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寻找最佳路线——从三角形费马点到立体图形的最佳路线

一、课题的起源

我们知道，在一个三角形中，使到各个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°(在三个内角皆小于120°的三角形的情况下)。那么又该如何证明费马点到三角形的每个顶点距离之和最小呢?而寻找三角形费马点的方法又有什么呢？费马点到三角形的每个顶点距离之和可有公式？进一步讲，在边数大于三的多边形中，到多边形每个顶点距离之和最小的点（可以只是一个点也可以是多个点）的寻找是否同样也存在着规律呢而它们的性质和三角形的费马点的性质又是否一样呢？再进一步的说在平面组合几何，甚至在立体几何中又该如何确定最短路线？

二、演算与研究

i) 费马点到三角形的每个顶点距离之和最小的证明

（1）当有一个内角大于等于120度时候

对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把△APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'
∵∠BAC≥120°
∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'
∴PA+PB+PC≥PP'+PB+P'C'>BC'=AB+AC
所以费马点A（由定义可知）到每个顶点距离之和最小

（2）当所有内角都小于120°时

做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任意一个异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H
易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S
则有2S=d(PA+PB+PC)
∵P'A≥P'H
所以2S△EP'F≤P'A×d
同理有
2S△DP'F≤P'B×d
2S△EP'D≤P'C×d
相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)
即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号所以费马点P（由定义可知）每个顶点距离之和最小

ii) 三角形的费马点的作法  

（1） 三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

（2） 若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

（3）当△ABC为等边三角形时,此时两条角平分线（中线、高线）的交点与费马点重合

iii) 费马点到三角形的每个顶点距离之和的公式

（1）当有一个内角大于等于120度时候，△ABC的费马点在钝角的顶点A，费马点到各顶点的距离等于AB＋AC

（2）当所有内角都小于120°时△ABC的费马点为使连接三顶点所成的三夹角皆为120°的点P，不妨设AB=a,AC=b,BC=c,所对的角分别为A、B、C，PA=x,PB=y,PC=z, 在△ABP,△APC,△BPC中用余弦定理,可得
x²+y²+xy=a²①
y²+z²+yz=b²②
x²+z²+xz=c²③
再由△ABP,△APC,△BPC的面积和与△ABC的面积相等，可得
xy+xz+yz＝×④
①＋②＋③＋3×④得，2×(x+y+z)²=a²+b²+c²+
化简得， (x+y+z)＝

三、进一步探索
以上我们研究的是三角形的费马点的相关问题，接下来让我们讨论一下在边数
大于三的多边形中，到多边形每个顶点距离之和最小的点的寻找是否同样也存在着规律呢而它们的性质和三角形的费马点的性质又是否一样呢？（因
为初中阶段对凹多边形不做要求，所以在此只讨论凸多边形的情况）

图一 图二 图三

首先来讨论四边形里到每个顶点距离之和最小的点的情况，
如果只在四边形内找一个使路程最短的点的话，则此点即为该四边形的对角线的交点
证明如下：
∵对角线为直线
∴对角线 为A、C之间的最小距离
同理对角线 为B、D之间的最小距离
∴对角线的交点P为四边形ABCD内之一点使得到四个顶点的距离和为最小值（图略）

当所要寻找的使四边形里到每个顶点距离之和最小的点有多个时，连接此四边形的对角线，分别作对角线分割而成的左右（或上下）两三角形的费马点并与其所有顶点相连（如图一），测量其连结点处的夹角均为120°
证明如下：
连接四边形的对角线，分别作对角线分割而成的左右（或上下）两三角形的费马点并与其所有顶点相连

∵经过对角线的分割，上述问题就成了找到对角线分割而成的左右（或上下）两三角形的费马点的问题 (而三角形的费马点是最短路线上面已经证过啦,在此便不再证明了)

上述图形称为史坦纳树（史坦纳树是寻找已知各点间最短路径的最佳化问题我们可发现这些点中加入若干规则性的点再加以连接可得最短路径而这些线段会构成一个树状的网络故得名）所找到的点称为史坦纳点
（与费马点有一点相似，但不同的是费马点只可在图形中加入一点而史坦纳点则可加入不只一点直到其路径和最短）

另外，发现到四边形每个顶点距离之和最小的点有两个的总路程小于等于一个的情况，（证明利用三角形的费马点，因为简单在这就不证明啦）

下面再来讨论五边形里到每个顶点距离之和最小的点的情况，
如果只在五边形内找一个使路程最短的点的话
十分复杂，且没有严谨的证明，在这只作为参考，就不给证明了
连其对角线取对角线的五个交点再作五边形再无限重复以上步骤，直到所画的五边形与点差不多时便可取此点作最开始的五边形到每个顶点距离之和最小的点（无图，实在画不出来,见谅）

