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浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用
摘要:在高等数学的学习中,行列式无疑是一个重点和难点,它是后续课程线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。Vandermonde行列式是一类很重要的行列式。本文系统的阐述了Vandermonde行列式的相关性质及其应用,通过各种方法说明了行列式中的一些计算问题以及如何利用Vandermonde行列式计算一般的行列式,用多个例子论述并总结了Vandermonde行列式在科研和实践生活中如何更好的应用。
关键字: 行列式;Vandermonde行列式;Vandermonde
目 录
第一章 引言 ………………………………………………1
第二章 预备知识……………………………………………2
2.1 定义 ………………………………………………2
2.2 行列式的性质 ……………………………………2
2.3 行列式计算中的几种基本方法……………………3
2.3.1 三角形法……………………………………………3
2.3.2 加边法或升级法……………………………………4
2.3.3 递推法或数学归纳法………………………………5
第三章 行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……6
3.1 Vandermonde行列式的证法 ………………………6
3.2 Vandermonde行列式的性质 ………………………7
3.2.1 推广的性质定理:行列式 ………………………7
3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…9
3.2.3 Vandermonde行列式的偏导数……………………9
3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形 ………………11
3.4 Vandermonde行列式的应用 ………………………12
第四章 小结 …………………………………………………17
第五章 参考文献 ……………………………………………18
第六章 谢 辞 ………………………………………………19
引 言
在中学数学和解析几何里,我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中,经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组,并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题,经过一代代数学家的不懈努力,终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展,法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述,即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善,如柯西、詹姆士·西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894)、雅可比 (J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。美国当代数学家Bernard Kolman对行列式又做了进一步的解析与应用。数学家Chongying Dong,Fu-an Li等人在Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收录到Recent Developments in Algebra and Related Areas一书中。
本文通过在行列式基本性质了解的基础上,进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。
2 预备知识
为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用,我们有必要回顾一下行列式的相关知识。
2.1 定义1
行列式是由个元素(数)(=1,2,…,)排成行列并写成
(1)
的形式,它表示所有符合以下条件的项的代数和:
① 每项是个元素的乘积,这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的,可记为,式中是1,2,…,的一个排列。
②每项应带正号或负号,以1,2,…,的顺序为标准来比较排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序,即2在1之前,3在1之前,所以应带正号;而中(213)的逆序为1,因为这时只有2在1之前,所以应带负号。
2.2 行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 交换行列式的两行(列),行列式改变符号。
性质3 如果一个行列式有两行(列)完全相同,那么这个行列式等于0。
性质4 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。
性质5 一个行列式中一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。
性质6 如果一个行列式中有一行(列)的元素全部是0,那么这个行列式等于0。
性质7 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例,那么这个行列式等于0。
性质8 设行列式的第行元素都可以表示成
,
那么等于两个行列式与的和,其中的第行元素是,的第行元素是,而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于列来说也成立。
性质9 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变。
2.3 行列式计算中的几种基本方法
2.3.1 三角形法
就是利用行列式的性质,将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式,而上(下)三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。
例1 计算级行列式
.
分析 该行列式具有各行(列)元素之和相等的特点.可将第列(行)都加到第一列(行)(或第列(行)加到第列(行)),则第1(或)列(行)的元素相等,再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.
解
2.3.2 加边法或升级法
例2 计算级行列式
分析 该行列式的各行(列)含有共同的元素可在保持原行列式值不变的情况下,增加一行一列(称为升级发或加边法),适当选择所增加行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.
解
2.3.3 递推法或数学归纳法
例3 计算级行列式
分析 对于三对角或次三对角行列式,按其第1行(列)或第行(列)展开得到两项的递推关系,再利用变形递推的技巧求解.
解
直接递推不易得到结果(按低级是可以的),变形得
3 行列式的一种特殊类型——Vandermonde行列式
定义2 我们把型如
=
的行列式叫做Vandermonde行列式,其中表示这个数码的所有可能(, )因子共项的乘积()。
3.1 Vandermonde行列式的证法
方法一、消元法
证:从第行开始,每一行加上前一行的倍。根据行列式的性质可知行列式的值不变,此时有
=
=1
(按行列式首项展开得到)
(2)
注意到行列式(2)是阶Vandermonde行列式,即已经将用表示出来。重复用上述方法对进行求解,经过有限步可以得到:
=(…)()…()
= 即证。
方法二:数学归纳法
证:当时,成立。假设对于阶成立,对于阶有:首先要把降阶,从第n行起后一行减去前一行的倍,然后按第一行进行展开,就有,于是就有=,其中表示连乘,的取值为,原命题得证。
方法一与方法二的实质与算法是一致的,可以说是同一种方法。
3.2 Vandermonde行列式的性质
3.2.1 推广的性质定理:行列式
= = (k=0,1,2…n-1),
其中是中()个数的一个正序排列。表示对所有()阶排列求和。
证:(i)在行列式中增补第()行和()列相应的元素考虑()阶Vandermonde行列式
=
… … … …
= (*)
(ii)由(*)式的两端分别计算多项式中项的系数,在(*)左端,由行列式计算:的系数为行列式中该元素对应的代数余子式,在(*)式右端,由多项式计算为的个不同根。根据根与系数的关系,项的系数为
,
其中是1,2…中()个数的一个正序排列,表示对所有()阶排列求和。
(iii)比较中项的系数,计算行列式,因为(*)式左右两端项系数应该相等,所以
即 (**)
定理得证。
利用此性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式,简便易行。特别,当时,令=1,(**)式即为Vandermonde行列式V。
例4 计算准Vandermonde行列式
解 由定理,=6,=3,所以
=
.
