极坐标与参数方程题型大全及答案.doc

参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全

一、回归教材
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

二、填空题
1．直线的斜率为______________________。
2．参数方程的普通方程为__________________。
3．已知直线与直线相交于点，又点，
则_______________。
4．直线被圆截得的弦长为______________。
5．直线的极坐标方程为____________________。
三、解答题
1．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；

（2）若恒成立，求实数的取值范围。

2．求直线和直线的交点的坐标，及点
与的距离。

3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。

数学选修4-4 坐标系与参数方程
[综合训练B组]
一、选择题
1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．参数方程为表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
3．直线和圆交于两点，
则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．与参数方程为等价的普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________。
2．直线过定点_____________。
3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设则圆的参数方程为__________________________。
三、解答题
1．参数方程表示什么曲线？

2．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。

3．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。

（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。

数学选修4-4 坐标系与参数方程.
[提高训练C组]
一、选择题
1．把方程化为以参数的参数方程是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线与坐标轴的交点是（ ）
A． B．
C． D．
3．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．
C． D．
4．若点在以点为焦点的抛物线上，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．极点 B．极轴
C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题
1．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_______________。
2．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______。
3．圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线与圆相切，则_______________。
三、解答题
1．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；

2．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，
求的值及相应的的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A组]
一、选择题
1．D
2．B 转化为普通方程：，当时，
3．C 转化为普通方程：，但是
4．C
5．C 都是极坐标
6．C
则或
二、填空题
1．
2．
3． 将代入得，则，而，得
4． 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为
5． ，取
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为，

（2）

2．解：将代入得，
得，而，得
3．解：设椭圆的参数方程为，

当时，，此时所求点为。
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询13976611338）
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组]
一、选择题
1．C 距离为
2．D 表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线
3．D ，得，
中点为
4．A 圆心为
5．D
6．C ，把直线代入
得
，弦长为
二、填空题
1． 而，
即
2． ，对于任何都成立，则
3． 椭圆为，设，

4． 即
5． ，当时，；当时，；
而，即，得
三、解答题
1．解：显然，则

即
得，即
2．解：设，则
即，
当时，；
当时，。
3．解：（1）直线的参数方程为，即
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询13976611338）
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]
一、选择题
1．D ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制
2．B 当时，，而，即，得与轴的交点为；
当时，，而，即，得与轴的交点为
3．B ，把直线代入
得
，弦长为
4．C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为
5．D ，为两条相交直线
6．A 的普通方程为，的普通方程为
圆与直线显然相切
二、填空题
1． 显然线段垂直于抛物线的对称轴。即轴，
2．,或
3． 由得
4． 圆心分别为和
5．，或 直线为，圆为，作出图形，相切时，
易知倾斜角为，或
三、解答题
1．解：（1）当时，，即；
当时，
而，即
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，即
得
即。
2．解：设直线为，代入曲线并整理得

则
所以当时，即，的最小值为，此时。

参２７．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于直线θ= (ρ∈R) 对称
D．重合

２８．极坐标方程 4ρsin2=5 表示的曲线是( )。
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线

２９．点 P1(ρ1,θ1) 与 P2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P1、P2 两点
的位置关系是( )。
A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称
C．关于θ=所在直线对称 D．重合

３０．椭圆的两个焦点坐标是( )。
A．(-3, 5)，(-3, -3) B．(3, 3)，(3, -5)
C．(1, 1)，(-7, 1) D．(7, -1)，(-1, -1)
六、1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
七、1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．参数方程为表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
3．直线和圆交于两点，
则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．与参数方程为等价的普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
八、1．把方程化为以参数的参数方程是（ ）
A． B． C． D．
2．曲线与坐标轴的交点是（ ）
A． B．
C． D．
3．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．
C． D．
4．若点在以点为焦点的抛物线上，
则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．极点 B．极轴
C．一条直线 D．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
填空题(满分70分,每题4分,记68分,错5道以内的奖励2分)
参、５．把参数方程(α为参数)化为普通方程，结果是。

１５．把直角坐标系的原点作为极点，x 的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程是，则它的直角坐标方程是。

