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第 1讲 有理数教学目标
1、掌握有理数的分类 , 学会把有理数对应的点画在数轴上；
2 、掌握相反数、绝对值、倒数的求法 , 会比较有理数的大小；
3 、掌握有理数的大小比较；
4 、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数
注意：①字母 a 可以表示任意数， 当 a 表示正数时， -a 是负数；当 a 表示负数时， -a 是正数；
当 a 表示 0 时， -a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如 +a,-a 就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数的符号是正号。
2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上 8℃表示为： +8℃；零下 8℃表示为： -8 ℃
3.0 表示的意义
⑴0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；
⑵0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数。
有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、 0、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是
有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8 ⋯也是偶数， -1,-3,-5 ⋯
也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分
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正整数 正整数
整数 0 正有理数
负整数 正分数
有理数 有理数 0 （0 不能忽视）
正分数 负整数
分数 负有理数
负分数 负分数
总结： ①正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、 0 统称为非正整数③正有理数、 0 统称为非负有理数④负有理数、 0 统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，
三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一； ⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2. 数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点π不是有理数）
3. 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4. 数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是 0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是 1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是 -1 ，无最小的负整数
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5.a 可以表示什么数
⑴a>0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a>0；
⑵a<0 表示 a 是负数；反之， a 是负数，则 a<0
⑶a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0, ，则 a=0
6. 数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。
2. 相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0 的相反数是 0；
⑶互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a， b 互为相反数，则 a+b=0
3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数
轴上的对应点（ 0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。 0 的相反数对应原点；原点表
示 0 的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“ - ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“ - ”，然后化简（如； 5a+b 的相反数
是 - （5a+b）。化简得 -5a-b ）；
⑶求前面带“ - ”的单个数，也应先用括号括起来再添“ - ”，然后化简 ( 如： -5 的相反数是 -
（ -5 ），化简得 5)
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数 a 的相反数是 -a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。当 a>0 时， -a<0 （正数的相反数是负数）
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当 a<0 时， -a>0 （负数的相反数是正数）
当 a=0 时， -a=0 ，（ 0 的相反数是 0）
考试常考：已知 a,b 互为相反数，立马要想到 a+b=0.
6. 多重符号的化简
多重符号的化简规律 : “+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “- ”号的个数决定最后化简结果；即： “- ”的个数是奇数时，结果为负， “ - ”的个数是偶数时，结果为正。
练习 1.
( 31)
( 41)
[(5)]
{[(2)]}
2
5
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 |a| 。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶ 0 的绝对值是 0.
可用字母表示为：
①如果 a>0，那么 |a|=a ； ②如果 a<0，那么 |a|=-a ； ③如果 a=0，那么 |a|=0 。
可归纳为①： a≥0，<═ > |a|=a （非负数的绝对值等于本身； 绝对值等于本身的数是非负数。 ）
②a≤0，<═ > |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数； 绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以， a 取任何有理数，
都有 |a| ≥ 0。即：
⑴0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0. 即： a=0 < ═> |a|=0 ；
⑵一个数的绝对值是非负数， 绝对值最小的数是 0. 即： |a| ≥ 0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即： |a| ≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若 |x|=a （a>0），则 x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即： |-a|=|a| 或若 a+b=0，则 |a|=|b| ；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b| ，则 a=b 或 a=-b ；
⑺若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0 ，则 a=0 且 b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0）
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4. 有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5. 绝对值的化简
①当 a≥ 0 时， |a|=a ； ②当 a≤0 时， |a|=-a
6. 已知一个数的绝对值，求这个数
一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的
有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。
例 1. 已知︱ a︱=5, ︱ b︱ =8, 且︱ a+b︱ = -(a+b), 试求 a+b 的值。
练习 2. 已知︱ a︱=5, ︱b︱=8, 且∣ ab∣= -ab, 试求 a+b 的值。
有理数的加减法
1. 有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2. 有理数加法的运算律
⑴加法交换律： a+b=b+a
