资源描述
解析几何
一、选择题
1、（佛山市 高三）已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与该双曲线的右支交于、两点,若,则的周长为( )
A． B． C． D．
2、（广州市 高三）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的 图1
直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为
A． B． C． D．
3、（惠州市 高三）圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4、（江门市 高三）直线经过点且与圆相切，则直线的方程是
A． B．
C． D．
5、（清远市 高三）直线l过点（－4,0）且与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝25交于A、B两点，如果｜AB｜＝8，那么直线l的方程为（ ）
A、5x－12y＋20＝0 B、x＋4＝0或5x－12y＋20＝0
C、5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 D、x＋4＝0
6、（汕尾市 高三）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7、（韶关市 高三）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线的渐近线于两点，若（为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
8、（深圳市 高三）已知分别是双曲线（）的左、右焦点，点P在C上，若，且，则C的离心率是（ ）
A. B、 C、 D、
9、（珠海市 高三）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于，则C的方程是
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1、（潮州市 高三）圆的圆心到抛物线的准线的距离为
2、（东莞市 高三）已知双曲线的一个焦点与抛物线 y2 ＝20x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_________________
3、（佛山市 高三）已知点、到直线:的距离相等,则的值为
4、（江门市 高三）抛物线的准线方程为
三、解答题
1、（潮州市 高三）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．
求椭圆的标准方程；
求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．
2、（东莞市 高三）如图，已知离心率为的椭圆C：过点M
（2，1）， O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A、B.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求△AOB 面积的最大值；
（3）证明：直线MA、MB 与x 轴围成一个等腰三角形.
3、（佛山市 高三）已知点,,直线,相交于点,且直线的斜率减直线的斜率的差为.设点的轨迹为曲线.
(Ⅰ) 求的方程；
(Ⅱ) 已知点,点是曲线上异于原点的任意一点,若以为圆心,线段为半径的圆交轴负半轴于点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论.
4、（广州市 高三）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，
问是否成立？请说明理由．
5、（惠州市 高三）已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足(为坐标原点)，记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程．
6、（江门市 高三）在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为、，且经过点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若点在椭圆上，且，求的值．
7、（清远市 高三）已知椭圆C的方程为：，椭圆的左右焦点与其短轴的端点构成等边三角形，且满足（c为椭圆C的半焦距）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
8、（汕尾市 高三）椭圆过点，分别为椭圆的左右焦点且。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆交于两点（在的左侧），和都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。
9、（韶关市 高三）设、是焦距等于的椭圆的左、右顶点，曲线上的动点满足，其中和分别是直线、的斜率.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与椭圆只有一个公共点且交曲线于两点，若以线段为直径的圆过点，求直线的方程.
10、（深圳市 高三）如图5，A，B分别是椭圆C：的左右顶点，F为其右焦点，2是｜AF｜与｜FB｜的等差中项，是｜AF｜与｜FB｜的等比中项。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线过点A且垂直于轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线于点Q。证明：Q，P，B三点共线。
11、（珠海市 高三）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点
(1)求抛物线的方程；
(2) 过点作直线交抛物线于、两点，若直线与分别交直线于、两点，当时，求直线的方程。
参考答案
一、选择题
1、D 2、A 3、B 4、B 5、C 6、D
7、B 8、C 9、D
二、填空题
1、2 2、 3、 4、
三、解答题
1、解：（1）由题意得 ①
因为椭圆经过点，所以 ②
又 ③
由①②③解得，．
所以椭圆的方程为．……………………………………….…..4分
（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，
故圆的方程为．………………..………………5分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离．…7分
所以，即，
故，或，
解得，或．
又，故．
所求圆的方程为．………………………….……..9分
（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为．
直线的方程为，直线的方程为．
由，解得，故．….……11分
；
．……………………………………….……………12分
又.
