高考数学圆锥曲线压轴题专题训练.doc

（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离   ③夹角公式：
（3）弦长公式
直线上两点间的距离：
或
（4）两条直线的位置关系
①=-1   ②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
   标准方程：
   距离式方程：
   参数方程：
(2)、双曲线的方程的形式有两种
   标准方程：
   距离式方程：（3）抛物线
(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
   3.方法
（1）点差法（中点弦问题）
设、，为椭圆的弦中点则有
，；两式相减得
=
（2）联立消元法：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。
【课堂练习】
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围
解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，
即。
题型二：弦的垂直平分线问题。注：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。
例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线，，，。
由消y整理，得          ①
由直线和抛物线交于两点，得即     ②  
由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为：   ，
令y=0,得，则
为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式   此时。
例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
                  nbsp;                                  
解：(I) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，
F(-1，0)，l:x=-2.    
∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=-
设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|=                                                                          
由|OM|=r，得，解得t=±，
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=.
(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0
∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根,
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-

∴AB垂直平分线NG的方程为
令y=0，得
∵∴点G横坐标的取值范围为（）。
题型三：动弦过定点的问题
例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；   （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为
（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得
是方程的两个根，    
则，，
即点M的坐标为，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为
     ，
直线MN的方程为：，
令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：
又，
椭圆的焦点为     ，即    
故当时，MN过椭圆的焦点。
例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；  （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
解（I）由题意设椭圆的标准方程为
，      
（II）设，由
得：，
，
（注意：这一步是同类坐标变换）

（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，
，，

，解得，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点，  
综上可知，直线过定点，定点坐标为
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题。直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。
例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。
                                    nbsp;          
解：(I) ，且BC过椭圆的中心O    
        ，   又    
点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点，   ，则椭圆方程为：
将点C代入方程，得，椭圆E的方程为
(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，
设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：
，即，
由消y，整理得：
是方程的一个根，
   即    同理可得：
＝＝
＝
    则直线PQ的斜率为定值。
题型五：共线向量问题。解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理------同类坐标变换，将问题解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：+=1 于P、Q两点，且,求实数的取值范围。
解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),     由    得(x1,y1-3)=(x2,y2-3)     即
方法一：方程组消元法
又P、Q是椭圆+=1上的点      消去x2，
可得 nbsp;   即y2=
又在椭圆上，－2≤y2≤2，   ∴ －2≤≤2      解之得：
则实数的取值范围是。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得

P、Q是曲线M上的两点   ＝
即                      ①
由韦达定理得：

即     ②
由①得，代入②，整理得 ，  解之得
当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或 。  总之实数的取值范围是。
例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．

                                     
解法一：
（Ⅰ）设点，则，由得：
，化简得.
（Ⅱ）设直线的方程为： .
设，，又，联立方程组，消去得：
，，故
由，得：，，整理得：
，，

解法二：（Ⅰ）由得：，
，   ，  
所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.
（Ⅱ）由已知，，得.   则：.……①
过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：     nbsp;                  .…………②
由①②得：，即.
题型六：面积问题
例题9、（07陕西理）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意  ，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。  （1）当轴时，。
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。
由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。

。
当且仅当，即时等号成立。当时，， 综上所述。
当最大时，面积取最大值。
练习1、（07浙江理）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。

（Ⅰ）求在，的条件下，的最大值；
（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。
解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以     当且仅当时，取到最在值1，
（Ⅱ）解：由得  

设到的距离为，则又因为  所以代入②式并整理，得
  解得，代入①式检验，。
故直线的方程是
题型七：弦或弦长为定值问题
例题10、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。
                                                                                 
（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）
解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.    由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是
＝
＝                                                  
.
（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则
＝.

=＝

=
令，得为定值，故满足条件的直线l存在，
其方程为，即抛物线的通径所在的直线.
题型八：角度问题
例题11、（08陕西理）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入
得，
由韦达定理得，，
· ，
· 点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，         直线与抛物线相切，，．    即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，
．
由（Ⅰ）知：．
轴，．
又
      ．
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
，解得．     即存在，使．

问题九：四点共线问题
例题12、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

解 (1)由题意：
          ，解得，所求椭圆方程为
(2)方法一  设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零，记,则且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是           ，      
              ，    
从而  ，（1）   ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即    
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得，   即点总在定直线上
方法二  设点，由题设，均不为零。
且    又 四点共线，可设,于是           （1）   nbsp;               （2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得  
   即点总在定直线上
问题十：范围问题（本质是函数问题）
例题13：（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知， 所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又，∴
又
∵，即  
∴
故由①、②得或
问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
例题14：(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）

过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即：,  则△,即：
,要使,需使,即,所以又,所以,即或,
直线为圆心在原点的圆的切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以

①当时
因为所以,     所以,
所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
② 当时,.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
【作业】（后面有答案！）
1. （江西卷）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
  （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
  （2）若M为动点，且∠EMF90°，求△EMF的重心G的轨迹。

2. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。
   (1) 求双曲线C的方程；

O
A
B
E
F
M
   (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。

3 (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
   (1) 求双曲线C2的方程；
   (2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。

4. （天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

5.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
  （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
  （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
  （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
        使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
             的正切值；若不存在，请说明理由.

参考答案
1.解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l>0)
则直线MF的斜率为－k，方程为
∴由，消
解得
∴(定值)
所以直线EF的斜率为定值
（2）直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数得
2.解：（Ⅰ）设双曲线方程为  
由已知得故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即  ①  设，则

而于是    ②
由①、②得  
故k的取值范围为
3.解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即             ①
.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得        ③
由①、②、③得

故k的取值范围为4.解：（Ⅰ）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为．
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，直线的方程为．
点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得，于是，故　③
又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是，故．
由已知得，，则．　　⑥
设点的坐标为，由，则．
将③式和⑥式代入上式得，即．
∴线段的中点在轴上．
（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．
由③式知，代入得．
将代入⑥式得，代入得．
因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
，．
于是，，
．
因为钝角且、、三点互不相同，故必有．
求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即
5.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得

由，所以 ………………………3分
（Ⅱ）设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分
③
④
  （Ⅲ）C上存在点M（）使S=的充要条件是
③
④

由④得  上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记，
由知，所以…………14分

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