二次根式化简常用技巧全.doc

解题技巧 二次根式化简的常用技巧 江苏 朱元生二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：一、巧用乘法公式 例1、化简：解析：本题的关键是对第二个因式提取后，易发现与第一个因式的数量关系，再变形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式.原式=练习：化简：解：原式二、巧用逆运算 例3、化简解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：原式=练习：化简：解：原式三、巧因式分解 对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的.例2、化简 解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.原式=化简：。分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。解：原式= =0.练习：化简（1）（2）解：（1）（2）说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌握式子变形的一些技巧。如本例（2），采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（4）逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，就容易进行分母有理化。练：把下列各式分母有理化：（1）（2）解：（1）原式（2）原式=四、巧拆项、裂项 添项对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.例4、化简解析：本题的关键是将分子中的拆成，分母因式分解，进而裂项化简原式=练习1、化简：解：原式练习2、解:因为巧添项例6化简：解：原式化简： .分析：本题若直接分母有理化显然较复杂，若将分子添加，利用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷.解：=五、巧换元 当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。例5、化简 +解析：注意到与的和为，积为2因此若设=， =则 +=2 ，所以，原式=+= =练习：化简：解：设，则原式.练习：化简：。分析：本题若先计算出将十分复杂，如果将数字转化成字母积的形式，将会出现“柳暗花明又一村”的境界。解：令，则原式。练习：化简。分析：观察式子的结构，分母中含有三项，若将分母中的根式去掉，必须进行两次以上的运算，运算量大。如果用字母代数的方法，将其转化为有理式运算，则可简化运算过程。解：设a, =b, =c,则ac, =bc,a2b2=2.原式ab=。练习1、（第十届初二“希望杯”）已知a、b、c都为正数，且则x与y的大小关系为（）（A）xy（B）xy（C）x=y（D）随a、b、c的取值变化而定 练习2、（十二届初二“希望杯”）化简六、巧构方程 方程法:对于一些带号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x的方程求解.例6、化简 解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 =两边平方，得 即 解得 （不合舍去） 所以 = 练习：化简求值解:设原式=x,则x=两边平方得即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.解:设原式=x,七、巧取倒数 如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再来解决.例7、化简 解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。设原式=，则=， 原式练习：八、平方法对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。解:设原式=x,则所以原式=化简：.分析：观察式子，发现结果大于0，故可先将整个式子先平方，再求其算术平方根.解：设=（，则=3+，因为，所以，即原式=练习1、化简：解：设则即 练习2、化简： 解：设= 显然则 = 大胆地用完全平方公式吧！计算量其实不大。 = = = = = =， 即原式=用这种方法可以很轻松地解决下面这道题题。（4）计算解：令则 =10 把这长串式子平方看起来挺复杂，你用完全平方公式配合平方差公式试试，就这么简单。显然，所以所以原式的结果为。评注：当然，你配方这么做也行。九、配方法（公式法）（巧用韦达定理）在复合二次根式中，如果存在x0,y0,使得例4 化简解：原式=例5 化简（A）(B)（C）5 （D）11. 型二次根式的化简例：化简：（1）（2）（3）解：（1） （2） （3）说明：这是一类复合二次根式的化简问题，化简方法如下：（i）当m=2时，可应用配方法，设法找到两个正数x、y（xy），使x+y=a，xy=b，则，如本例（1）。（ii）当时，设法转化为（i）处理：如果m是大于2的偶数（如本例（2）或被开方数b中含有4的因数（如练习（2），那么可利用根号内（外）因式的移动，容易转化成型。如果m=1，b中又不含有4的因数，那么把根号内式子乘以，即可转化为（i），如本例（3）。如果m是大于1的奇数，那么可先把m移到根号里面，再把根号内式子乘以，转为为（i），如练习（3）。练：化简（1）（2）（3）解：（1） （2） （3）