二次根式全章教案.doc

16.1 二次根式（第1课时）教学任务分析教学目标知识技能使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.数学思考使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性.解决问题培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题.情感态度培养学生辩证唯物主义观点.重点二次根式中被开方数的取值范围.难点二次根式的取值范围.板书设计课题：16.1 二次根式 问题：1，2，3，4 2.例题与练习1.二次根式的定义 总结收获课后反思教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一回顾与思考1的平方根是_；0的平方根是_；16的平方根是_.25的平方根是_；5的算术平方根是_.3直角三角形的两条直角边分别为7和4，斜边为_.4正方形的面积为s,则它的边长为_.活动二接触新知上面3、4题的结果是，他们表示一些正数的算术平方根.1. 二次根式的定义:一般的,我们把形如(0)的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号.2.例题与练习例1.下列各式是否为二次根式?（1）;（2）;（3）;（4）;（5）.解：（1）m20, m2+10 是二次根式.（2）20, 是二次根式;（3）n20,-n20,当n=0时才是二次根式；（4）当-20时是二次根式,当-20时不是二次根式；即当2是二次根式,当0时不是二次根式；（5）当x-y0时是二次根式,当 x-y0时不是二次根式；即当xy是二次根式,当x0，x为任意实数都有意义.练习:1. 一个矩形的面积是18cm2,它的边长之比为2:3,它的边长应为多少？2.当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1） （2）3.已知y=-,求x+y的值.（1）（2）小题学生自己能够解决.（3）小题注意符号问题；（4）小题请学生思考后解答.学生练习1、2两小题是基础题,学生自己能够完成.3题是灵活应用二次根式的取值范围才能解的题目,需要学生认真思考.使学生进一步掌握二次根式取值范围的习题.对第四小题试着讨论.1、2两小题检查中等及以下学生对基础知识的掌握情况.3题检查中等以上学生是否对二次根式的取值范围有更深刻的理解.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动三.总结收获1.二次根式的定义及被开方数的取值范围;2.被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.作业:1.下列各式是否为二次根式?； ； ；.2.当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1) ;(2) ;(3) .学生总结有何收获和经验教训,教师补充.有助于培养学生的总结能力,并让学生总结经验教训有助于学生大胆的说出自己的错误避免今后再出现同样的失误.16.1 二次根式（第2课时）教学任务分析教学目标知识技能使学生初步掌握利用（）2=（0）进行计算.数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（）2=（0）中的应用.解决问题二次根式的非负性和如何利用（）2=（0）解题.情感态度通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（）2=（0）,使学生感受到数学知识的内在联系.重点应用（）2=（0）进行计算.难点利用二次根式的非负性（上一节已谈及二次根式的取值范围）和利用（）2=（0）解题.板书设计课题：16.1 二次根式问题1，2，3 结论：()2=（0） 例1. 总结收获课后反思教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一回忆旧知识问题：1. ，有意义吗？为什么？ 2.表示的意义是什么?3.表示的意义是什么?活动二引入新知识请同学们想一想有没有可能小于零？为什么？0 (0）例1.已知+=0，求xy的值是多少？解：+=0，0且0， =0且=0；即x+3=0且y-5=0解得x=-3,y=5xy=-15.练习:已知+=0，求-b的值.答案：-b=8.活动三探求规律根据算术平方根的意义填空：1.()2=_；2.()2=_；3.()2=_；4.()2=_；5.()2=_；（0） 由于（0）表示非负数的算术平方根，根据平方根的意义，的平方等于，因此我们就得到一个结论： ()2=（0）学生口答1.有意义，因为50；当0时有意义，当0时无意义；2.表示的是5的算术平方根.3.表示的是当0时的算术平方根.学生思考并解释，不完善的地方教师补充.找学生来讲解做法.学生独自思考解题，然后全班同学集体进行交流.请学生口答结果后总结有何规律.1.9;2.3;3.4.0;5.;利用这两个式子复习被开方式的取值范围.复习算术平方根的基本形式.引出初中阶段的第三个非负式.使学生理解非负式的应用.进一步巩固二次根式的非负性.由学生自己发现规律，他们更容易记住.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图例2.计算:（1）（）2；（2）（2）2；（3）（）2.解：（1）（）2=1.7；（2）（2）2. =22（）2=45 =20.（3）（）2=2+1.练习.计算：1.（）2；2.（7）2；3.（）2；4.（）2.解:1.（）2=0.5；2.（7）2=490；3.（）2=4.（）2=2+b2.活动四总结收获1. 注意二次根式的非负性在解题中的应用；2. ()2=（0）的应用范围，一定要注意；3请谈一谈本节所学的内容与哪些学过的知识有联系.作业：计算：1. ;2. ;3. ；4. （1）小题学生口算结果.（2）与学生一起写出过程这里用到公式（b）n=nbn（3）问学生为什么不用给出字母的范围.学生自己计算在小组对答案.1.请学生谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会;2.请你给大家一些建议,在做这种题目是应注意哪学问题.逐层深入使学生对()2=（0）有更深刻的理解.进一步巩固所学内容.使学生大胆的说出自己的想法和错误，以便及时改正.16.1 二次根式（第3课时）教学任务分析教学目标知识技能使学生理解并掌握=,并能利用这一结论进行计算.数学思考通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.解决问题解决了这一类问题的化简问题.情感态度培养学生用分类讨论的思想分析生活中出现的不同事物重点利用=（0）进行计算难点当0时，=-这一结论的推导和应用.