六、1．直线的斜率为______________________。

2．参数方程的普通方程为__________________。

3．已知直线与直线相交于点，又点，
则_______________。

4．直线被圆截得的弦长为______________。

5．直线的极坐标方程为____________________。

七、1．曲线的参数方程是，则它的普通方程为__________________。
2．直线过定点_____________。
3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。

5．设则圆的参数方程为__________________________。

八、1．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_______________。
2．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______。
3．圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。

4．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线与圆相切，则_______________。
解答题(共20题,任选14题作答,每题10分,记140分)

参、３．如图，过点M (-2, 0) 的直线ι依次与圆(x +)2 + y2 = 16和抛物线 y2 = - 4x
交于A、B、C、D 四点，且|AB| = |CD|，求直线ι的方程。
\

４．过点 P(-2, 0) 的直线ι与抛物线 y2 = 4x 相交所得弦长为8，求直线ι的方程。

５．求直线 ( t 为参数)被抛物线 y2 = 16x 截得的线段AB 中点 M 的坐
标及点 P(-1, -2) 到 M 的距离。

８．A为椭圆+=1上任一点，B为圆( x - 1)2 + y 2= 1 上任一点，求 | AB | 的
最大值和最小值 。

９．A、B在椭圆+= 1(a > b > 0)上，OA⊥OB，求△AOB面积的最大值和最小值。

１０．椭圆+=1(a > b > 0)的右顶点为A，中心为O，若椭圆在第 一象限的弧
上存在点P，使∠OPA=90°，求离心率的范围。
一1、求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程。

2、已知直线l经过点P(1,1),倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。

3、求椭圆。

三、18．

四、14．设椭圆4x2+y2=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．

五、19．的底边以B点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。

20．在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆珠笔上一个运点，且的平分线交PA于Q点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。

六1．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。

\\\\

2．求直线和直线的交点的坐标，及点
与的距离。

\\

3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。

七、1．参数方程表示什么曲线？

2．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。

\

3．已知直线经过点,倾斜角，
（1）写出直线的参数方程。
（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。

八、1．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；

2．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，
求的最小值及相应的的值。

参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答案
田硕

２７．A
【习题分析】
与点M(ρ,θ)关于极轴对称的点有(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)，关于θ=所在直线对称的点有(-ρ,-θ)或(ρ,π-θ)，关于极点对称的点有(-ρ,θ)或(ρ,π+θ)。掌握好点与极坐标的对应关系，及点之间特殊的对称关系是很有用处的。

２８．D
【习题分析】
化为4P=5。即ρ=，表示抛物线，应选D。判断曲线类型一般不外乎直线、圆、圆锥曲线等，因此需化为相应方程即可。

２９．C
【习题分析】
点 P2 坐标为(-ρ1, 2π-θ1)也即为(ρ1, 3π-θ1)，
∴点P1、P2关于θ=所在直线对称，应选C。
判断点的对称，应记忆好相应坐标之间的关系，必要时
可结合图形。

３０．B
【习题分析】
先将椭圆方程化为普通方程，得： +=1。
然后由平移公式。
及在新系中焦点（0, ±4）可得答案，应选B。

【填空】
５．x2+(y-1) 2=1
【习题分析】
将原方程变形为，两边相加即可得x2 + (y - 1)2 =1。

１５．3x2-y2=1
【习题分析】
原方程可化为 4ρ2cos2θ-ρ2 =1。将ρcosθ= x， p2 = x2 + y2
代入上式，得 4x2 - x2 - y2 = 1，即 3x2 - y2 = 1。
【计算】
３．x=-2或2x-y+4=0或2x=y=4=0
【习题分析】
设直线的参数方程为(t 为参数) 代入圆的方程和抛物线的方程，化简并利用| AB | = | CD | tA + tD = tC + tB, 根据韦达定理可迅速获解。
４．
【习题分析】
设： ( t 为参数)，α为直线ι的倾角，
代入抛物线方程整理得：
ι2sin2α - (4cosα) t + 8 = 0
由韦达定理得 t1 + t2 = t1·t2 =。
弦长| t1 - t2 | = 8，整理得 4sin4α+ 3sin2α-1 = 0
解得 sin2α= ∴sinα= ±0 ≤α<π
∴ α=或π
即所求直线ι的方程为 y = ± (x + 2)
５．，，
【习题分析】
不能把原参数方程直接代入 y = 16x2 中，因为原参数不是 标准式，不具有几何意义，在求 | PM | 时不用两点间距离 公式，而用参数的几何意义直接得出。 因而解本题用到两个结论：1． 弦的中点对应参数为： t =，2． 点P(直线经过的定点)到弦中点M的距离|PM=||
６．
【习题分析】
由+y2=1有P(2cosθ,sinθ)，则2x+y=4cosθ+sinθ=
sin(θ+φ)(tanφ= 4), ∴(2x + y)大=。
若已知椭圆(圆或双曲线)上一点，用参数方程来设坐标较方便，用此法可以解决
Ax + By 型的最值问题。
８．7,
【习题分析】
圆心C（1，0），求|AB|的最值，只需求AC的最值，设A（5cosθ,3sinθ） 用两点间距离公式求解|AC|。
解决本题的关键在于将圆上的动点B转化到定点—圆心C。

