弯曲变形刘鸿文.pptx

工工程程实实例例6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题第六章第六章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形工工程程实实例例工工程程实实例例车床主轴若变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承德配合，造成磨损不匀，产生噪音，降低寿命，还会影响加工精度。正正常常工工作作工程实例工程实例叠板弹簧应有较大的变形，才可以更好地起缓冲减振作用。叠板弹簧应有较大的变形，才可以更好地起缓冲减振作用。工程实例工程实例1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程B1Fx vyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向下的挠度为正，向下的挠度为正转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度，顺时针转动为正，顺时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x)转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系3.计算位移的目的：计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施刚度校核、解超静定梁、适当施工措施第六章第六章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形挠度、转角的定义挠度、转角的定义一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程1.静力学关系静力学关系：2.几何关系几何关系：6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形3.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：yxyx二、积分法求梁的挠曲线二、积分法求梁的挠曲线 2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件:1.式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。1)支承条件：支承条件：2)连续条件：连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的挠曲线是光滑连续唯一的l lFAB maxwmax解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：处弯矩方程为：例例6.1 图示为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，图示为镗刀在工件上镗孔的示意图。为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力镗刀杆的弯曲变形不能过大。设径向切削力F200N，镗刀杆直，镗刀杆直径径d10mm，外伸长度，外伸长度l50mm。材料的弹性模量。材料的弹性模量E210GPa。试求镗刀杆上安装镗刀头的截面试求镗刀杆上安装镗刀头的截面B的转角和挠度。的转角和挠度。yxFx代入数据得代入数据得例例6.3 求图示梁受集中力求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：解：1、求支反力、求支反力6-4 按叠加原理计算弯曲变形按叠加原理计算弯曲变形叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理：梁的变形微小，：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载梁在几项荷载（可以是集中力（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿挠度为同一方向（如均沿 y 轴方向轴方向),其转角是在同一平面内其转角是在同一平面内(如均在如均在 xy 平平面内面内)时时,则叠加就是代数和。则叠加就是代数和。这就是这就是叠加原理叠加原理。例例6.4 桥式起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为桥式起重机的大梁的自重为均布载荷，集度为q。作用于跨度中点的。作用于跨度中点的吊重为集中力吊重为集中力F。试求大梁跨度中点的挠度。试求大梁跨度中点的挠度。P PA Aq qC CB B解：查表得：例例6.5 车床主轴的计算简图可简化成外伸梁，如图所示。车床主轴的计算简图可简化成外伸梁，如图所示。F1为切削力，为切削力，F2为为齿轮传动力。若近似地把齿轮传动力。若近似地把。外伸梁作为等截面梁，试求截面外伸梁作为等截面梁，试求截面B的转角和端点的转角和端点C的挠度。的挠度。ABDCaF2F1ABDCaF2ABDCaF2F1ABDCaF1ABDCaF1ABDCaF1MB=F1a解：将两个载荷分别作用在原结构上，F2作用查表。由于BC段没有载荷，故BC段弯矩为零。代人挠曲线微分方程并积分两次得：由上式看出BC段挠曲线是直线，所以：F1作用时由于没有现成的表格，所以将其分解：1、将B点看成固定端对BC段的变形没有影响。直接查表，但B端转角为零，与原结构不同，原因是AB段的弯矩与原结构不同；2、将F1移到B点并附加力偶MB，查表习题习题 一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI 的的 简支梁受荷载如图所示。简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的试按叠加原理求梁跨中点的挠度挠度 wC和支座处横截面的和支座处横截面的转角转角 A,B。