毕业论文-行列式的计算与应用.doc

中图分类号：O151.2本 科 生 毕 业 论 文（或设计）（申请学士学位）论文题目 行列式的计算与应用 作者姓名 所学专业名称 数学与应用数学 指导教师 2010年4月30日学 号： 5060352046论文答辩日期：2010年 6月5日指 导 教 师： （签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名： 2010年 5月 30日目 录摘要1Abstract 1前言21行列式的概念及性质3 1.1 行列式的概念 3 1.2 行列式的性质 32行列式的一些计算方法和技巧4 2.1 化三角法 4 2.2 降阶法 52.3 递推法 62.4 辅助行列式法 72.5 拆行（列）法82.6 定义法102.7 利用范德蒙行列式103.行列式理论的应用 11 3.1 行列式性质的应用举例113.1.1 解方程 11 3.1.2 计算行列数 12 3.1.3 计算范德蒙行列式 123.2 范德蒙行列式的计算应用13 3.2.1 利用行列式的性质转化范德蒙行列式 133.2.2 利用乘法规则转化为范德蒙行列式 133.3 一类阶实方阵行列式的应用 143.4 行列式在多项式理论中的应用 163.5 行列式在线性变换理论中的应用 17结论 18参考文献 19致谢 21滁州学院本科毕业论文行列式的计算与应用摘要：行列式理论是代数学的重要组成部分，计算行列式的一般方法是不存在的，不同的行列式有不同的计算法.行列式在线性方程组的归纳求解，线性相关性的判定，线性空间和线性变换等中有广泛的应用.本文总结了行列式的定义和性质，讨论了不同类型的行列式的计算方法，给出了行列式在线性代数理论中的应用.关键词:升降阶法；递推法；化三角法；范德蒙行列式；线性变换.The calculation and application of determinantAbstract: The determinant is an important component of the theory of algebra. The general method of calculating the determinant does not exist, and different determinates have different computing methods. The theory of determinant is used widely in the solution of linear equations, the judgment of the linear correlation, the theory of the linear space, and the linear transformation, etc. The paper summarizes the definition and properties of determinant, discusses the computing methods about different types of determinants, and gives the applications of determinant in linear algebra theory.Keywords: Increase and Decrease the Degree; A recursive method; Triangle method; Vandermonder determinant; Linear transformation.前言行列式是解决线性代数的工具，它最初的产生和应用都在解线性方程组中，应用范围十分广泛，成为数学、物理以及工科许多课程的重要工具.行列式自从被发现以来迅速发展壮大，各个学科都应用其性质解决了一些难题.时至今天因其应用而成果斐然的实例更是多不胜数，并且在一些应用领域越来越具有一些不可替代的作用.行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分.特别是阶行列式的计算（例如范德蒙行列式），在学习过程中，普遍存在很多困难，难以掌握，为此该论题将在理论的完善上和风格上有所突破，以期望达到浅显易懂效果. 行列式定义是一个学习难点，郭时光在文6给出行列式的一个矩阵式定义，并且证明了这个定义与传统的行列式定义是等价的.书1- 5中系统介绍了行列式的各种性质以及其证明过程.文献7-20在行列式的计算与应用方面都进行了深入探讨,并给出了不同行列式的计算技巧及其在不同领域的应用.本文主要研究行列式理论的总体概况，整理了行列式的定义、性质、计算技巧，并举例说明了行列式性质在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论以及行列式计算等学科中的应用.1行列式的概念及性质1.1行列式的定义以下给出给出行列式的两种定义方式一：对任何 阶方阵，其行列式记为 ， （1）其中是数组1，2， 的全排列，表示对关于这些全排列的项(共有 项)全体求和.方法二：行列式记作（或，它是关于方阵的一种算式，满足下列三个公理：公理1：数的行列式，等于其自身，即或，其中是数（为了不与绝对值相混淆，数的行列式一般避免写成）；公理2：分块三角形矩阵的行列式，等于其主对角线上各个子块的行列式之积.即有其中与均是方阵；公理3：两个同阶方阵的乘积的行列式，等于这两个方阵各自行列式之积，即|(或() () )，其中 与是阶数相同的方阵.将矩阵做行列式计算的结果，称为的行列式，简称为行列式.关于矩阵的若干名称，也相应地用于行列式.1.2行列式计算的相关性质性质1.行列互换，行列式不变.即性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立.性质2.对换行列式两行的位置，行列式反号.性质3.若行列式有两行相同,则行列式等于0.性质4.以一数乘行列式的一行,等于乘行列式，或者说一行的公因式可以提出去.即推论1.若行列式某行（列）元素都是0,则行列式等于0.由性质4和性质3又可得到:推论2.若一个行列式的任两行成比例,则行列式值为0.