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数学高考圆锥曲线压轴题经典预测
一、圆锥曲线中的定值问题
★★椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，a＋b＝3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

★★如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e＝，直线l的方程为x＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

★★椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
★★★如图，已知双曲线C：－y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

二、圆锥曲线中的最值问题
★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

x
O
y
B
l1
l2
P
D
A
★★★如图，点P（0，－1）是椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．

★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M的横坐标为，直线l：y＝kx＋与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．
三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题
★★设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
四、圆锥曲线与求参数
★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设＝t，求实数t的值．
★★★已知三点O（0，0），A（－2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|＋|＝·(+)＋2．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）动点Q（x0，y0）（－2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．
五、存在性问题
★★如图，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2．
①证明：－＝2；
②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

★★★如图，椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得＝？请说明理由．
六、轨迹方程
★★已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且＝＋，求点Q的轨迹方程．
★★如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0＝1－时，切线MA的斜率为－．
B
O
M
A
x
y
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

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