解：将梁上荷载分为两项简解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图所示。单的荷载，如图所示。m mA AB BC CA Aq qC CB Bm mA Aq qC CB B 例例6.6 在简支梁的一部分上作用均布载在简支梁的一部分上作用均布载荷。试求跨度中点的挠度，设荷。试求跨度中点的挠度，设bl/2。ABblqxdxqdx解：解：dxdx段力段力dFdFqdxqdx引起的挠度查表得：引起的挠度查表得：按叠加法，积分得：按叠加法，积分得：先从表中查出两者分别作用先从表中查出两者分别作用时梁的相应位移，然后按叠时梁的相应位移，然后按叠加原理求出其代数和，即得加原理求出其代数和，即得所求的位移所求的位移A Aq qC CB Bm mA AB BC CA Aq qC CB Bm m习题习题 试试利用叠加法，利用叠加法，求图求图a 所示抗所示抗弯刚度为弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度的简支梁跨中点的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A,B。解：解：如图所示梁可视为正对称荷载如图所示梁可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。与反对称荷载两种情况的叠加。A AB BC Cq qA AB BC CA AB B反对称荷载作用下，反对称荷载作用下，可将可将AC段和段和BC段视为受均布线荷载作用且长段视为受均布线荷载作用且长度为度为 l/2 的简支梁的简支梁,因此因此正对称荷载作用下，有正对称荷载作用下，有 将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即可。即可。将相应的位移进将相应的位移进行叠加行叠加,即得。即得。习题习题 一抗弯刚度为一抗弯刚度为EI 的外伸梁受荷载如图的外伸梁受荷载如图a所示所示,试按叠加原理并利用附表试按叠加原理并利用附表,求截面求截面B的转角的转角 B以及以及A端端和和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD解：将外伸梁沿解：将外伸梁沿 B B截面截成两截面截成两段，将段，将AB AB 段看成段看成B B断固定的悬断固定的悬臂梁，臂梁，BC BC 段看成简支梁。段看成简支梁。A AB BC CD Da2 2q qq qa2a2 2q qA AB B2 2qaqaB B截面两侧的相互作用截面两侧的相互作用力为：力为：2qa,2qa,就是就是B B截面的剪力和截面的剪力和弯矩。弯矩。2 2qaqaq qB BC CD DA A简支梁简支梁BC的受力情况与外伸的受力情况与外伸梁梁AC的的BC段的受力情况相同。段的受力情况相同。因此，由简支梁因此，由简支梁BC 求得的求得的 B 及及 wD 就是外伸梁就是外伸梁AC的的 B及及 wD。B BC CD D求求和和q qB BC CD D2q2qaq qB BC CD D2q2qa查附录查附录 1V 1V 得：得：由叠加原理得由叠加原理得求求wA由于简支梁上由于简支梁上B截面的转动，代动截面的转动，代动AB段一起作刚体段一起作刚体运动，使运动，使 A 端产生挠度端产生挠度w1悬臂梁悬臂梁AB本身的弯曲变形，使本身的弯曲变形，使A端产生挠度端产生挠度w22q2qA AB B2qa2qaq qB BC CD DA A求总的求总的wA因此，因此，A A端的总挠度应为端的总挠度应为由表由表6 61 1 查得查得代入上式得代入上式得习题习题 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角和挠度。点转角和挠度。FqwBqwCq BFwBPFq1.在在F作用下：作用下：2.在在q作用下：作用下：3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下：习题习题 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C截截面的挠度面的挠度wC和转角和转角 C1 1）首先，将梁上的载荷变成）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，不改变原来载荷作用的效果，在在AB 段还需再加上集度相同、段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。方向相反的均布载荷。解解解解3 3）将结果叠加）将结果叠加 2 2）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。ABalFCFABalCFaFaBC+1）考虑）考虑AB段段(BC段看作刚体段看作刚体)F作用在支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。Fa使使AB梁产生向上凸的变形。梁产生向上凸的变形。查表得：查表得：则则 习题习题习题习题 怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定叠加法确定叠加法确定w wC C?2）考虑）考虑BC段段(AB段看作刚体段看作刚体)AFaBC所以所以ABalCFa习题习题 图示，一受载荷的悬臂梁，求自由端A点处的挠度和转角解：在分析这种梁的时候，我们把它分成两段来考虑：两段来考虑：由附录中，我们可查得：由附录中，我们可查得：由CA段上无载荷，CA段又是自由端，所以CA段梁变形后仍保持直杆，如图所示，由杆件的变形连续条件变形连续条件可知：习题习题 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。