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。12222byax解：(1)13422yx (2)设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 13422yx134)2(22yx第 4 页 共 6 页(3)设 M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xox1 则 )1(22122axoby)1(221221axby 2221202212022120212010101010)(abxxbxxyyxxyyxxyyPNPMaxxkk为定值.21.已知双曲线方程为与点 P(1,2),2222 yx（1）求过点 P（1，2）的直线 的斜率的取值范围，使直线与双曲线lk有一个交点，两个交点，没有交点。(2)过点 P（1，2）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 P 为弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程；（3）是否存在直线，使 Q（1，1）为 被双曲线所截弦的中点？若存在，ll求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。l解：(1)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x1),代入 C 的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()当 2k2=0,即 k=时，方程(*)有一个根，l 与 C 有一个交点2()当 2k20,即 k时2=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即 32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l 与 C 有一个交点.23当 0,即 k,又 k,故当 k或k或k2322222时，方程(*)有两不等实根，l 与 C 有两个交点.23当 0，即 k时，方程(*)无解，l 与 C 无交点.23综上知：当 k=,或 k=，或 k 不存在时，l 与 C 只有一个交点；223当k,或k,或 k时，l 与 C 有两个交点；223222第 5 页 共 6 页当 k时，l 与 C 没有交点.23（2）假设以 P 为中点的弦为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即 kAB=12121xxyy但渐近线斜率为,结合图形知直线 AB 与有交点，所以以 P 为中点的弦为：.21 xy(3)假设以 Q 为中点的弦存在，设为 AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2 两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即 kAB=22121xxyy但渐近线斜率为,结合图形知直线 AB 与 C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为2中点的弦不存在.13)与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 22143xy3或。22186xy223412525yx14）离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是。35e3x2291520 xy17)已知椭圆 C 的焦点 F1（，0）和 F2（，0），长轴长 6，设直线2222交椭圆 C 于 A、B 两点，求线段 AB 的中点坐标。(8 分)2 xy解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c=,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:22.联立方程组,消去 y 得,.2219xy22192xyyx21036270 xx设 A(),B(),AB 线段的中点为 M()那么:,=11,x y22,xy00,xy12185xx 0 x12925xx所以=+2=.也就是说线段 AB 中点坐标为(-,).0y0 x159515第 6 页 共 6 页18)已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.125922yx514(10 分)解:由于椭圆焦点为 F(0,4),离心率为 e=,所以双曲线的焦点为 F(0,4),离45心率为 2,从而 c=4,a=2,b=2.3所以求双曲线方程为:.221412yx20)求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程。02yx03 yx338(10 分)解:设双曲线方程为 x2-4y2=.联立方程组得:,消去 y 得，3x2-24x+(36+)=022x-4y=30 xy设直线被双曲线截得的弦为 AB，且 A(),B()，那么：11,x y22,xy1212283632412(36)0 xxx x 那么：|AB|=2221212368(12)8 3(1)()4(1 1)(84)333kxxx x 解得:=4,所以，所求双曲线方程是：2214xy