板书设计课题16.1 二次根式问题1，2 结论：当（0）时= 归纳小结 例2.计算:课后反思教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一复习旧知识1.()22.()2=_=_；活动二探索填空_=_；_=_；_=_；_=_；_=_；求的是22算术平方根，即求4的算术平方根是2；同理依次可得4，0.1，0；因此，总结出当（0）时=.例1 化简:（1）；（2）；（3）.解：（1）=8；（2）=4；（3）=x2+1.练习.计算：（1）；（2）（3）；（4）.解：（1）=0.3；（2）=；（3）=5；（4）=10-1=0.1=.学生口答第（1）小题（2）小题学生考虑应考虑什么?怎样填写?与学生一起分析填空，同时讲清（0）的意义并总结出规律.（1）（2）两小题学生自己解决；（3）小题提醒学生应注意考虑x的取值范围. 学生独自完成，在全体订正答案.这两道小题的设计目的是复习旧知识,使学生与本节课的内容分开.使学生理解（0）实际上是求2的算术平方根.培养学生的归纳能力虽然x可以取全体实数，但要养成习惯对字母进行讨论. 对负指数的化简学生应多加注意.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动三拓展提高议一议：=_=_；=_=_；=_=_；由上可知,需要a的范围吗？为什么？当a0时，=？= (0) = (0).例2.计算:（1）；（2）；（3）.解:（1）=3；（2）=；（3）=m-1 (m1) =1-m （m1）.代数式定义:用运算符号把数和字母连接起来的式子,叫做代数式.例如:7,x+y,-2ab, , m2,等都是代数式. 活动四归纳小结1. 的化简；2.与（）2的区别;3.代数式定义.与学生一起分析计算,得出完整的结论.（1）（2）两小题学生自己完成；（3）小题仿照结论完成.为学生介绍代数式的基本概念.请学生们回忆本节课所学到的内容,谈谈你的收获和体会,有什么好方法告诉大家.从特殊到一般归纳完整的化简的结论.利用这三个小题进一步使学生对的化简有更深刻的理解.介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备.训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法.教学过程设计问题与情境师生行为设计意图作业：1.计算：(1). ；(2). ；(3). ；(4). .2.已知直角三角形的两条直角边为 和 ,斜边为 .(1)如果 =12, =5,求 ；(2)如果 =3, =4,求 ；(3)如果 =10,=9,求 ；(4)如果 =2,求 . 162 二次根式的乘除第一课时 教学内容 （a0，b0），反之=（a0，b0）及其运用 教学目标 理解（a0，b0），=（a0，b0），并利用它们进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出（a0，b0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=（a0，b0）并运用它进行解题和化简 教学重难点关键 重点：（a0，b0），=（a0，b0）及它们的运用 难点：发现规律，导出（a0，b0） 关键：要讲清（a0,b、0）,并验证你的结论答案: 一、1B 2C 3.A 4.D 二、113 212s三、1设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x210=303020，x2=30302，x=302 a= 验证：a=.162 二次根式的乘除第二课时 教学内容 =（a0，b0），反过来=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简 教学目标 理解=（a0，b0）和=（a0，b0）及利用它们进行运算 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简 教学重难点关键 1重点：理解=（a0，b0），=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简 2难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空 （1）=_，=_； （2）=_，=_； （3）=_，=_； （4）=_，=_规律：_；_；_；_ 3利用计算器计算填空: （1）=_，（2）=_，（3）=_，（4）=_ 规律：_；_；_；_。 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：=（a0，b0），反过来，=（a0，b0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 例1计算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小题利用=（a0，b0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=2（3）=2（4）=2 例2化简： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以达到化简之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）= 三、巩固练习 教材P14 练习1 四、应用拓展 例3已知，且x为偶数，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b0时才能成立因此得到9-x0且x-60，即6x9，又因为x为偶数，所以x=8 解：由题意得，即 60）和=（a0，b0）及其运用 六、布置作业 1教材P15 习题212 2、7、8、9 2选用课时作业设计 第二课时作业设计 一、选择题 1计算的结果是（ ） A B C D2阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ） A2 B6 C D 二、填空题 1分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 2已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_ 三、综合提高题 1有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2计算 （1）（-）（m0，n0） （2）-3（） （a0）答案: 一、1A 2C二、1(1) ;(2) ;(3) 