叠加q00.5L0.5LxdxbxwC 补补 弯曲刚度校核弯曲刚度校核 对于梁的挠度对于梁的挠度,其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值其许可值通常用许可的挠度与梁跨长的比值 作为标准。作为标准。梁的刚度条件可表示为梁的刚度条件可表示为在土建结构中，通常对梁的挠度加以限制，例如桥梁的挠度过大，在土建结构中，通常对梁的挠度加以限制，例如桥梁的挠度过大，则在机车通过时将发生很大的振动。在机械制造中，往往对挠度和则在机车通过时将发生很大的振动。在机械制造中，往往对挠度和转角都有一定的限制，例如机床主轴的挠度过大，将影响其加工精转角都有一定的限制，例如机床主轴的挠度过大，将影响其加工精度；传动轴在支座处转角过大，将使轴发生严重的磨损等等。度；传动轴在支座处转角过大，将使轴发生严重的磨损等等。在土建工程中在土建工程中在机械工程中在机械工程中 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处处转角不超过许用数值。转角不超过许用数值。B1 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为：解解例例 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承。轴承B处的许可转处的许可转角角 =0.5。根据刚度要求确定。根据刚度要求确定轴的直径轴的直径d。2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径：习题习题 一简支梁受载如图示，已知许用应力一简支梁受载如图示，已知许用应力160 MPa，许用挠，许用挠度度w=l/500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。解：解：1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：由此得由此得 由型钢表中查得，由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3，惯，惯性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择，可见选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。要求。F=35kN2mAB2ml=4mM习题习题 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的w/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P2BCaPL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP2=2kNBCDAP2BCDAP2BCDACP2BDAMP2BCa=+图图2 2解：结构变换，查表求简单 载荷变形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBxw图图1 1P1=1kNABDC图图3 3P2BCDAM叠加求复杂载荷下的变形P2BCa=+图图2 2PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBxw图图1 1P1=1kNABDC图图3 3P2BCDAM校核刚度习题 变截面梁如图所示，试求跨度中点C的挠度wC。（习题613）FCIABCB解：由对称性看出，跨中截面C的转角为零，挠曲线在C点的切线是水平的，可把变截面梁的CB部分看成悬臂梁。而wC=wB可由叠加法求出。DBICD2I由叠加得习题 滚轮沿简支梁移动时，要求滚轮恰好走一水平路径，试问须将梁的轴线预先完成怎样的曲线？设EI为常数。(习题6-25)解：大梁如按简支梁在任意位置受集中力作用时所产生的挠曲线方程弯曲，则可使大梁上恰好走一水平路径。查表并注意bl-x 可得：ABlF习题 一端固定的板条弯成半圆形。求力偶矩Me及最大正应力smax的数值。设E200GPa。试问这种情况下能否利用弯曲正应力公式？能否用挠曲线近似微分方程？为什么？。(习题6-26)Me6280.4解：曲率半径为由于因为 ，将 代人，且 ，即：即可用 计算应力，而不能用 计算变形。因为 仅表明曲率与弯矩成正比，与抗弯刚度成反比，并对是否大变形无限制，而挠曲线微分方程是近似的公式。ABq I、超静定梁的解法、超静定梁的解法（1）将可动将可动铰铰链支座作看链支座作看多余约束解多余约束解除多余约束，代之以约束反力除多余约束，代之以约束反力RB。得。得到原超静定梁的到原超静定梁的 基本静定系基本静定系。qAB图示为抗弯刚度为图示为抗弯刚度为 EI 的一次的一次超静定梁说明超静定梁的解法。超静定梁说明超静定梁的解法。6-5 简单超静定梁简单超静定梁（2）超静定梁在多余约束处的超静定梁在多余约束处的约束条件，梁的约束条件，梁的 变形相容条件变形相容条件变形相容条件变形相容条件。（3）根据变形相容条件得）根据变形相容条件得变形几何方程变形几何方程变形几何方程为变形几何方程为（4）将力与变形的关系代入）将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程查表得查表得qABqABBA 补充方程补充方程 为为由该式解得由该式解得求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力ABq代以与其相应的多余反力偶代以与其相应的多余反力偶 mA 得基本静定系。得基本静定系。变形相容条件为变形相容条件为请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成请同学们自行完成 ！方法二方法二取支座取支座 A 处阻止梁转动的约束处阻止梁转动的约束为多余约束。为多余约束。