．
所以线段的长为定值．…………………………………………14分
方法二：设，则，，
，．
，． ．…………….11分
又，．
．
为定值．……………………………………….14分
2、解：（1）设椭圆的方程为:．
由题意得:
∴ 椭圆方程为．……………4分
（2）由直线,可设
将式子代入椭圆得：………5分
设,则 ……………6分
由题意可得 △ 于是且………7分
故……8分
当且仅当 即 时,面积的最大值为．………9分
（3）设直线、的斜率分别为、，
则 ……………10分
下面只需证明：，………11分
事实上，
………12分
………13分
故直线、与轴围成一个等腰三角形．……………14分
3、【解析】(Ⅰ)设,依题意得, ……………3分
化简得(),所以曲线的方程为(). ……………5分
(Ⅱ) 结论:直线与曲线相切.
证法一:设,则,圆的方程为, ……7分
令,则,,
因为,所以,点的坐标为, ……………………9分
直线的斜率为,直线的方程为,即,………11分
代入得,即,……………13分
,
所以,直线与曲线相切.……………………………………………………………14分
证法二:设,则,圆的方程为,……………7分
令,则,,
因为,所以,点的坐标为,…………………………………9分
直线的斜率为,…………………………………10分
由得得,过点的切线的斜率为,……………12分
而,所以,……………13分
所以直线与曲线过点的切线重合,
即直线与曲线相切.…………………………………………………………14分
4、（1）解：∵ 椭圆过点，
∴ . ………………………………1分
∵， ………………………………2分
∴． …………………………………3分
∴椭圆的方程为. ………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴方程组 （*） 有且只有一组解．
由（*）得． ……………………………………6分
从而,化简得．① …………………7分
，. ……………9分
∴ 点的坐标为. …………………………10分
由于，结合①式知，
∴. ……………………………11分
∴ 与不垂直. ……………………………12分
∴ 点不是线段的中点. ……………………………13分
∴不成立. ……………………………14分
解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴方程组 （*） 有且只有一组解．
由（*）得． ……………………………………6分
从而,化简得．① …………………7分
， …………………………………………………8分
由于，结合①式知，
设,线段的中点为,
由消去,得.………………………………9分
∴ . ……………………………………10分
若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分
∴ 点与点不重合. ……………………………………12分
∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分
∴ 不成立. ……………………………………14分
5、（1）解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,
∴. （或者用向量：，且得出）
当时,得,化简得. …… 2分
当时, 、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为. …… 4分
(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,
∴直线的斜率存在.
设直线的方程为, …… 5分
由 得.
∵ 直线与曲线相切, 则 ,即.
∴ 直线的方程为 …… 6分
∴ 点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立.此时. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
解法2：由，得， …… 5分
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得. …… 6分
点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
解法3：由，得， …… 5分
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得. …… 6分
点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立,此时. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
6、解：⑴（方法一）依题意，设椭圆的标准方程为（）……1分
……2分，
，∴……4分
……5分，∴……6分
椭圆的标准方程为……7分
（方法二）依题意，设椭圆的标准方程为（）……1分
∵……2分，∴，……3分
∵点在椭圆C上，∴……4分
……5分，解得或（负值舍去）……6分
，椭圆的标准方程为……7分
⑵……9分
点的坐标为……10分
∵点在椭圆上，∴……11分
即……12分，解得或……14分
7、解 (Ⅰ)由题意知： ………… 2分，又∵
………………………… 5分
所以椭圆的方程为： ………………………… 6分
(Ⅱ)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为， ……8分
则以为直径的圆方程是，…… 10分
圆心为，半径为 …… 11分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是，………… 12分
圆心是，半径是 ………… 13分
两圆心距为，所以两圆内切. …………………………… 14分
8、
9、
10、
11、解:(1)由已知可得抛物线的方程为:,且,
所以抛物线方程是: …………………………………2分
(2)设,所以
所以的方程是:,
由,
同理由，…………4分
所以
………………………7分
设,由, …………………………………………9分
……………………………………………10分
化简得………………………12分
解得或………………………………………14分
广东省13市 高三上学期期末考试数学文试题分类汇编
解析几何
一、选择题
1、（佛山市 高三）已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与该双曲线的右支交于、两点,若,则的周长为( )
