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2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（　　）
A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}
C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4} D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}
3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（　　）
A．f（x）＝|sinx| B．f（x）＝ln
C．f（x）＝（ex﹣e﹣x） D．f（x）＝ln（﹣x）
5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（　　）

A． B． C． D．
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　）
A．[﹣] B．[] C．[0，] D．[]
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．16+（32+16+16）π B．16+（16+16+16）π
C．16+（32+32+32）π D．16+（16+32+32）π
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q点的轨迹为（　　）
A．双曲线的一支（一部分） B．圆弧（一部分）
C．线段（去掉一个端点） D．抛物线的一部分
11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的
13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为　 　
14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是　 　
15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有　 　种．（用数字作答）．
16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是　 　．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分
17．（12分）已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1+b2+b3＝12．
（I）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）令cn＝+an，求数列{cn}的前n项和Sn．

18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．
（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．
（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．
组数
分组
天数
第一组
[50，80）
3
第二组
[80，110）
4
第三组
[110，140）
4
第四组
[140，170）
6
第五组
[170，200）
5
第六组
[200，230）
4
第七组
[230，260）
3
第八组
[260，290）
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．

20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．
（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．

2019年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（5分）若复数（a∈R）的实部和虚部相等，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
【解答】解：∵复数＝的实部和虚部相等，
∴，解得a＝．
故选：C．
2．（5分）已知集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，则（　　）
A．M∪N＝R B．M∪N＝{x|﹣3≤x＜4}
C．M∩N＝{x|﹣2≤x≤4} D．M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}
【解答】解：∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，
N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，
∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，
M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．
故选：D．
3．（5分）已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足•≥0的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）
设M（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（4﹣x，﹣y），
由•≥0得：（x﹣2）2+y2≥4，
由几何概型可得：p＝＝1﹣＝，
故选：B．
4．（5分）下列函数既是奇函数，又在[﹣1，1]上单调递增的是（　　）
A．f（x）＝|sinx| B．f（x）＝ln
C．f（x）＝（ex﹣e﹣x） D．f（x）＝ln（﹣x）
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝|sinx|，为偶函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝ln，其定义域为（﹣e，e），有f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），为奇函数，
设t＝＝﹣1+，在（﹣e，e）上为减函数，而y＝lnt为增函数，
则f（x）＝ln在（﹣e，e）上为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝（ex﹣e﹣x），有f（﹣x）＝（e﹣x﹣ex）＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，
且f′（x）＝（ex+e﹣x）＞0，在R上为增函数，符合题意；
对于D，f（x）＝ln（﹣x），其定义域为R，
f（﹣x）＝ln（+x）＝﹣ln（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，
设t＝﹣x＝，y＝lnt，t在R上为减函数，而y＝lnt为增函数，
则f（x）＝ln（﹣x）在R上为减函数，不符合题意；
故选：C．
5．（5分）在△ABC中，三边长分别为a，a+2，a+4，最小角的余弦值为，则这个三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设最小角为α，故α对应的边长为a，
则cosα＝＝，解得a＝3．
∵最小角α的余弦值为，
∴＝．
∴＝．
故选：A．
6．（5分）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：由题意及图，＝，
又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），
又＝t+，所以，解得m＝，t＝，
故选：C．
7．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2+（y+）2＝1上一点，则|MN|+|MF2|的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：由题意可得2a＝6，即a＝3，
渐近线方程为y＝±x，即有＝，
即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，
焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），
由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，
由圆E：x2+（y+）2＝1可得E（0，﹣），半径r＝1，
|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，
连接EF1，交双曲线于M，圆于N，
可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|＝＝4，
则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．
故选：B．

