高考数学复习排列组合.doc

排列、组合及其应用
一、知识要点：
1、排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。所有排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数，用符号表示。
2、排列数公式：=（）；规定： 1。
3、组合的概念：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示。
4、组合数公式：=
5、组合数的性质（1）；规定： 1 ；（2） 。
二、典型范例：
例1：解方程：。
分析：此题由于一定大于和，所以只需要大于3，而方程的左边可以通过组合数的性质（2）进行计算，另外此题适合用阶乘表示。
解：由，得

解得或
∵
∴
点评：涉及排列数或者组合数的不等式，首先要注意使式子有意义，其次是根据情况，将或写成展开形式或者阶乘形式。
例2：有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
分析：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”．
解：(1)法一(元素分析法) 先排甲有6种, 其余有种, 故共有种排法
法二(位置分析法) 除了甲之外的8个人排在中间和两端的位置，有种排法，包括甲在内的其余6人排在其它位置，有种排法,故共有种排法
法三(等机会法) 9个人的全排列数有种, 甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是种
法四(间接法)种
(2) 先排甲、乙，再排其余7人,共有
(3)(插空法)先排4名男生有种排法,再将5 名女生插空有种排法,故共有种排法
点评：本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、优先考虑特殊元素（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．
例3：要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？
（1）A、B、C三人必须入选
（2）A、B、C三人不能入选
（3）A、B 、C三人只有一人入选
（4）A、B、C三人至少一人入选
（5）A、B、C三人至多二人入选。
分析：(1) A、B、C三人必须入选，则只需从余下的9人之中选择2人；（2）A、B、C三人不能入选, 则需从余下的9人之中选择5人；（3）此小题要分步进行，先从A、B 、C三人选1人，有种，再从其余9人之中选择4人，有种，运用乘法原理，共有CC种；（4）此小题要分类考虑，即A、B 、C三人只选1人，只选2人和3人都选；也可以用间接法；（5）此小题用直接法考虑分三类（即A、B 、C三人只选1人，只选2人和都没有选），用间接法要简单一些。
解：(1)C=36
(2)C=126
(3)CC=378
(4)CC+CC+CC=666
(5)CC+ CC+ CC (或C–C)=756
点评：组合问题，要注意是否需要分类或者分步，还要注意避免重复，比如（4）小题，不能先从A、B 、C三人中选1人，再在未被选的11人中选4人，即是错误的。
三、课堂练习：
一、选择题
1．方程的解集为（ ）
． ． ． ．
解：或，所以或9，选D
2.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.
3. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个        （B）48个     （C）66个       （D）72个
解：任一个五位的奇数都符合要求，共有个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.
4．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为
A． B． C． D．
解：先从5双鞋中选1双，有种，再从其余4双鞋中选2双，有种，在这2双鞋中每双取1只，都有种，根据分步计数原理，共有=120种，选A
二、填空题
5. 设 则的值为 。
解：由题意可得：，解得，
∵，∴或或，
当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．
∴所求值为4或7或11．
6. ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为_____.
解：105
7、若则自然数_____.
解：

8.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有 种分配方案。
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
三、解答题
9．7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲排头;
（2）甲不排头，也不排尾;
（3）甲、乙、丙三人必须在一起;
（4）甲、乙之间有且只有两人;
（5）甲、乙、丙三人两两不相邻;
（6）甲在乙的左边（不一定相邻）;
（7）甲、乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序;
（8）甲不排头，乙不排当中;
解：（1）甲固定不动，其余有，即共有种；
（2）甲有中间个位置供选择，有，其余有，即共有种；
（3）先排甲、乙、丙三人，有，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于人的全排列，即，则共有种；
（4）从甲、乙之外的人中选个人排甲、乙之间，有，甲、乙可以交换有，把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于人的全排列，则共有种；
（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排这五个空位，有，则共有种；
（6）不考虑限制条件有，甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，即种；
（7）先在个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即
（8）不考虑限制条件有，而甲排头有，乙排当中有，这样重复了甲排头，乙排当中一次，即
10. 现有4 个不同的球与4个不同的盒子，把球全部放入盒内，
（1）共有多少种放法？
（2）恰有1 个盒子不放球，共有多少种不同的放法？
（3）恰有1 个盒子内有2球，共有多少种不同的放法？
（4）恰有2 个盒子不放球，共有多少种不同的放法？
解：（1）每个球均有4种不同的放法，故所有的放法有4·4·4·4=256种
（2）恰有一个盒子不放球，也即有一个盒子放两个球，另两个盒子各放一个球的放法有种，（3）恰有一个盒子放两个球，也即有一个盒子不放球，另两个盒子各放一个球的放法有种，（4）分两类，一类是一个盒子放3个球，另一个盒子放1个球，共种放法，另一类是两个盒子均放两个球，共有种放法，故所有的不同放法共有种。
11.　用共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重复数字的位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数？
分析：位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是，由于个位用或者不用数字，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用或者用进行分类．一个自然数能被整除的条件是所有数字之和是的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字进行分类．
解：(1)就个位用还是用分成两类，个位用，其它两位从中任取两数排列，共有(个)，个位用或，再确定首位，最后确定十位，共有(个)，所有位偶数的总数为：(个)．
(2)从中取出和为的倍数的三个数，分别有下列取法：、、、、、、、，前四组中有，后四组中没有，用它们排成三位数，如果用前组，共有(个)，如果用后四组，共有(个)，所有被整除的三位数的总数为(个)．

例1： 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
分析：（1）先从6本书中取1本，有种，再从余下5本书中取2本，有种，最后从余下3本书中取3本，有种，利用分步计数原理，得；（2）采用先分堆再分给3个人的方法，即在分组的基础上，乘以；（3）这是平均分组问题，由于有重复，所以要除以；（4）可看作在前一小题分组的基础上，再分给3个人，乘以；（4）一般采用先分堆再分给5个人的方法，将6本书分成5堆的方法是从6本书中选择2本作为1堆，有种，其余4本分成4堆，只有1种分法，再将5堆分给5个人有种，利用分步计数原理，得。
解：（1）=60；
（2）=360；

（3）=15
（4）=90
（5）=1800
点评：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。
例2：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
分析：第一步将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有;
第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件的分配方案有=36种。
解： =36。
点评：对于不同元素的分配问题，如果出现“粥多僧少”，应先将元素分成几堆，再将各堆分配到每个位置。
②
①
③
④
例3：用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析： 先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色，方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
解：
点评：此题是对每一块分别确定颜色的种数，然后运用乘法原理。但是有些题比较复杂，可以考虑根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
四、课后作业
1. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ( )
A.8种 B.12种 C.16种 D.20种
解：选B
2. 在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 ( )

解：选C
3.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A.12种 B.18种 C.36种 D.54种
解：选B
4. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
解： 人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有＝90种，若是1,1,3，则有＝90种，所以共有150种(2) +=150，选A
5.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
解：1260
6.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?
解：C·C=20种
7. 马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，则满足条件的关灯方法有______种.

A

B

B
A
解：让三只不亮的灯插空,C=20
8. 从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有________条;
解：最短路径须走七步，只需确定哪三步向上，种走法．
11.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有
种。
9. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
解： 依题意至少要用3种颜色：
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有种；
2
4
3
1
5
2) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72