A． B． C． D．
2、（广州市 高三）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的 图1
直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为
A． B． C． D．
3、（惠州市 高三）圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4、（江门市 高三）直线经过点且与圆相切，则直线的方程是
A． B．
C． D．
5、（清远市 高三）直线l过点（－4,0）且与圆（x＋1）2＋（y－2）2＝25交于A、B两点，如果｜AB｜＝8，那么直线l的方程为（ ）
A、5x－12y＋20＝0 B、x＋4＝0或5x－12y＋20＝0
C、5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 D、x＋4＝0
6、（汕尾市 高三）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7、（韶关市 高三）过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线的渐近线于两点，若（为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
8、（深圳市 高三）已知分别是双曲线（）的左、右焦点，点P在C上，若，且，则C的离心率是（ ）
A. B、 C、 D、
9、（珠海市 高三）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于，则C的方程是
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1、（潮州市 高三）圆的圆心到抛物线的准线的距离为
2、（东莞市 高三）已知双曲线的一个焦点与抛物线 y2 ＝20x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_________________
3、（佛山市 高三）已知点、到直线:的距离相等,则的值为
4、（江门市 高三）抛物线的准线方程为
三、解答题
1、（潮州市 高三）已知椭圆（）经过点，离心率为，动点（）．
求椭圆的标准方程；
求以（为坐标原点）为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值．
2、（东莞市 高三）如图，已知离心率为的椭圆C：过点M
（2，1）， O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A、B.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求△AOB 面积的最大值；
（3）证明：直线MA、MB 与x 轴围成一个等腰三角形.
3、（佛山市 高三）已知点,,直线,相交于点,且直线的斜率减直线的斜率的差为.设点的轨迹为曲线.
(Ⅰ) 求的方程；
(Ⅱ) 已知点,点是曲线上异于原点的任意一点,若以为圆心,线段为半径的圆交轴负半轴于点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论.
4、（广州市 高三）已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，
问是否成立？请说明理由．
5、（惠州市 高三）已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足(为坐标原点)，记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程．
6、（江门市 高三）在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为、，且经过点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若点在椭圆上，且，求的值．
7、（清远市 高三）已知椭圆C的方程为：，椭圆的左右焦点与其短轴的端点构成等边三角形，且满足（c为椭圆C的半焦距）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
8、（汕尾市 高三）椭圆过点，分别为椭圆的左右焦点且。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆交于两点（在的左侧），和都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。
9、（韶关市 高三）设、是焦距等于的椭圆的左、右顶点，曲线上的动点满足，其中和分别是直线、的斜率.
（1）求曲线的方程；
（2）直线与椭圆只有一个公共点且交曲线于两点，若以线段为直径的圆过点，求直线的方程.
10、（深圳市 高三）如图5，A，B分别是椭圆C：的左右顶点，F为其右焦点，2是｜AF｜与｜FB｜的等差中项，是｜AF｜与｜FB｜的等比中项。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线过点A且垂直于轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线于点Q。证明：Q，P，B三点共线。
11、（珠海市 高三）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点
(1)求抛物线的方程；
(2) 过点作直线交抛物线于、两点，若直线与分别交直线于、两点，当时，求直线的方程。
参考答案
一、选择题
1、D 2、A 3、B 4、B 5、C 6、D
7、B 8、C 9、D
二、填空题
1、2 2、 3、 4、
三、解答题
1、解：（1）由题意得 ①
因为椭圆经过点，所以 ②
又 ③
由①②③解得，．
所以椭圆的方程为．……………………………………….…..4分
（2）以OM为直径的圆的圆心为，半径，
故圆的方程为．………………..………………5分
因为以为直径的圆被直线截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离．…7分
所以，即，
故，或，
解得，或．
又，故．
所求圆的方程为．………………………….……..9分
（3）方法一：过点作的垂线，垂足设为．
直线的方程为，直线的方程为．
由，解得，故．….……11分
；
．……………………………………….……………12分
又.