2三、1设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，得：（x）2+x2=（3）2，4x2=915，x=（cm），xx=x2=（cm2）2（1）原式-=-=-=- （2）原式=-2=-2=-a16.2 二次根式的乘除(3)第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求 重难点关键 1重点：最简二次根式的运用 2难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1计算（1），（2），（3） 老师点评：=，=，= 2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比是_ 它们的比是 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1被开方数不含分母； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式 学生分组讨论，推荐34个人到黑板上板书老师点评：不是=. 例1(1) ; (2) ; (3) 例2如图，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 解：因为AB2=AC2+BC2 所以AB=6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm 三、巩固练习 教材P14 练习2、3 四、应用拓展例3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （+）（+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解：原式=（-1+-+-+-）（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用 六、布置作业 1教材P15 习题212 3、7、102选用课时作业设计 第三课时作业设计 一、选择题 1如果（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不对 2把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化简正确的是（ ）A=3 B=C=a2 D =x4化简的结果是（ ） A- B- C- D- 二、填空题 1化简=_（x0） 2a化简二次根式号后的结果是_ 三、综合提高题 1已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程： 解：-a=a-a=（a-1） 2若x、y为实数，且y=，求的值 答案: 一、1C 2D 3.C 4.C 二、1x 2-三、1不正确，正确解答：因为，所以a0，原式-a=-a=-a+=(1-a) 2 x-4=0，x=2，但x+20，x=2，y= .16.3 二次根式的加减(1)第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验，用它来指导根式的计算和化简 重难点关键 1重点：二次根式化简为最简根式 2难点关键：会判定是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减 二、探索新知 学生活动：计算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 老师点评： （1）如果我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？ 2+3=（2+3）=5 （2）把当成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把当成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看为x，看为y 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的 （板书）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例1计算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 三、巩固练习 教材P19 练习1、2 四、应用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 当x=，y=3时， 原式=+6=+3 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并 六、布置作业 1教材P21 习题213 1、2、3、52选作课时作业设计 第一课时作业设计 一、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错误的有（ ） A3个 B2个 C1个 D0个 二、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最后结果是_ 三、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27答案: 一、1C 2A 二、1 26-2 三、1原式=4-=2.2360.452原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-，当x=，y=27时，原式=-=-16.3 二次根式的加减(2)第二课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 运用二次根式、化简解应用题 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固二、探索新知例1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值 解：设x 后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面积为35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米 例2要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度 解：由勾股定理，得 AB=2 BC= 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 32.24+713.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材 三、巩固练习 教材P19 练习3 四、应用拓展 例3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=