8．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（　　）
A．[﹣] B．[] C．[0，] D．[]
【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
则：T＝π，
所以：ω＝2
将函数f（x）的图象向左平移后，
得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，
故：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
由于：，
所以：当k＝0时．
则，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为：[]，
由于[]⊂[]，
故选：B．
9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．16+（32+16+16）π B．16+（16+16+16）π
C．16+（32+32+32）π D．16+（16+32+32）π
【解答】解：根据几何体的三视图得到：
该几何体是由：上面是一个长方体，下面是由两个倒扣的圆锥构成，
故：上面的正方体的表面积为：，
设中间的圆锥展开面的圆心角为n，
所以：，
解得：n＝，
所以圆锥的展开面的面积为S＝，
所以：中间的圆锥的表面积为，
同理得：
下面的圆锥的表面积为，
所以总面积为：S＝，
故选：A．
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的底面为等腰直角三角形，AB⊥AC，点M，N分别是边AB1，A1C上动点，若直线MN∥平面BCC1B1，点Q为线段MN的中点，则Q点的轨迹为（　　）
A．双曲线的一支（一部分） B．圆弧（一部分）
C．线段（去掉一个端点） D．抛物线的一部分
【解答】解：如图
当N与C重合，M与B1重合时，MN⊂平面BCC1B1，
MN的中点为O；
当N与A1重合，M与A重合时，MN∥平面BCC1B1，
MN的中点为H；
一般情况，如平面PQRK∥平面BCC1B1，可得点M，N，
取MN的中点D，作DE⊥KR于E，
NF⊥KR于F，
易知，E为KR中点，且D在OH上，
故选：C．

11．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcos60°＝a2+b2﹣ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（ ） 2，
∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2＝（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）＝|CD|．
∴≥1，即的最小值为1．
故选：B．

12．（5分）已知函数f（x）＝，设A＝{x∈Z|x（f（x）﹣a）≥0，若A中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a的个数为（　　）
A．31 B．32 C．33 D．34
【解答】解：∵x＝0∈A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可．
画出f（x）的图象如下图：

当x＞0时，f（x）≥a；当x＜0时，a≥f（x）．
即y轴左侧的图象在y＝a下面，y轴右侧的图象在y＝a上面，
∵f（3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f（4）＝﹣3×16+24＝﹣24，
f（﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4，f（﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，
平移y＝a，由图可知：
当﹣24＜a≤﹣9时，A＝{1，2，3}，符合题意；
a＝0时，A＝{﹣1，1，2}，符合题意；
2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；
4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；
∴整数a的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的
13．（5分）已知（）n的展开式的各项系数和为64，则展开式中x3的系数为　20　
【解答】解：令x＝1，可得（）n的展开式的各项系数和为2n＝64，∴n＝6，
故（）n＝（）6的展开式的通项公式为Tr+1＝•x3r﹣6，令3r﹣6＝3，可得r＝3，
故展开式中x3的系数为＝20，
故答案为：20．
14．（5分）已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是　[﹣13，﹣4]　
【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图：

A（2，3），解得B（，），
z＝的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．
∵kDA＝＝﹣4，kDB＝＝﹣13．
∴z＝的取值范围是[﹣13，﹣4]．
故答案为：[﹣13，﹣4]．

15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有　144　种．（用数字作答）．
【解答】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，
分别记为A，B，C，D，E，F，
由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．
第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共＝4（种）选法
第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共＝72（种）排法，
第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以＝2即可，
即六场的排法有4×72÷2＝144（种）
故答案为：144．
16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是　①②⑤　．

【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，
当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，
∴函数的周期是4．
因此最终构成图象如下：
①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；
②，由图象即分析可知函数的周期是4．
即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；
③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，
故③错误；
④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；
⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，
故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分
17．（12分）已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1+b2+b3＝12．
（I）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）令cn＝+an，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（I）数列{an}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，
数列{bn}满足bn＝log2an，且b1+b2+b3＝12，
即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，
log2（a1a2a3）＝12，即a23＝212，
即有a2＝16，q＝4，
则an＝4n；
（Ⅱ）bn＝log2an＝log24n＝2n，
cn＝+an＝+4n＝﹣+4n，
前n项和Sn＝（1﹣+﹣+…+﹣）+（4+16+…+4n）
＝1﹣+
＝+．
18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为，点F在PC上移动．
（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．
（Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，
E、M分别是BC、PD上的中点，
∴AE⊥PA，AE⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD，
∵点F在PC上移动，∴AE⊂平面AEF，
∴无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD．
解：（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正弦值为，点F恰为PC的中点时，
以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，AP＝x，则E（，0，0），M（0，1，），
＝（），平面PAD的法向量＝（1，0，0），
∴|cos＜＞|＝＝＝，
解得x＝AP＝2，
C（，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
＝（），＝（），＝（），
设平面ACF的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），
设平面AEF的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），
设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．