当所要寻找的使五边形里到每个顶点距离之和最小的点有多个时
先做一任意五边形ABCDE,以AB为边做一正 AAB′以CD为边做一正 CCD′ 做正AAB′ 和正CCD′ 的外接圆，可做CAE′′ 的费马点P 连接PA′会和AAB′的外接圆交于一点T ，连接PC′会和CDC′ 的外接圆交于一点N ，P,T,N即为所求（如图三，证明太复杂，限于篇幅就省略啦）

如果只在六边形内找一个使路程最短的点的话,那这个点就是六边形对角线的交点,证明与四边形的证明相同

而对于所要寻找的使正六边形里到每个顶点距离之和最小的点有多个时则极易看出其到每个顶点距离之和最小的点就是它任意的四个顶点（如图三）测量其连结点处的夹角均为120°（除了三角形,四边形和五边形有证明,可称为史坦纳树以外,尚缺乏其它部分有力之证明,故在寻找的时候,以最接近史坦纳树原本定义之情况,做图形的连接,并不是一定正确的结论，下同）

如果只在边数N大于六的多边形内找一个使路程最短的点,则此点所在的位置与其边数的奇偶性有关,边数是偶数的话,此点就在此多边形对角线的交点,而当其边数是奇数的话,则此点的作法是连其对角线取对角线的N个交点作N边形,再无限重复以上步骤，直到所画的N边形与点差不多时便可取此点作最开始的五边形到每个顶点距离之和最小的点

当在边数N大于六的正多边形中寻找到每个顶点距离之和最小的点有多个时，到多边形每个顶点距离之和最小的点的情况与六边形相似，连接N个点，边N－1条线段即可

图一 图二 图三

图四 图五

既然如此那我们再来研究一下组合几何的最短路线的确定吧，

第一是两个正三角形，画法与画四边形最短路线相同（如图一）

再说说两个正方形，把它们分成两个直角梯形，分别找出他们的最短路线，然后连接即可。（如图二）

接着是两个正五边形，方法与上相同，在此不多讲了（如图三）

在下面就是两个正六边形，非常简单连接十个顶点就行啦（如图四）

最后是两个边数大于六的正多边形，连接2N-4个顶点，和两图形的接处所形成的外三角形的两费马点，共2N-3条线段。（如图五）

更多的相同的正平面几何的一字排开的组合，与上研究基本相同，只需将其分割成你熟悉的基本图形再进行分割就行了。限于篇幅也不一一列举啦，有兴趣的读者可自行研究！

再来就简单的讨论一下正立体几何，画法与上同，只是分割方法有点复杂而已，就此仅列举立方体的情况（当N大于五时，我因水平有限还未找出分割的方法，所以不记在结论中）

如图二，将正方体看成四个三角形与一条线组成，在这之间找八个点，使到得到的距离最短，且可构成一个正方体，再将之画到正方体中即可（如图一）。这就是在立体几何中最短距离的画法

四、结论
由此，我们发现在边数小于六的多边形中，到多边形每个顶点距离之和最小的点的做法与三角形费马点的做法相似。而这些到多边形每个顶点距离之和最小的多个点被称为史坦纳点，而且测量其连结点处的夹角均为120°，即物理上的力的平衡点。当边数大于或等于六的正多边形中，到多边形每个顶点距离之和最小的点的情况相似，都是连接N个点，N－1条线段即可，其中正六边形连结点处的夹角即其内角均为120°。而正平面几何的一字排开的组合也均可将其分割成你熟悉的基本图形再进行分割就行了，正立体图形（三、四、五）用此方法同样可较简单的找出最短路线。

利用这一结论，可以求出任意边数小于六的多边形或边数大于等于六的正多边形中，到多边形每个顶点距离之和最小的点，使得路程最优化，对大规模的工程节省能源有极大的帮助。

五、总结

对于探索数学问题来说，解决问题并不是唯一的目标。从一个问题的解决得到解决一系列问题的思想才是更为可贵的。历史上不乏此类例子。那么，我们也来总结一下以上探索的核心思想。

i) 由初等数学中易于发现的规律开始思考，将该规律进行实验，并从几何方面证明此规律的正确性，为下面的探究打下基础，避免错误的规律导致不必要的无用探究。

ii) 在证明了该规律之后，进行大胆猜想，从最简单的图形延伸到复杂的图形，细心探索，逐步推进，直至问题得到完满的解答。

iii) 对于本例，在探索过程中，从最最基础的三角形费马点开始到寻找边数大于三的多边形里的最短路线再到相同的正平面几何的一字排开的组合的最短路线乃至最后的立体几何的初等最短路线的寻找

iv)最后再仔细检查结论，将一些错误、不完善的地方进行修改，从而得到正确的结论。

综上所述，在探索问题时不仅要注意这一个题目，还应注意此问题在生活中是否有应用，又是否有与其相似的问题存在，若能够找到，对其深入研究的话，就不但能够使这个问题很好的解决，还能让自己生活中的一些事情通过数学更方便，更完美的完成！
参考文献: 《打开魔数箱》(Martin Gandner著)
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