．
所以线段的长为定值．…………………………………………14分
方法二：设，则，，
，．
，． ．…………….11分
又，．
．
为定值．……………………………………….14分
2、解：（1）设椭圆的方程为:．
由题意得:
∴ 椭圆方程为．……………4分
（2）由直线,可设
将式子代入椭圆得：………5分
设,则 ……………6分
由题意可得 △ 于是且………7分
故……8分
当且仅当 即 时,面积的最大值为．………9分
（3）设直线、的斜率分别为、，
则 ……………10分
下面只需证明：，………11分
事实上，
………12分
………13分
故直线、与轴围成一个等腰三角形．……………14分
3、【解析】(Ⅰ)设,依题意得, ……………3分
化简得(),所以曲线的方程为(). ……………5分
(Ⅱ) 结论:直线与曲线相切.
证法一:设,则,圆的方程为, ……7分
令,则,,
因为,所以,点的坐标为, ……………………9分
直线的斜率为,直线的方程为,即,………11分
代入得,即,……………13分
,
所以,直线与曲线相切.……………………………………………………………14分
证法二:设,则,圆的方程为,……………7分
令,则,,
因为,所以,点的坐标为,…………………………………9分
直线的斜率为,…………………………………10分
由得得,过点的切线的斜率为,……………12分
而,所以,……………13分
所以直线与曲线过点的切线重合,
即直线与曲线相切.…………………………………………………………14分
4、（1）解：∵ 椭圆过点，
∴ . ………………………………1分
∵， ………………………………2分
∴． …………………………………3分
∴椭圆的方程为. ………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴方程组 （*） 有且只有一组解．
由（*）得． ……………………………………6分
从而,化简得．① …………………7分
，. ……………9分
∴ 点的坐标为. …………………………10分
由于，结合①式知，
∴. ……………………………11分
∴ 与不垂直. ……………………………12分
∴ 点不是线段的中点. ……………………………13分
∴不成立. ……………………………14分
解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. ………………5分
∵直线与椭圆有且只有一个公共点，
∴方程组 （*） 有且只有一组解．
由（*）得． ……………………………………6分
从而,化简得．① …………………7分
， …………………………………………………8分
由于，结合①式知，
设,线段的中点为,
由消去,得.………………………………9分
∴ . ……………………………………10分
若,得 ,化简得,矛盾. ………………………………11分
∴ 点与点不重合. ……………………………………12分
∴ 点不是线段的中点. ……………………………………13分
∴ 不成立. ……………………………………14分
5、（1）解:设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,
∴. （或者用向量：，且得出）
当时,得,化简得. …… 2分
当时, 、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为. …… 4分
(2) 解法1:∵ 直线与曲线相切,
∴直线的斜率存在.
设直线的方程为, …… 5分
由 得.
∵ 直线与曲线相切, 则 ,即.
∴ 直线的方程为 …… 6分
∴ 点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立.此时. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
解法2：由，得， …… 5分
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得. …… 6分
点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
解法3：由，得， …… 5分
∵直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，
则直线的方程为：，化简得. …… 6分
点到直线的距离 …… 7分
…… 8分
…… 9分
. …… 10分
当且仅当，即时，等号成立,此时. ……12分
∴直线的方程为或. …… 14分
6、解：⑴（方法一）依题意，设椭圆的标准方程为（）……1分
……2分，
，∴……4分
……5分，∴……6分
椭圆的标准方程为……7分
（方法二）依题意，设椭圆的标准方程为（）……1分
∵……2分，∴，……3分
∵点在椭圆C上，∴……4分
……5分，解得或（负值舍去）……6分
，椭圆的标准方程为……7分
⑵……9分
点的坐标为……10分
∵点在椭圆上，∴……11分
即……12分，解得或……14分
7、解 (Ⅰ)由题意知： ………… 2分，又∵
………………………… 5分
所以椭圆的方程为： ………………………… 6分
(Ⅱ)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为， ……8分
则以为直径的圆方程是，…… 10分
圆心为，半径为 …… 11分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是，………… 12分
圆心是，半径是 ………… 13分
两圆心距为，所以两圆内切. …………………………… 14分
8、
9、
10、
11、解:(1)由已知可得抛物线的方程为:,且,
所以抛物线方程是: …………………………………2分
(2)设,所以
所以的方程是:,
由,
同理由，…………4分
所以
………………………7分
设,由, …………………………………………9分
……………………………………………10分
化简得………………………12分
解得或………………………………………14分
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