上海高一数学常用三角函数复习大全.doc

上海高一数学常用三角函数公式大全
一、基本概念
1. 角度弧度
a. 正角（顺时针转），负角（逆时针转），零角
b. 360o=2p
c. 弧度计算： a= lr； 想想通过扇形面积求弧度怎么求？
2. 任意角的三角比
a. r= x2+y2≥0
b. sina= yr cosa= xr tana= yx
c. seca= ry csca= rx cota= xy 与上面定义互为倒数

二、诱导公式 （不用背，记住规律，想想就知道答案）
公式一：
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
　　sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
　　tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）
　　公式二：
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα
　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα
　　公式三：
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
　　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα
　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα
　　公式四：
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π－α）＝sinα 　 　cos（π－α）＝－cosα
　　tan（π－α）＝－tanα 　 　cot（π－α）＝－cotα
　　公式五：
　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（2π－α）＝－sinα 　cos（2π－α）＝cosα
　　tan（2π－α）＝－tanα 　cot（2π－α）＝－cotα
　　公式六：
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
　　sin（π/2＋α）＝cosα 　　 cos（π/2＋α）＝－sinα
　　tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα
　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα
　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα
　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα
　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα
　　tan（3π/2－α）＝cotα　　 cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)

　　注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
诱导公式记忆口诀 ※规律总结※
　　上面这些诱导公式可以概括为：
　　对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，
　　①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
　　②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
　　（奇变偶不变）
　　然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
　　（符号看象限）
　　例如：
　　sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
　　当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
　　所以sin(2π－α)＝－sinα
　　上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。　（理解，并练习）
　　各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．（要求理解并能说明为什么）
　　这十二字口诀的意思就是说：
　　第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
　　第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
　　第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
　　第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
　　还有一种按照函数类型分象限定正负：
　　函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
　　正弦 .........＋..........＋..........—..........—........
　　余弦 .........＋..........—..........—..........＋........
　　正切 .........＋..........—..........＋..........—........
　　余切 .........＋..........—..........＋..........—........

三、同角三角函数基本关系
　　同角三角函数的基本关系式 （理解记忆，不能死记硬背）
　　倒数关系:
　　tanα ·cotα＝1
　　sinα ·cscα＝1
　　cosα ·secα＝1
　　商的关系：
　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
　　平方关系：（知道如何证明自然就记住了）
　　sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
　　1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

四、两角和公式
（后面公式的基础很重要，正反两个方向都要记住，并能灵活应用）
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
（可通过上面的公式推导下面的公式，试试看）
tan(A+B) =
tan(A-B) =
cot(A+B) =
cot(A-B) =

四、倍角／半角公式

倍角公式 （利用两角和公式证明）
tan2A = Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)

半角公式 (怎么证明？一定要知道，条件要知道，根据A的大小可正可负)
sin()= cos()=
tan()= cot()=
tan()==

万能公式 （要求能证明）
sina= cosa= tana=

四、和差化积／积化和差
和差化积 （要求能证明）
sina+sinb=2sincos sina-sinb=2cossin
cosa+cosb = 2coscos cosa-cosb = -2sinsin
tana+tanb=

积化和差 （要求能证明）
sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]
sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]

五、其它变换
（灵活应用上述公式，重要，要求能够证明，不要求死记）
a•sina+b•cosa=×sin(a+c) [其中tanc=]
a•sin(a)-b•cos(a) = ×cos(a-c) [其中tan(c)=]
1+sin(a) =(sin+cos)2
1-sin(a) = (sin-cos)2

六、正余弦定理和解斜三角形
1. 面积公式: S∆ABC= 12acsinB= 12bcsinA= 12absinC
2. 正弦定理：sinAa= sinBb= sinCc or asinA= bsinB= csinC=2R
3. 余弦定理：
a. a2=b2+ c2-2bccosA cosA= b2+c2-a2 2bc
b. b2=a2+ c2-2accosB cosB= a2+c2-b2 2ac
c. c2=a2+ b2-2abcosC cosC= a2+b2-c2 2ab

七、三角函数
侧重理解，掌握，不要死记硬背
1. 正弦函数 y=sinx； 余弦函数 y=cosx
a. 定义域：（－¥，＋¥）
b. 值域：［－1， 1］；最大最小值
i. 取最大（小）值时x的集合
ii. 取0值时x的集合
c. 性质：
i. 周期性，周期：2kπ (k∈Z, k≠0); 最小正周期：2p
ii. 奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数
iii. 单调区间（长度为p的区间）
iv. 图像，根据区间-π，π的图像做平移即可。
2. 正切函数(余切函数) 下面以正切为例
a. 定义域，注意有些点没有 x∈R, x≠kπ+π2, k∈Z
b. 值域：（－¥，＋¥）
c. 周期性：π为周期，也是最小正周期
d. 奇偶性：奇函数
e. 正切函数在(kπ-π2, kπ+π2) (k∈Z)上是增函数；余切函数反之

3. 求函数 y=Asinwx+j （w¹0）的：
· 定义域：（－¥，＋¥）
· 值域：［－A, A］
· 是周期函数.周期T＝2kπω (k∈Z, k≠0); 最小正周期：2π｜ω｜
· 伸缩和平移：y=Asinwx+j＝ Asinw(x+jw) （w¹0）
· 正弦波的一些概念
o A 为振幅 （表示强度）
o f= 1T=ω2π 是频率（周期的倒数，表示每单位时间（秒）内循环往复震动多少次）
o 相位：wx+j （在一个循环周期中的位置）
o 初相：j （零时间点时的相位）