2019年贵阳市中考数学试题、答案(解析版).doc

2019年贵阳市中考数学试题、答案（解析版）
（本试卷满分150分,考试时间120分钟）
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.可表示为 (　　)
A. B. C. D.
2.如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是 (　　)

A
B
C
D
3.选择计算的最佳方法是 (　　)
A.运用多项式乘多项式法则 B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则 D.运用完全平方公式
4.如图，菱形的周长是，Ð，那么这个菱形的对角线的长是 (　　)

A. B. C. D.
5.如图，在的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是 (　　)

A. B. C. D.
6.如图，正六边形内接于，连接，则的度数是 (　　)

A. B. C. D.
7.如图，下列是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是 (　　)

A.甲比乙大 B.甲比乙小
C.甲和乙一样大 D.甲和乙无法比较
8.数轴上点，，表示的数分别是，，9，点为线段的中点，则的值是 (　　)
A.3 B.4.5 C.6 D.18
9.如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点.若，，则的长度是 (　　)

A.2 B.3 C. D.
10.在平面直角坐标系内，已知点，点都在直线上，若抛物线与线段有两个不同的交点，则的取值范围是 (　　)

A. B.
C.或 D.
第Ⅱ卷(非选择题 共120分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填写在题中的横线上)
11.若分式的值为0，则的值是　　　　.
12.在平面直角坐标系内，一次函数与的图象所示，则关于,的方程组的解是　　　　.

13.一个袋中装有个红球，10个黄球，个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么与的关系是　　　　.
14.如图，用等分圆的方法，在半径为的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若，则四叶草的周长是　　　　.

15.如图，在矩形中，，Ð，点是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的直角三角形，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点的运动路径长是　　　　.

三、解答题(本大题共10小题,共100分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.（本小题满分8分）
如图是一个长为，宽为的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形.
（1）用含字母，的代数式表示矩形中空白部分的面积；
（2）当，时，求矩形中空白部分的面积.

17.（本小题满分10分）
为了提高学生对毒品危害性的认识，贵阳市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：
收集数据：
90 91 89 96 90 98 90 97 91 98
99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
（1）根据上述数据，将下列表格补充完整.
整理、描述数据：
成绩/分
88
89
90
91
95
96
97
98
99
学生人数
2
1

3
2
1

2
1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数
众数
中位数
93
______
91

得出结论：
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为　　　　分；
数据应用：
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由.
18.（本小题满分10分）
如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求点到点的距离.

19.（本小题满分10分）
为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设.某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生、一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等.
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是　　　　；
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率.

20.（本小题满分10分）
某文具店最近有，两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周款销售数量是15本，款销售数量是10本，销售总价是230元；第二周款销售数量是20本，款销售数量是10本，销售总价是280元.
（1）求，两款毕业纪念册的销售单价；
（2）若某班准备用不超过529元购买这两种款式的毕业纪念册共60本，求最多能够买多少本款毕业纪念册.

21.（本小题满分8分）
如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中为下水管道口直径，为可绕转轴自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中.若阀门的直径，为检修时阀门开启的位置，且.
（1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中的取值范围；
（2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达位置时，在点处测得俯角，若此时点恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度.（结果保留小数点后一位）
（，，，，，，）

22.（本小题满分10分）
如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于，两点，并与反比例函数的图象相切于点.
（1）切点的坐标是；
（2）若点为线段的中点，将一次函数的图象向左平移个单位后，点和点平移后的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上时，求的值.

23.（本小题满分10分）
如图，已知是的直径，点是上一点，连接，点关于的对称点恰好落在上.
（1）求证：；
（2）过点作的切线，交的延长线于点，如果，，求的直径.

24.（本小题满分12分）
如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，若点在轴上时，和的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值.

25.（本小题满分12分）
（1）数学理解：如图1，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系；
（2）问题解决：如图2，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数；
（3）联系拓广：如图3，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系.

2019年贵阳市中考数学答案解析
一、选择题
1．【答案】C
【解析】，∴可表示为，故选C．
【考点】乘方的意义
2．【答案】B
【解析】根据已知几何体，从正面看，得到的平面图形是，即为该几何体的主视图，故选B．
【考点】几何体的主视图
3．【答案】B
【解析】∵原式，满足平方差公式，∴计算的最佳方法是运用公式，故选B．
【考点】平方差公式
4．【答案】A
【考点】在菱形中，，∵菱形的周长是，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，故选A．
【解析】菱形的性质、等边三角形
5．【答案】D
【解析】由图知共有6个小正方形可以涂色，其中有如图两种涂法都能使灰色部分的图形是轴对称图形，∴概率，故选D．