性质5.行列式具有分行相加性.即： =+性质6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不变.2 行列式求解的方法举例2.1化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.这是计算行列式的重要方法之一.利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式，然后将行列式化为三角形行列式计算.原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式.例1.计算级行列式这个行列式的特点是每行都有元素，其余各元素是.根据行列式性质把第一行的若干倍加到另一行,行列式值不变，可得把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍，就有这样就得到一上三角形的行列式，即得.2.2按行(列)展开法(降阶法)设为n阶行列式,根据行列式的按行(列)展开定理有或 其中为Dn中的元素的代数余子式.按行(列)展开法可以将一个阶行列式化为个阶行列式计算.若继续使用按行(列)展开法,可以将阶行列式降阶直至为许多个2阶行列式来计算,这是计算行列式的又一基本方法.但一般情况下,按行(列)展开并不能减少计算量,仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时,它才能发挥真正的作用.因此,应用按行(列)展开法时,利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素,再按该行(列)展开. 例1.设阶行列式且满足对任意数,求阶行列式 解： 2.3递推法应用行列式的性质,把一个高阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,这种关系式称为递推关系式.根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值,便可递推求得所给阶行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法.例1.证明 ，证明：将按第1列展开得由此得到递推公式：，根据此递推公式可得注:用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法.虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构,然后得到一递推关系式,但我们不要盲目乱代,一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话,就要适当地换递推关系式.2.4辅助行列式法辅助行列式法应用条件:行列式各行(列)和相等,且除对角线外其余元素都相同.解题步骤:(1)在行列式的各元素中加上一个相同的元素,使新行列式除主对角线外,其余元素均为0;(2)计算的主对角线各元素的代数余子式;(3) 例1.求行列式的值 解：在上的各个元素上加上（-1）后又，其它的是零.所以注意：若知道辅助行列式法的解题程序,用此法就可轻松地解出此题.但根据该行列式的特点,我们也可以用加边法,把大部分元素化为零,再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式.2.5拆行(列)法由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行(列)法.由行列式的性质知道,若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和,则该行列式可拆成两个行列式的和,这两个行列式的某行(列)分别以这两数之一为该行(列)的元素,而其他各行(列)的元素与原行列式的对应行(列)相同,利用行列式的这一性质,有时较容易.例1.求得行列式的值.解：先将D加边，得将第一行的倍加到第行，得将的第2至列分别提出-1，得将的第列乘以都加到第1列上，得将从第行开始直至第3行，依次从下一行减去上一行，得将按第1列展开，得容易计算出（2）式右端2个阶行列式的值分别为与，将其带入，最后可得2.6利用定义直接计算行列式 在行列式比较简单或是零的项较多时，一般用定义可直接求得行列式的值. 例1. 解：中不为零的项用一般形式表示为 ，该项列标排列的逆序数等于，所以.2.7利用范德蒙行列式在这里不妨先给出范德蒙行列式的值，具体求解见（3.1.3计算范德蒙行列式，例3）.例1.计算阶行列式解:显然该题与范德蒙行列式很相似,但还是有所不同,所以先利用行列式的性质把它 化为范德蒙行列式的类型.先将的第行依次与第行, 行, 2行, 1行对换,再将得到的新的行列式 的第行与第行, 行,1行对换,继续仿此作法,直到最后将第行与第行对换,这样,共经过次行对换后,得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式,故利用范德蒙行列式的结果得:以上总共给出了计算行列式的7种方法,其中一些是常见的些是最基本的方法,还有一些是特殊但很实用的方法.除此之外,还有很多其他计算行列式的方法,如:极限法、换元法、 导数法、差分法、积分法等,在此不一一介绍.有的时候一个题目要求多种解法并用,或一个问题可由多种方法独自解出,这就要求熟练掌握行列式的性质与计算方法,灵活运用.3行列式计算的应用3.1行列式性质的举例应用3.1.1解方程例1.解方程解：由行列式性质可得，或.解一元2次方程可得，.另根据行列式的定义观察行列式中的最高次幂是4次（切系数不为零）可原得原方程有4个根，即.3.1.2计算行列式例2.计算阶行列式解：利用行列式性质可知当时，即是方程的根.再根据行列式的定义观察出行列式中的最高次幂是次并且系数是1,可判断出方程的根就是，在利用中主对角线上元素之积系数为可知=.3.1.3计算范德蒙行列式例3.我们称下面的行列式式为范德蒙行列式=将中不加区别看作，那么就是一个次的方程，利用行列式的性质可观察出时范德蒙行列式的值为零.