行列式的性质及应用..doc

目　录
1.行列式的定义和性质 1
1．1定义 1
1.2 n阶行列式具有的性质 1
2.行列式的计算 4
2.1数字型行列式的计算(四种方法) 4
2.1．1.三角化法 4
2．1．2递推法 5
2.1．3．数学归纳法 6
2．1．4公式法 7
2.2行列式的概念与性质的例题 8
2.3抽象行列式的计算 8
2.4含参数行列式的计算 9
2.5特殊行列式的解法 9
2.5．1范德蒙行列式 9
3.关于的证明 10
4.行列式应用 12
4.1行列式在线性方程组中的应用 12
4.2 行列式在初等代数中的几个应用 13
4.2.1 用行列式分解因式 13
4.2.2 用行列式证明不等式和恒等式 14
4.3 行列式在解析几何中的几个应用 15
4.3.1 用行列式表示公式 15
4.4行列式在平面几何中的一些应用 17
4.4.1三线共点 17
4.4.2 三点共线 17
4.4.3 应用举例 17
4.5行列式在三维空间中的应用 18
4.5.1 平面组 18
4.5.2 点组 21
4.6行列式在多重积分中的应用 22
参考文献: 24

1.行列式的定义和性质
1．1定义
（设为n阶）：n阶行列式

是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，表示排列 的逆序数。
1.2 n阶行列式具有的性质
行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题。n级行列式一共有n!项，计算他就需要做n!(n-1)个乘法。当n较大时，n!是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。因此我们有必要进一步讨论行列式的性质。利用这些性质可以化简行列式的计算。
在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行和列，所以对于某一确定的行中n个元素（譬如αi1,αi2…，αin）来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中元素。因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有α11第二组的项都含有αi2等等。再分别把i行的元素提出来，就有
（1）
其中Aij代表那些含有αij的项在提出公因子αij之后的代数和。至于Aij究竟是哪一些项的和我们暂且不管，后面章节再来讨论。从以上讨论可以知道，Aij中不再含有第i行的元素，也就是Aij，Ai2, …,Ain全与行列式中第i行的元素无关。
1．性质（1）行列互换，行列式不变。即

2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即
=k
特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。即
.
4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同）。
5．性质（5）如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。即
.
6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变。即

7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号。即

2.行列式的计算
2.1数字型行列式的计算(四种方法)
2.1．1.三角化法
例 计算行列式之值。
解： 从第1行开始,依次把每行加至下一行,得
例 计算行列式之值。
解：把每行均加至第一行,提出公因式,再把第一行的倍分别加到第二行至第n行,得

2．1．2递推法
例 计算行列式之值。
解：把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式

继续使用这个递推公式，有
而初始值，所以
例 计算行列式 之值。
解：按第n行展开，有
，
从而递推地得到
，

对这些等式分别用1，,,,相乘，然后相加，得到

2.1．3．数学归纳法
例 证明①。
解 我们对用数学归纳法。
当时，①的左端为按第一行展开，就得到所要的结论。
假设①对，即左端行列式的左上角是级时已经成立，现在来看的情形，按第一行展开，有
+
+
这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。
根据归纳法原理，①式普遍成立。
2．1．4公式法
例 计算行列式 之值。
解：由于,故用行列式乘法公式，得

因中，系数是+1，所以。
2.2行列式的概念与性质的例题
例 已知是6阶行列式中的一项，试确定的值及此项所带的符号。
解：根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和。因此，行指标
应取自1至6的排列，故，同理可知。
直接计算行的逆序数与列的逆序数，有。
亦知此项应带负号。
2.3抽象行列式的计算
例 已知都是4维列向量，且，，则（ ）。
解：中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变行，就有

于是
。
例 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式（ ）。
解 由A～B，知B的特征值是。那么的特征值是2，3，4，5.于是的特征值是1，2，3，4。有公式得，。
2.4含参数行列式的计算
例 已知，求。
解 将第3行的-1倍加至第1行，有

所以。
2.5特殊行列式的解法
2.5．1范德蒙行列式
定义：行列式称为n级的范德蒙行列式。
例 计算行列式之值。
解 把1改写成，第一行成为两数之和，可拆成两个行列式之和，即

分别记这两个行列式为和，则由范德蒙行列式得，

故
3.关于的证明
解题思路：
①设证法；
②反证法：如从A可逆找矛盾；
③构造齐次方程组，设法证明它有非零解；
④设法证矩阵的秩；
⑤证明0是矩阵A的一个特征值。
例 设(单位矩阵)，证明：。
证法一：如，则A可逆，那么.与已知条件矛盾。
证法二：由，有,从而的每一列都是齐次方程组的解，又因，故有非零解，从而。
证法三：证同上，由于的每一列都是的解，所以，又因，，故，所以。
证法四：证同上，设是中非零列，则,则，0是A的特征值，故。
拉普拉斯定理：设在行列式D中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式。
(其中：①级子式：在一个级行列式中任意选定行列。位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式。②余子式：在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式。③代数余子式：设的级子式在中所在的行、列指标分别是则的余子式前面加上符号后称为的代数余子式)。
例 求行列式.
解：在行列式中取定第一、二行，得到六个子式：

它们对应的代数余子式为

根据拉普拉斯定理

4.行列式应用
4.1行列式在线性方程组中的应用
设含有个变元的个一次线性方程组为
（1）
设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是
.
行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.
我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得
（2）
式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是
.
把中第列移到第一列, 得
.
上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故
.
代入（2）式, 得
, 或.
结论[2]: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.
4.2 行列式在初等代数中的几个应用
4.2.1 用行列式分解因式
利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.
例 分解因式：.
解