９．，
【习题分析】
从椭圆中心(抛物线顶点)出发的线段长有关的问题，可将 直接代入普通方程，转化为极坐标方程,
设A（ ρ1，θ），B（ρ2，θ±）则有
S△AOB=| ρ1ρ2 | 进一步处理。
１０． ≤e<1
【习题分析】
设 P(acosθ, bsinθ)(0 <θ< 90°)，
∵∠OPA=90°
∴有·= -1 (a2-b2)cos2θ- acos2θ+ b2=0
解得 cosθ=或cosθ=1(舍)。
∴当≤1，即 a ≥b，也即≤e < 1时，
存在这样的点P，使∠OPA=90°。

练习1参考答案
三、解答题
1、1、如下图，设圆上任一点为P（），则

而点O A符合

2、解：（1）直线的参数方程是
（2）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为

以直线L的参数方程代入圆的方程整理得到
①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。
所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2。
3、（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）

练习3参考答案
18．解：把直线参数方程化为标准参数方程

练习4参考答案
14．取平行弦中的一条弦AB在y轴上的截距m为参数，并设A(x1，

设弦AB的中点为M(x，y)，则

极坐标与参数方程单元练习5
三．解答题（共75分）

练习5参考答案
19.解:设是曲线上任意一点,在
中由正弦定理得:
得A的轨迹是:
20.解:以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,

坐标系与参数方程单元练习6

坐标系与参数方程单元练习6参考答案
一、选择题
1．D
2．B 转化为普通方程：，当时，
3．C 转化为普通方程：，但是
4．C
5．C 都是极坐标
6．C
则或
二、填空题
1．
2．
3． 将代入得，则，而，得
4． 直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为
5． ，取
三、解答题
1．解：（1）设圆的参数方程为，

（2）

2．解：将代入得，
得，而，得
3．解：设椭圆的参数方程为，

当时，，此时所求点为。

坐标系与参数方程单元练习7参考答案
一、选择题
1．C 距离为
2．D 表示一条平行于轴的直线，而，所以表示两条射线
3．D ，得，
中点为
4．A 圆心为
5．D
6．C ，把直线代入
得
，弦长为
二、填空题
1． 而，
即
2． ，对于任何都成立，则
3． 椭圆为，设，

4． 即
5． ，当时，；当时，；
而，即，得
三、解答题
1．解：显然，则

即
得，即
2．解：设，则
即，
当时，；
当时，。
3．解：（1）直线的参数方程为，即
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为

坐标系与参数方程单元练习8参考答案
一、选择题
1．D ，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制
2．B 当时，，而，即，得与轴的交点为；
当时，，而，即，得与轴的交点为
3．B ，把直线代入
得
，弦长为
4．C 抛物线为，准线为，为到准线的距离，即为
5．D ，为两条相交直线
6．A 的普通方程为，的普通方程为
圆与直线显然相切
二、填空题
1． 显然线段垂直于抛物线的对称轴。即轴，
2．,或
3． 由得
4． 圆心分别为和
5．，或 直线为，圆为，作出图形，相切时，
易知倾斜角为，或
三、解答题
1．解：（1）当时，，即；
当时，
而，即
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，即
得
即。
2．解：设直线为，代入曲线并整理得

则
所以当时，即，的最小值为，此时。