3.2.2 一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是中至少有两个相等.
3.2.3 Vandermonde行列式的偏导数.
定理 ,
由Vandermonde行列式的定义知,是的元函数.
例5 设是个两两互异的数,证明对任意个数,存在唯一的次数小于的多项式
,
使得,.
证 从定义容易看出的次数小于,且
,
故只需证明唯一性即可.
设满足
,,即
,
这个关于 的线性方程组系数行列式为
,
故是唯一的,必须
.
这就是有名的拉格朗日插值公式。
例6 设是个复系数多项式,满足
.
证明: .
证:设,取,分别以代入,可得
,这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为
,
因此.
3.3 Vandermonde行列式的翻转与变形.
3.3.1 将Vandermonde行列式逆时针旋转,得
.
3.3.2将Vandermonde行列式顺时针旋转,得
.
3.3.3 将Vandermonde行列式旋转,得
.
3.4 Vandermonde行列式的应用
3.4.1 Vandermonde行列式在Cramer法则中的应用.
例7 设是互不相同的数,求解下面的方程组
.
解: 系数行列式为
,其中,所以
,.
3.4.2 如何利用Vandermonde行列式计算行列式
法一 所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂,但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全相同,需利用行列好似性质(如提取公因式,调换各行(列)的次序等)将行列式化为Vandermonde行列式。
例8 计算
解:
.
法二 利用行列式性质,改变原行列式中的元素,产生以新元素为行(列)的Vandermonde行列式。
例9 计算阶行列式
,其中,,().
解:提取各行的公因式,得到
(Vandermonde行列式)
上式右端行列式是以新元素为列元素的 阶Vandermonde行列式,所以
=.
法三 如阶行列式的第行(列)由两个分行(列)所组成,其中任意相邻两行(列)均含有相同分行(列),且中含有个分行(列)组成的Vandermonde行列式,那么将的第行(列)乘以()加到()行(列),消除一些分行(列),即可化成Vandermonde行列式。
例10 计算行列式
△=.
解:在△的第2行中去掉与第一行成比例的分行,得到
△=
在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行,得到一个新的行列式,在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行,得到
△==.
法四 各行(列)元素均为某一元素的不同方幂,但都缺少同一方幂的行列式,可用各种方法化成Vandermonde行列式。下面用加边法。
例11 (缺行Vandermonde行列式)
.
解:注意此行列式与Vandermonde行列式的区别在于的幂跳过,我们自然会想到把缺了的幂补起来,再利用Vandermonde行列式,故令
=
=.
另一方面,对按最后一列进行Laplace展开,可知的代数余子式是.因此视为的多项式,则应是的系数,故
(的系数)
.
注1
缺行Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermonde行列式。
注2
① 利用此例中的添加一些行和列的方法,还可计算跳过两个幂的超Vandermonde行列式,及其他行列式。
② 注意当时,,故也含因子。特别,知.因和都是齐次及对称多项式,故应是次齐次对称多项式。按的次序排列时,的首项为(的首项),故知的首项为,由此可得到.
法五 行列式中其他各行(列)都是元素的不同方幂,只有一行(列)的元素不是相应元素的零次幂(即该行(列)元素都不是1),而是各行(列)元素的函数,利用行列式性质将这一行(列)元素化为全是1的元素。
例12 证明△=.
证:将△的第1行加到第3行上,得到
△==
.
3.4.3 Vandermonde行列式在多项式理论中的应用
例13 设多项式,,;,,则不可能有非零且重数大于的根。
证明:反设是的重数大于的根,则,进而即 (3)
把(3)看作以为未知量的齐次线性方程组,则(3)的系数行列式为
.
故方程组(3)只有零解,从而,因此必须,这与矛盾,故 没有非零且重数大于的根。
4 小结
以上我们在回顾行列式相关知识的基础上,进一步系统的阐述了Vandermonde行列式的一些重要性质和应用等知识。以便更好的为我们的科研和生活服务。
参考文献:
[1]张贤科,许甫华.高等代数[M].清华大学出版社,1998
[2]卢刚,冯翠莲.线性代数[M].北京大学出版社,2006.6
[3]Bernard Kolman,David R.Hill.Linear Algebra, High Education Press,2005,7.
[4]樊恽,郑延履,刘合国.线性代数学习指导[M].北京:科学出版社,2003.2
[5]万勇,李兵.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2006.8
[6]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].武汉:华中科技大学出版社,2000.3
[7]苏醒侨,卢陈辉.线性代数.冶金工业出版社,2004.9
[8]王新长, Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J],井冈山师范学院学报(自然科学),2002年23(5),54-58.
[9]Linear Algebra and It’s Applications,David C.Lay[美]沈复兴,傅莺莺,莫单玉等译.人民邮电出版社.2007.7
[10]宴林,范德蒙行列式的应用[J],文山师范高等专科学校学报,2001,13(2),55-57.
[11]刘建中,范德蒙行列式的一个性质的证明及其应用[J],河北大学学报(自然科学版),2000,20(1),84-85.
[12]张禾瑞, 高等代数[M],北京:高等教育出版社,1989,7.
[13]Chongying Dong,Fu-an Li. Recent Developments in Algebra and Related Areas.High Education Press,2009.1.
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