ABq例题例题6 67 7：梁梁 A C 如图所示如图所示,梁的梁的 A 端用一钢杆端用一钢杆 AD 与梁与梁 AC 铰铰接接,在梁受荷载作用前在梁受荷载作用前,杆杆 AD 内没有内力内没有内力,已知梁和杆用同样的已知梁和杆用同样的钢材制成钢材制成,材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E,钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为 I,拉杆横拉杆横截面的面积为截面的面积为 A,其余尺寸见图其余尺寸见图,试求钢杆试求钢杆 AD 内的拉力内的拉力 N。a2aABCq2qD解：这是一次超静定解：这是一次超静定问题。将问题。将 AD 杆与梁杆与梁 AC 之间的连结绞看之间的连结绞看作多于约束。拉力作多于约束。拉力 N 为多余反力。基本静为多余反力。基本静定系如图定系如图BCq2qANADNA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即点。即ADBCq2qA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即点。即NN变形几何方程为变形几何方程为根据叠加法根据叠加法A端的挠度为端的挠度为可算出可算出拉杆拉杆 AD 的伸长为的伸长为补充方程为补充方程为由此解得由此解得例题例题68：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。：求图示梁的支反力，并绘梁的剪力图和弯矩图。已知已知 EI=5 103 KN.m3。4m3m2mABDC30KN解：这是一解：这是一次超静定问题次超静定问题取支座取支座 B 截面上的相对截面上的相对转动约束为多余约束。转动约束为多余约束。基本静定系为在基本静定系为在 B 支座支座截面上安置铰的静定梁，截面上安置铰的静定梁，如图如图 所示。所示。DCAB30KN多余反力为分别作用于多余反力为分别作用于简支梁简支梁AB 和和 BC 的的 B端端处的一对弯矩处的一对弯矩 MB变形相容条件为，简支梁变形相容条件为，简支梁 AB的的 B 截面转角和截面转角和 BC 梁梁 B 截面的转角相等截面的转角相等。由表中查得由表中查得补充方程为补充方程为解得解得负号表示负号表示 B 截面弯矩截面弯矩与假设相反。与假设相反。+-32.0547.9518.4011.64+-25.6831.8023.281.603m由基本静定系的平衡方程由基本静定系的平衡方程可求得其余反力可求得其余反力在基本静定系上绘出剪力图在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图。和弯矩图。CADB30KN习题习题 两根钢制悬臂梁AB和CD与长为4m的一绷紧的钢丝BC，在无初载荷的情况下相连接，如图所示。连接后钢丝温度下降500C，试求钢丝内产生的应力。已知梁AB，CD和钢丝BC的弹性模量E200GPa，梁的惯性矩I10106mm4，钢丝横截面面积A60mm2；钢丝线膨胀系数a12106/0C。4m1.5m1.5mBACD习题习题 图示为水平放置的两个悬臂梁，两梁在自由端处叠加在一起，梁的长度及梁上荷载如图所示，已知两梁的弯曲刚度相同。试分别画出两梁的弯矩图。2aaCBAEIEIF习题习题 如图所示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI=24106Nm2，由钢杆CD相连接。CD杆的l=5m,A=3104m2，E200GPa。若P=50kN，试求悬臂AD在D点的挠度。2m2mPECDAB习题习题 图示静不定梁，等截面梁图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度的抗弯刚度EI，拉杆，拉杆BD的抗拉的抗拉 刚度刚度EA，在，在F力作用下，试求力作用下，试求BD杆的拉力和截面杆的拉力和截面C的挠度的挠度。Fl/2l/2ABCDl1 1、选择基本静定梁。、选择基本静定梁。解：解：Fl/2l/2ABC2 2、列出变形协调条件。、列出变形协调条件。而而（1）代入代入（1）：）：解得：解得：3 3、在基本静定梁上由叠加法求、在基本静定梁上由叠加法求 。在在F力单独作用下：力单独作用下：在在 力单独作用下：力单独作用下：Fl/2l/2ABC解得：解得：在本例中，在在本例中，在F力作用下，拉杆力作用下，拉杆BD伸长，因而伸长，因而B处下处下移，移，B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即解得：解得：在本例中，在在本例中，在F力作用下，拉杆力作用下，拉杆BD伸长，因而伸长，因而B处下处下移，移，B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即 1.调整跨长和改变结构；减小弯矩的数值调整跨长和改变结构；减小弯矩的数值 缩短跨长：缩短跨长：如如将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。2.选择合理的截面形状；增大梁的抗弯刚度选择合理的截面形状；增大梁的抗弯刚度 EI；主要增主要增大大I值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。积分布在距中性轴较远的地方。例如例如：工字形、箱形等。工字形、箱形等。qlABqlABqAB 6-6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施纯弯曲时梁的纯弯曲时梁的弯曲应变能弯曲应变能为：为：横力弯曲时梁的横力弯曲时梁的弯曲应变能弯曲应变能为：为：F 例五例五 计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算计算图示悬臂梁的弯曲应变能，并计算B点的挠度点的挠度vB，已知梁的，已知梁的弯曲刚度为弯曲刚度为EI。解：解：1、梁任一截面的弯矩为：、梁任一截面的弯矩为：2、弯曲应变能为：、弯曲应变能为：3、计算、计算B点的挠度点的挠度vB 5-4 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能