.
例 分解因式: .
解 原式

.
4.2.2 用行列式证明不等式和恒等式
我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.
例 已知, 求证.
证明： 令, 则
.
命题得证.
例 已知 求证.
证明 令, 则

命题得证.
例 已知, 求证.
证明 令, 则

而, 则, 命题得证.
4.3 行列式在解析几何中的几个应用
4.3.1 用行列式表示公式
4.3.1.1用行列式表示三角形面积
以平面内三点为顶点的的面积S是
(3)
的绝对值.
证明 将平面三点扩充到三维空间, 其坐标分别为
, 其中为任意常数. 由此可得：
,
则面积为
S=
.
4.3.1.2用行列式表示直线方程
直线方程通过两点和的直线的方程为
. （4）
证明 由两点式, 我们得直线的方程为
.
将上式展开并化简, 得

此式可进一步变形为

此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.
4.3.1.3应用举例
例 若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.
解 设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有
这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即.
则所求直线的方程为.
同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为.
同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为.
4.4行列式在平面几何中的一些应用
4.4.1三线共点
平面内三条互不平行的直线
相交于一点的充要条件是.
4.4.2 三点共线
平面内三点在一直线的充要条件是.
4.4.3 应用举例
例 平面上给出三条不重合的直线:
, 若, 则这三条直线不能组成三角形.
证明 设与的交点为, 因为,
将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：
.
因为在与上, 所以, 且

若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.
这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.
4.5行列式在三维空间中的应用
4.5.1 平面组
设由个平面方程构成的方程组为 （5）
若方程组(5)中的各代以, 并用乘以(5)式两端: 得
（6）
叫做点的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵
及
的秩及有关系. 现在分别叙述如下：
(Ⅰ)当, 则方程组中各系数全是0.
(Ⅱ)当 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解.当,,, 将趋近于无穷大（假设趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这个平面在无穷远重合.
(Ⅲ)当, 则在矩阵及中所有二阶行列式全是0. 所以我们有
以上等式表示个平面相合成一个平面.
(Ⅳ)当 方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式上式表示平
平行但不相合. 也就是平面组中个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.
(Ⅴ) 则矩阵及中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设.我们必可求得适合下式：式中, 否则行列式将等于0. 所以.以上等式表示平面.经过直线就是个平面全经过一条直线.
（Ⅵ）当 并假定方程组的系数至少有一组适合以下关系：（是中的一数）以上第一个等式表示组中第平面,与直线平行. 又因第二个不等式表示第平面不经过上述直线, 所以个平面有平行的交线.例如由方程组
解得.
因为行列式.
而其它三个行列式不全是零故, 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.
（Ⅶ）当, 并假定.
在这种情况下, 平面相交于一点. 又因,（）故平面,经过前面三个平面的交点, 就是个平面有一个交点, 不在无穷远.
（Ⅷ）当, 则矩阵中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设
.（是中的一数）
以上不等式表示平面,不经过前三个平面的交点.
4.5.2 点组
设有个点, 它们的齐次坐标各是
此点组的相关位置与坐标做成的矩阵
的秩有关系. 分别叙述如下:
（Ⅰ）当, 则个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.
（Ⅱ）当, 假定, 很容易推得(因为中所有的二阶行列式等于0)
,上式表示个点全重合.
（Ⅲ）当, 并假设,因中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得适合以下方程：
式中不等于0, 否则行列式将等于0. 故可求得
假设点及的连线为
把的等值代入上式, 易验证点在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因可以是, 所以个点全在一直线上.
（Ⅳ）当, 并假定
中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得适合下式：

式中不等于0, 否则行列式
从以上方程组求得：

设点及所确定的平面是

把的等值代入上式, 甚易验明点在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为可以是, 所以个点共在一个平面上.
（Ⅴ）当, 中至少有一个四阶行列式如.
是中任一个数. 以上不等式表示点不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点在平面上, 则以下关系成立.也就是行列式这与假设矛盾.
4.6行列式在多重积分中的应用
行列式体现了线性变换对于空间体积的作用，对于非线性的函数，其对体积的影响更为复杂，但对于足够“良好”的函数，在一个微小的范围内，比如说在空间中一点的附近，可以将函数的效果近似地用线性的变换来代替。由此，对于某些函数，也可以将它在某一点附近的作用效果用它在这一点上的偏导数构成的矩阵（称为雅可比矩阵）来表示。这类行列式被称为“雅可比行列式”，即是雅可比矩阵的行列式，只对连续可微的函数有定义。
在计算“体积”的多重积分中，雅可比行列式应用于换元积分的时候。积分的思想是将空间割成许多个微小的体积元，称为积分元素，再将每个体积元上的函数值乘以体积元的体积后相加。将一个积分元素换为另一个积分元素时，实际上作了一次对空间中体积的度量方式的改变：分划体积元的方式不同了。譬如在二维空间中，将直角坐标积分换为极坐标积分时，面积元素由方块区域变成扇形区域。因此，要测量这种体积度量方式的改变，可以将这种变换看成一个非线性的变换函数（实际上是一个微分同胚： 。而它在每一点的影响可以通过雅可比行列式来体现。

参考文献:
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.高等教育出版社， 1988，51-96
[2]李正元 李永乐 袁荫棠.数学复习全书.国家行政学院出版社，2005，347-363
[3]张贤科 许甫华.高等代数学.清华大学出版社，2000
[4]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.
[5]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.
[6]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.
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[10]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.
24