【考点】轴对称图形的概念、随机事件的概率
6．【答案】A
【解析】由多边形的内角和可知，正六边形的内角和为，∵正六边形的六个内角都相等，所以，又∵正六边形的边长相等，∴，∴，故选A．
【考点】正六边形的性质、等腰三角形的性质
7．【答案】A
【解析】从条形统计图可知，甲党员一天的学习时间为60分钟，其中学习“文章”15分钟，∴甲党员学习“文章”时间所占一天学习时间的百分比为；从扇形统计图可知，乙党员学习“文章”时间占一天学习时间的百分比为20%，∵，∴甲比乙大，故选A．
【考点】条形统计图、扇形统计图
8．【答案】C
【解析】根据题意，可得方程，解得，故选C．
【考点】中点的定义、用数轴表示数
9．【答案】D
【解析】由作图可知，是线段的垂直平分线，∴，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，故选D．
【考点】基本作图、垂直平分线的性质、勾股定理
10．【答案】C
【解析】∵直线与抛物线有两个交点，∴方程有两个不同的交点，整理得，∴，解得，又当抛物线经过点时，，解得，当抛物线经过点时，，解得，∵抛物线的对称轴为，又抛物线过点，∴当，抛物线与线段有两个不同的交点，∴或，故选C．
【考点】抛物线的图象与性质、函数与方程的关系
二、非选择题
11．【答案】2
【解析】若分式的值为0，则，解得，，当时，分式无意义，∴．
【考点】分式有意义的条件、解分式方程
12．【答案】
【解析】由图象可知，两条直线的交点坐标是，∴原方程组的解是．
【考点】函数与方程的关系
13．【答案】
【解析】∵任意从袋中摸出一球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，∴袋中黄球的数量与红球、白球的数量和相同，即．
【考点】频率与概率的关系
14．【答案】
【解析】如图，由题意可知，是等腰直角三角形，∵，∴，由图可知，四叶幸运草的周长为直径为的两个圆的周长，∴，即四叶幸运草的周长是．

【考点】等腰直角三角形的性质、求圆的周长
15．【答案】
【解析】如图，当点从点运动到点时，点运动到，∴点的运动路径为线段，∵四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴，又在中，，∴，在中，，，∴，∵，，∴，又，∴，在中，由勾股定理得，即点的运动路径长为．

【考点】矩形的性质、特殊角的三角函数、勾股定理
三、解答题
16．【答案】解：（1）或．
（2）当，时，或．
【解析】（1）根据图中数据，用代数式表示出空白部分的长和宽，利用矩形的面积公式用含，的代数式表示出空白部分的面积；（2）将字母的值代人（1）中的代数式，求出空白部分的面积．
【考点】列代数式、求代数式的值、矩形的面积
17．【答案】（1）5，3，90
（2）91
（3）估计评选该荣誉称号的最低分为97分
理由：因为，前六名的最低分为97分，所以最低分定为97分
【解析】（1）根据收集的数据统计出90分和97分的人数，填入表格；根据统计表，人数最多的分数即为这组数据的众数；（2）根据中位数确定分数填空即可；（3）根据选取的总人数，求出前30%的人数，再根据统计表高分段人数确定前30%人数中的最低分数即可。
【考点】统计知识的综合运用
18．【答案】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，又∵点在的延长线上，且，
∴，，
∴四边形是平行四边形。

（2）∵，且四边形是平行四边形，
∴，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
连接，∴，，
在中，∵，，
∴，
，.
∴．
【解析】（1）根据平行四边形的性质得一组对边平行且相等，再根据已知条件证明线段，利用一组对边平行且相等即可判定四边形为平行四边形；
（2）根据已知线段的长得平行四边形边的长，利用一组邻边相等判定平行四边形是菱形，连接对角线，得对角线互相垂直平分，根据已知的锐角三角函数值求得的长，再根据勾股定理求出BE的长．
【考点】平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、锐角三角函数的应用、勾股定理
19．【答案】解：（1）
（2）用，分别表示思政专业的研究生和本科生，用，分别表示历史专业的研究生和本科生，
列表如下：

或画树状图如下：

共有12种等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2种，
所以，．
【解析】（1）根据题意，共有2个专业，每个专业都有2名应聘者，根据概率公式可求出相应的概率；（2）先列表或画树状图，求出所有等可能的结果数，再确定选到一名思政研究生和一名历史本科生的结果数，代入概率公式，求出概率．
【考点】求随机事件的概率
20．【答案】解：（1）设，两款毕业纪念册的销售单价分别是元，元，
根据题意，得
解得
所以，，两款毕业纪念册的销售单价分别是10元，8元．
（2）设最多能够买款毕业纪念册本，
根据题意，得，.
解得．
因为表示款纪念册的数量，取最大正整数，所以．
所以，最多能够买款毕业纪念册24本．
【解析】（1）根据题意设未知数，列出方程组，求解即可；（2）设未知数，根据题意列出不等式，求出解集，取最大正整数即可．
【考点】列方程组和不等式解应用题
21．【答案】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中，．
（2）∵，，∴，
因为，∴，
∴，
过点作于点，

