高考数学圆锥曲线压轴题专题训练.doc

    卓越个性化教学讲义学生姓名     年级 高三    授课时间          教师姓名 刘    课时     02-圆锥曲线压轴题-分类训练【知识点】1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率点到直线的距离   夹角公式：（3）弦长公式直线上两点间的距离： 或（4）两条直线的位置关系=-1   2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）    标准方程：    距离式方程：    参数方程：(2)、双曲线的方程的形式有两种    标准方程：    距离式方程：（3）抛物线(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？    3.方法（1）点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=（2）联立消元法：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。【课堂练习】题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。题型二：弦的垂直平分线问题。注：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得          由直线和抛物线交于两点，得即       由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：   ， 令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。        解得满足式   此时。例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。                                                       解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(-1，0)，l:x=-2.    圆过点O、F,圆心M在直线x=-设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|=                                                                           由|OM|=r，得，解得t=，所求圆的方程为(x+)2+(y)2=.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直线AB过椭圆的左焦点F， 方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-AB垂直平分线NG的方程为令y=0，得点G横坐标的取值范围为（）。题型三：动弦过定点的问题例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；   （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，     则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为      ，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又，椭圆的焦点为     ，即     故当时，MN过椭圆的焦点。例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；  （）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解（I）由题意设椭圆的标准方程为，      （II）设，由得：，（注意：这一步是同类坐标变换）（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，解得，且满足当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点，  综上可知，直线过定点，定点坐标为题型四：过已知曲线上定点的弦的问题。直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。                                            ;     解：(I) ，且BC过椭圆的中心O             ，   又    点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，   ，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，    即    同理可得：     则直线PQ的斜率为定值。题型五：共线向量问题。解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理-同类坐标变换，将问题解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：+=1 于P、Q两点，且,求实数的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),     由    得(x1,y1-3)=(x2,y2-3)     即方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点      消去x2，可得     即y2=又在椭圆上，2y22，   22      解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点   即                      由韦达定理得：     即     由得，代入，整理得 ，  解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或 。  总之实数的取值范围是。例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求的值                                                                       解法一：（）设点，则，由得：，化简得.（）设直线的方程为： .设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，   ，   所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.（）由已知，得.   则：.过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：                        .由得：，即.题型六：面积问题例题9、（07陕西理）已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意  ，所求椭圆方程为。（）设，。  （1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时， 综上所述。当最大时，面积取最大值。练习1、（07浙江理）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。                                                     （）求在，的条件下，的最大值；（）当时，求直线AB的方程。解：（）解：设点A的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以     当且仅当时，取到最在值1，（）解：由得        设到的距离为，则又因为  所以代入式并整理，得   解得，代入式检验，。故直线的方程是题型七：弦或弦长为定值问题例题10、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。                                                                                  （）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）解法1：（）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.    由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是                                                  .（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.=                                     =令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.题型八：角度问题例题11、（08陕西理）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由解法一：（）如图，设，把代入得，由韦达定理得， ， 点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，         直线与抛物线相切，    即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知：轴，又       xAy112MNBO，解得     即存在，使问题九：四点共线问题例题12、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方程；（）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解 (1)由题意：           ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一  设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是           ，                     ，     从而  ，（1）   ，（2）又点A、B在椭圆C上，即     （1）+（2）2并结合（3），（4）得，   即点总在定直线上方法二  设点，由题设，均不为零。且    又 四点共线，可设,于是           （1）                   （2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得（3） (4)(4)(3) 得      即点总在定直线上问题十：范围问题（本质是函数问题）例题13：（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（）解法一：易知， 所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又，又，即  故由、得或问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）例题14：(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即：,  则,即：,要使,需使,即,所以又,所以,即或,直线为圆心在原点的圆的切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以当时因为所以,     所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m     当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【作业】（后面有答案！）1. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.   （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；   （2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹。2. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。    (1) 求双曲线C的方程；OABEFM    (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。3 (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。    (1) 求双曲线C2的方程；    (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。4. （天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.5.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足   （）设为点P的横坐标，证明；   （）求点T的轨迹C的方程；   （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，         使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2              的正切值；若不存在，请说明理由.参考答案1.解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)则直线MF的斜率为k，方程为由，消解得(定值)所以直线EF的斜率为定值（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x, y），则有消去参数得2.解：（）设双曲线方程为  由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即    设，则而于是    由、得   故k的取值范围为3.解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即             .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得            解此不等式得        由、得故k的取值范围为4.解：（）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为（）证明：设直线的方程为，直线的方程为点和点的坐标是方程组的解将式代入式得，于是，故又点和点的坐标是方程组的解将式代入式得于是，故由已知得，则设点的坐标为，由，则将式和式代入上式得，即线段的中点在轴上（）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为由式知，代入得将代入式得，代入得因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，于是，因为钝角且、三点互不相同，故必有求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故当时，；当时，即5.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分（）设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分   （）C上存在点M（）使S=的充要条件是         由得  上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分19