高考数学复习排列组合.doc

排列、组合及其应用一、知识要点：1、排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。所有排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数，用符号表示。2、排列数公式：=（）；规定： 1。3、组合的概念：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示。4、组合数公式：=5、组合数的性质（1）；规定： 1 ；（2） 。二、典型范例：例1：解方程：。 分析：此题由于一定大于和，所以只需要大于3，而方程的左边可以通过组合数的性质（2）进行计算，另外此题适合用阶乘表示。解：由，得 解得或点评：涉及排列数或者组合数的不等式，首先要注意使式子有意义，其次是根据情况，将或写成展开形式或者阶乘形式。例2：有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”解：(1)法一(元素分析法) 先排甲有6种, 其余有种, 故共有种排法法二(位置分析法) 除了甲之外的8个人排在中间和两端的位置，有种排法，包括甲在内的其余6人排在其它位置，有种排法,故共有种排法法三(等机会法) 9个人的全排列数有种, 甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是种法四(间接法)种(2) 先排甲、乙，再排其余7人,共有(3)(插空法)先排4名男生有种排法,再将5 名女生插空有种排法,故共有种排法点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、优先考虑特殊元素（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路例3：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选（2）A、B、C三人不能入选（3）A、B 、C三人只有一人入选（4）A、B、C三人至少一人入选（5）A、B、C三人至多二人入选。分析：(1) A、B、C三人必须入选，则只需从余下的9人之中选择2人；（2）A、B、C三人不能入选, 则需从余下的9人之中选择5人；（3）此小题要分步进行，先从A、B 、C三人选1人，有种，再从其余9人之中选择4人，有种，运用乘法原理，共有CC种；（4）此小题要分类考虑，即A、B 、C三人只选1人，只选2人和3人都选；也可以用间接法；（5）此小题用直接法考虑分三类（即A、B 、C三人只选1人，只选2人和都没有选），用间接法要简单一些。解：(1)C=36 (2)C=126 (3)CC=378 (4)CC+CC+CC=666(5)CC+ CC+ CC (或CC)=756点评：组合问题，要注意是否需要分类或者分步，还要注意避免重复，比如（4）小题，不能先从A、B 、C三人中选1人，再在未被选的11人中选4人，即是错误的。三、课堂练习：一、选择题1方程的解集为（ ） 解：或，所以或9，选D2.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.3. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个解：任一个五位的奇数都符合要求，共有个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.4从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为A B C D解：先从5双鞋中选1双，有种，再从其余4双鞋中选2双，有种，在这2双鞋中每双取1只，都有种，根据分步计数原理，共有=120种，选A二、填空题5. 设 则的值为 。解：由题意可得：，解得，或或，当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11所求值为4或7或116. ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_.解：1057、若则自然数_.解： 8.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有 种分配方案。解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。三、解答题97个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头;（2）甲不排头，也不排尾;（3）甲、乙、丙三人必须在一起;（4）甲、乙之间有且只有两人;（5）甲、乙、丙三人两两不相邻;（6）甲在乙的左边（不一定相邻）;（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序;（8）甲不排头，乙不排当中;解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，则共有种；（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有，则共有种；（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，即种；（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即10. 现有4 个不同的球与4个不同的盒子，把球全部放入盒内，（1）共有多少种放法？（2）恰有1 个盒子不放球，共有多少种不同的放法？（3）恰有1 个盒子内有2球，共有多少种不同的放法？（4）恰有2 个盒子不放球，共有多少种不同的放法？解：（1）每个球均有4种不同的放法，故所有的放法有4444=256种（2）恰有一个盒子不放球，也即有一个盒子放两个球，另两个盒子各放一个球的放法有种，（3）恰有一个盒子放两个球，也即有一个盒子不放球，另两个盒子各放一个球的放法有种，（4）分两类，一类是一个盒子放3个球，另一个盒子放1个球，共种放法，另一类是两个盒子均放两个球，共有种放法，故所有的不同放法共有种。11.用共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数？分析：位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是，由于个位用或者不用数字，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用或者用进行分类一个自然数能被整除的条件是所有数字之和是的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字进行分类解：(1)就个位用还是用分成两类，个位用，其它两位从中任取两数排列，共有(个)，个位用或，再确定首位，最后确定十位，共有(个)，所有位偶数的总数为：(个)(2)从中取出和为的倍数的三个数，分别有下列取法：、，前四组中有，后四组中没有，用它们排成三位数，如果用前组，共有(个)，如果用后四组，共有(个)，所有被整除的三位数的总数为(个)例1： 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1） 分成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3） 分成每组都是2本的三个组；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；（5） 分给5人每人至少1本。分析：（1）先从6本书中取1本，有种，再从余下5本书中取2本，有种，最后从余下3本书中取3本，有种，利用分步计数原理，得；（2）采用先分堆再分给3个人的方法，即在分组的基础上，乘以；（3）这是平均分组问题，由于有重复，所以要除以；（4）可看作在前一小题分组的基础上，再分给3个人，乘以；（4）一般采用先分堆再分给5个人的方法，将6本书分成5堆的方法是从6本书中选择2本作为1堆，有种，其余4本分成4堆，只有1种分法，再将5堆分给5个人有种，利用分步计数原理，得。解：（1）=60； （2）=360； （3）=15 （4）=90 （5）=1800点评：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。例2：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）分析：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件的分配方案有=36种。解： =36。点评：对于不同元素的分配问题，如果出现“粥多僧少”，应先将元素分成几堆，再将各堆分配到每个位置。例3：用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析： 先给号区域涂色有5种方法，再给号涂色有4种方法，接着给号涂色，方法有3种，由于号与、不相邻，因此号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有解：点评：此题是对每一块分别确定颜色的种数，然后运用乘法原理。但是有些题比较复杂，可以考虑根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。四、课后作业1. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ( )A.8种B.12种C.16种D.20种解：选B2. 在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 ( )解：选C3.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）A.12种 B.18种 C.36种 D.54种解：选B4. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ） （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解： 人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有90种，若是1,1,3，则有90种，所以共有150种(2) +=150，选A5.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。解：12606.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?解：CC=20种7. 马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，则满足条件的关灯方法有_种. A B BA解：让三只不亮的灯插空,C=208. 从一个34的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有_条;解：最短路径须走七步，只需确定哪三步向上，种走法11.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。9. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解： 依题意至少要用3种颜色：1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有种；243152) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72