在中，∵，
∴，
∴．
所以，此时下水道内水的深度约为29.5（）．
【解析】（1）根据与下水道构成的角度可确定的取值范围；（2）根据已知角求出的度数，以为斜边建立直角三角形，根据三角形的外角性质得等腰直角三角形，根据的长求出的长，从而求出的长，即为下水道内水的深度．
【考点】解直角三角形的应用
22．【答案】解：（1）
（2）由（1）可知，
∵直线的图象与轴交于点，
∴，
∴线段的中点，
∵直线向左平移个单位，
∴点平移后对应点为，
点平移后对应点为．

∵平移后的对应点同时落在反比例函数的图象上，
∴
解得
∴的值是4．
【解析】（1）将一次函数和反比例函数的解析式联立成方程组，可求出点的坐标；（2）根据直线解析式求出点的坐标，结合点的坐标求出点的坐标，再表示出平移后的点和点的坐标，根据平移后的两点在同一个反比例函数的图象上，可列出方程组，进而求出的值以及的值．
【考点】一次函数和反比例函数的性质、平移后的点的坐标变化、解方程（组）
23．【答案】解：（1）证明：∵点关于的对称点恰好落在上，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴，∴．

（2）连接，∵是的切线，
∴，
又∵，∴，
∴，
由（1），∴，
又∵，∴是等边三角形，
又∵点，点关于对称，
∴是等边三角形，
∴，∴，
又∵，，
∴，∴
【解析】（1）根据对称得两条弧相等，等弧所对的圆心角相等，结合圆周角定理进行代换，得同位角相等，从而判定两直线平行；
（2）连接，根据圆的切线得角，结合已知角，利用同旁内角互补证明两条直线平行，得内错角相等，结合（1）的结论代换得三角形的两个内角相等，再结合圆的半径相等，证明得等边三角形，根据角得直角三角形中为角，结合已知线段的长，即可求出的长．
【考点】轴对称的性质、圆的相关性质、平行线的判定及性质、切线的性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质
24．【答案】解：（1）∵二次函数的对称轴是直线，
∴，∴，
将代入中，
解得．
∴二次函数的表达式为：．
（2）∵，对称轴是直线，
∴，
又∵当时，，
∴，
∴，∴，
①当点在点上方的位置时，
∵，
∴，
在中，，
∴，

②当点在点下方的位置时，
∵，∴，
在中，，
∴，
综上，的长为或.
（3）根据题意：
①当在对称轴左边，，
即时，随增大而减小，
此时，有最小值，
，
解得：，，
∵，∴，
②当与分别在对称轴两侧，
，即时，
此时，有最小值，
即，，
∵，∴不合题意舍去，
③当在对称轴右边，时，随增大而增大，
此时，有最小值，
，
解得：，，
∵，∴，
综上，或
【解析】（1）根据对称轴和点的坐标，可求出二次函数的表达式；
（2）先根据点的坐标和对称轴求出点的坐标，再求出点的坐标，得，则三角形为等腰直角三角形，得角，根据点的位置分情况讨论，根据三角形的外角性质求出直角三角形中角，利用锐角三角函数求出的长；
（3）根据与对称轴的位置关系分情况讨论，利用函数的增减性，确定的值，从而求出的最小值，代入二次函数表达式，求出方程的解，取符合题意的的值．
【考点】二次函数的图象及其性质、直角三角形中的锐角三角函数、函数与方程的关系
25．【答案】解：（1）∵在等腰直角内，过斜边中点作正方形，

∴，
在和中，
，，
∴.
（2）∵四边形是正方形，∴，
将以点为旋转中心，逆时针旋转得到，

∴，，且，
∵，∴，
在和中，
∵∴，，
∴，
∴
（3）由（2）得，，分别是和的角平分线，
∴，，
又∵分别延长，，交于点，，

∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴．
【解析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的边长相等证明图中的6条线段相等，根据等腰三角形的边长关系证明三条线段的数量关系；
（2）根据正方形的边长相等，将旋转得到，得对应边相等，从而证明，得对应角相等，根据圆周角以及旋转角，即可求出的度数；
（3）由（2）得角的平分线，分得的角相等，作辅助线证明，，得内错角相等，从而证明，，根据勾股定理得线段之间的关系，等量代换后可证明结论成立．
【考点】等腰直角三角形的性质、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理