19．（12分）2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善，郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
（Ⅰ）若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQ的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
（Ⅱ）如图是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180）内．
组数
分组
天数
第一组
[50，80）
3
第二组
[80，110）
4
第三组
[110，140）
4
第四组
[140，170）
6
第五组
[170，200）
5
第六组
[200，230）
4
第七组
[230，260）
3
第八组
[260，290）
1
①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动．以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设重度污染区AQI的平均值为x，则
74×2+114×5+2x＝118×9，
解得x＝172；
（Ⅱ）①11月份仅有一天AQI在[170，180）内，则AQI小于180的天数为18天，
则该校周日去进行社会实践活动的概率为P＝＝；
②由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；
计算P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P

数学期望为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
20．（12分）设M点为圆C：x2+y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N．动点P满足2＝，动点P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx+m与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点），且满足||＝||，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），
则N（x0，0），
∴，，
∵，
∴x0＝x，，
代入圆的方程得，，
即，
故动点P的轨迹为E的方程为：
；
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知，D（﹣2，0），
∵，
∴DA⊥DB，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y得：
（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
∴，，…①
∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）
＝，…②
由DA⊥DB得：
，
即﹣y1y2＝x1x2+2（x1+x2）+4，…③
由②③得：＝0，…④
把①代入④并整理得：7m2﹣16km+4k2＝0，
得：（7m﹣2k）（m﹣2k）＝0，
即m＝或m＝2k，
故直线l的方程为y＝k（x+），或y＝k（x+2），
当直线l的方程为y＝k（x+）时，l过定点（﹣）；
当直线l的方程为y＝k（x+2）时，l过定点（﹣2，0），这与A，B不是左顶点矛盾．
故直线l的方程为y＝k（x+），过定点（﹣）．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．
（I）当x＝1时，f（x）取得极值，求a的值并判断x＝1是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）当函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，总有＞t（4+3x1﹣x）成立，求t的取值范围．
【解答】解：（I）f′（x）＝2x﹣8+，（x＞0），∵当x＝1时，f（x）取得极值，
∴f′（1）＝2﹣8+a＝0，解得a＝6，
此时，f（x）＝x2﹣8+6lnx，f′（x）＝2x﹣8+＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，
故x＝1是极大值点；
（II）当函数f（x）在（0，+∞）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）且x1≠1时，
则u（x）＝2x2﹣8x+a＝0在（0，+∞）上有两个不等正根．
∴，∴0＜a＜8．
∴x1+x2＝4，x1x2＝，0＜x1＜x2，
∴x2＝4﹣x1，a＝2x1x2＝2x1（4﹣x1），可得0＜x1＜2．
∴＞t（4+3x1﹣x）成立，即＞t（4﹣x1）（x1+1），
即＞t（x1+1），即﹣t（x1+1）＞0，
即[2lnx1+]＞0，且0＜x1＜1时，＞0．
1＜x1＜2时，＜0．即h（x）＝2lnx+（0＜x＜2）．
h′（x）＝ （0＜x＜2），
①t＝0时，h′（x）＝＞0．∴h（x）在（0，2）上为增函数，且h（1）＝0，
∴x∈（1，2）时，h（x）＞0，不合题意舍去．
②t＞0时，h′（x）＞0．同①不合题意舍去．
③t＜0时，（i）△≤0时，解得t≤﹣1，h′（x）≤0，
在（0，2）内函数h（x）为减函数，且h（1）＝0，可得：0＜x＜1时，h（x）＞0．
1＜x＜2时，h（x）＜0，
∴[2lnx+]＞0成立．
（ii）△＞0时，﹣1＜t＜0，h′（x）分子中的二次函数对称轴x＝﹣＞1，开口向下，
且函数值＝2（t+1）＞0，即a＝min{﹣，2}，
则x∈（1，a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（1）＝0，h（x）＞0，故舍去．
综上可得：t的取值范围是t≤﹣1．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．
（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．
【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，
整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，
转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，
A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，
将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．
所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，
转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．
（Ⅱ）由于射线θ＝（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，
则：|OQ|＝，
|OP|＝，
所以：，
，
所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝时，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）a＝时，|3x﹣1|+|2x﹣2|＞6，
故或或，
解得：x＞或x＜﹣，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；
（Ⅱ）若对任意x0∈R，不等式f（x0）+3x0＞4+|2x0﹣2|都成立，
则|3x0﹣2a|+3x0＞4恒成立，
故x0≥a时，6x0＞2a+4恒成立，
故6×a＞2a+4，解得：a＞2，
x0＜a时，2a＞4，解得：a＞2，
综上，a∈（2，+∞）．
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