不妨称是方程的根,或者说中含有的因子,利用排列原理知至少有个根也即至少有个的因子.事实上行列式中是对等的,我们根据行列式的定义略去之间,的区别,含有的最高次数(或各的各幂数之和)为,即至多有个根或至多有个因子;再利用主对角线上元素之积的系数为1可知 3.2范德蒙行列式在计算行列式中的应用3.2.1利用行列式的性质转化为范德蒙行列式例1.计算阶行列式分析：该行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，可以将第行依次与上行交换自至第1行，第行依次与上行交换自至第2行,第2行依次与上行交换自至第行，于是共经过次行的交换得到阶范德蒙德行列式.解：=3.2.2利用乘法规则转化为范德蒙行列式例2.计算行列式解：此行列式中每一个元素都可以利用二项式定理展开，可以变成乘积的和.根据行列式的乘法规则，其中对进行例1中的行的交换就得到范德蒙行列式，于是 =.3.3一类阶实方阵行列式的应用文献14研究了形如的一类阶实方阵行列式的几何意义，并在结论部分包含了如下的结论： （1）这里（1）式实质蕴含了在证明相关几何问题、向量线性等问题的应用价值.下面给出的一些相关应用.一.巧用证明平面上三点共线问题定理1. 其几何意义是二维平面上以三点为顶点的三角面积的6倍，亦即等于以矢量为邻边的平行四边形的面积. 根据的几何意义，有定理1直接可得： 推论1.平面上三点共线=0. 证明：（略）例1.试推导直线的两点式方程 证明：设是过已知点，的直线，对于必有三点共线展开并整理，且当、时就有这就是直线的两点式方程.二.巧用证空间四点共面问题定理2.，其绝对值的几何意义是三维空间中以四点为顶点的四面体体积的6倍，亦即等于以矢量、为相邻的平行六面体的体积.根据的几何意义，有定理2直接可得推论2.空间四点共面=0. 证明（略）例2.试推导平面的三点式方程.证明: 设是过已知点的平面,据推论2,对于必有四点共面对展开并整理得 即为所求.三巧用计算其他行列式的值定理3.设范德蒙行列式为=并取 （2）则 证明：先将转置，则=；然后得第1行通过次行交换到底行，第2行通过次行交换到第行，将第行交换1次到第1行，这样总共经过次行的交换而得到，于是便有（2）式成立. 例3.计算阶行列式 解：设的转置为，则与（4）式具有相同形式.于是，据定理3得3.4行列式在多项式理论中的应用例1.证明一个次多项式至多有个互异根.证明：有个互异的零点，则有，1 即这个关于的齐次线性方程组的系数行列式因此.，这个矛盾表明有个互异根.3.5在线性变换理论中的应用例1.设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值则1）与可交换的的线性变换都是的线性组合，这里为恒等变换；2）线性无关的充要条件为，这里，. 证明：1）设是与可交换的线性变换，且，则是的不变子空间则由以下方程组.令，则有以下方程组 . （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且，所以方程组（1）有唯一解，故是线性组合.2）充分性因为，所以并且所以是可逆矩阵，又因为是的一组基，线性无关.3）必要性设是分别属于的特征向量，则构成的一个基，因而有.若则是的属于的特征向量，故结论成立.若存在，使，不妨设全不为零，而，因而有.则利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以秩，从而，又因为线性无关，所以线性无关，矛盾.从而，这里，.结论本文收集并整理了行列式的两种常见定义、基本性质、计算方法，然后重点讨论了行列式在解方程组，空间几何理论，多项式理论，线性变换理论等中的应用. 范德蒙(Vandermonde)行列式是一种重要的行列式,在行列式的计算中可以把一些特殊的或类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式,本文通过一些例题来阐述这些方法. 行列式的计算不同的题目可能用到不同的计算方法，至于采用哪种方法进行计算要视具体的题目而定，但是同样的题目有时也可以用不同的方法来计算，行列式的计算虽说不是非常的简单，但是方法和技巧却不是很复杂，只要我们多观察行列式的特点就能找到适合的方法.特别需要注意的是有的行列式的计算不是单纯的一种方法就能够完成，有时需要用到两种或两种以上的技巧.行列式计算问题是高等代数和线性代数中的基本问题,计算的技巧性较强.本文在总结十多位作者多年教学经验的基础上对行列式的计算方法进行概括和提炼,主要从 阶行列式的特点出发,通过例题的形式列举了行列式的主要计算方法.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前代小组编.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社,2003.2刘金山,吴明芬.线性代数解题方法M.广东：华南理工大学出版社,2000.3北大数学系.高等代数M.高等教育出版社,1988.4白述伟.高等代数选讲M.哈尔滨:黑龙江教育出版社,1996.5同济大学数学教研室.高等数学M.北京:高等教育出版社,1978.6郭时光.行列式的矩阵式定义J.The Science Education Article 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谢该论文是在王圣祥老师的精心指导下完成的，从论文的选题、理论研究到论文定稿，自始至终都得到了王圣祥老师的悉心指导，本文倾注了导师的一片心血.同时老师严谨的治学态度、兢兢业业的敬业精神、理论联系实际的工作作风，为人正直的优良品质，以及对我的严格要求，都将使我终身受益.在此，谨向王圣祥老师表示衷心的感谢和深深的敬意!在近四年多的学习过程中，还得到了学院各位领导和老师的帮助，他们给予我提供了宝贵的资料和悉心的指导.同时在论文完成过程中，我的同学给予了巨大的帮助和支持，从进校到毕业，学院的老师和同学们都给过我无微不至的关怀和帮助.在此，我向多年来关心、帮助和教育我的领导、老师、同学致以深深的谢意.衷心地感谢评阅论文的各位专家、教授!21