⑵加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法” ；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法” ；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法” ；
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④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法” ；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法” 。
3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即：
⑴当 b>0 时， a+b>a ⑵当 b<0 时， a+b<a ⑶当 b=0 时， a+b=a
4. 有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： a-b=a+(-b) 。
5. 有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和”
②按运算意义读作“负 8减7减6加5”
6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)
（将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23
（省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23)
（把符号相同的加数相结合）
=-49+41
（运用加法法则一进行运算）
=-8
（运用加法法则二进行运算）
Ⅱ . 把和为整数的加数相结合
（凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)
（将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8
（省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8
（把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8
（运用加法法则进行运算）
=7.8-10
（把符号相同的加数相结合， 并进行运算）
=-2.2
（得出结论）
Ⅲ . 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
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- 3-1+3- 2+1- 7
5 2 4 5 2 8
原式 =(- 3
-
2 )+(-
1 +1)+(+
3- 7)
5
5
2
2
4
8
=-1+0-
1=-1 1
8 8
Ⅳ . 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
(+0.125)-(-3
3 )+(-3
1 )-(-10
2 )-(+1.25)
4
8
3
原式 =(+ 1 )+(+3
3 )+(-3
1 )+(+10
2 )+(-1
1 )
8
4
8
3
4
=1+33
-3 1
+102 -1 1
8
4
8
3
4
=(3 3
-1 1)+( 1-3 1)+10 2
4
4
8
8
3
=2 1 -3+10 2
2 3
=-3+13
=10 1
6
Ⅴ . 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
-3 1
+10 6 -12
1
+4 7
5
11
22
15
原式 =(-3+10-12+4)+(-
1+ 7 )+(
6 -
1 )
5
15
11
22
=-1+ 4 + 11
15 22
8 15
=-1+ +
30 30
= - 7
30
Ⅵ . 分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9 ⋯ +66-67-68+69
原式 =(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+ ⋯+(66-67-68+69)
=0
Ⅶ . 先拆项后结合
（1+3+5+7⋯+99）- （2+4+6+8⋯+100）
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有理数的乘除法
1. 有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （“同号得正，异号得负”专指
“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同 0 相乘，都得 0；
法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，
积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0, 则积等于 0.
2. 倒数
乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为
a· 1
=1（a≠
0），就是说 a 和 1
互为倒数，即 a 是 1
的倒数， 1
a
是 a 的倒数。
a
a
a
注意：① 0 没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒
数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ；
④倒数等于它本身的数是 1 或 -1, 不包括 0。
考试经常考：已知 a,b 互为倒数，立马要想到 ab=1.
例 2. 已知 a， b 互为相反数， c，d 互为倒数， x 的绝对值为 5．试求下式的值：
2 1998 1999
x (a b cd ) (a b) ( cd )
3. 有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba
⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即
(ab)c=a(bc).
⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在
把积相加。即 a(b+c)=ab+ac
4. 有理数的除法法则
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（1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都
得 0
5. 有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
练习 3. 快速计算
（ 1) 33 15 6 --------- 减法没有结合律 !
（2）( 3) ( 2)
( 1)
-----------
除法没有结合律 !
5
4
（ 3） 60 [ 8 ( 4)] ----------- 除法没有分配律 !
（4）6 ( 2) ( 1)
--------------
同一级运算时一定要从左向右 !
3
有理数的乘方
1. 乘方的概念
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求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 a n 中， a 叫做底数， n 叫
做指数。
2. 乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0。
练习 4：计算： ( 2) 2
32
( 2)2
22
23
22
3
3
( 1)2008
练习 5． n 为正整数时， ( 1) n +( 1)n 1 的值是（ ）
A．2 B ．-2 C ．0 D ．不能确定
2
练习 6：1.计算：
1
4 21
2. 已知
4
8
x 2y 4 2
0 ，求 x
y 的值。
练习
7 ：观察下列算式发现规律：
71
7，72
49，73
343 ，， 74
2401
， 75
16807 ，
76
117649 ，⋯⋯，用你所发现的规律写出： 72011 的末位数字是 ________。
练习 8：某校初一年级共有 8 个班，以每班 65 人为标准，超过的人数记为正数，不足的人数
记为负数，统计情况记录如下： -1 ， -6 ，+2，-3 ， +4，0，-7 ， +3，求该校初一年级总人数。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
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3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于 10 的数表示成 a 10 n 的形式（其中 1 a 10 ， n 是正整数），这种记数法是科
学记数法。
如: 地球上的陆地面积约为 149 000 000km 2，用科学记数法表示为 。
第1讲 回家作业
一．填空题
1．－│－ 7│的相反数为 ____，相反数等于本身的数为 _______．
2．已知│ x│= 3
，│ y│= 1
，且 xy>0，则 x－ y=______．
2
2
3． x 与 2 1
的差为 1
，则－ x=_____．
2
2
4．近似数 1.50 精确到 _______， 78950 用科学记数法表示为 _____．
5．按规律写数 1 ，－ 1 ， 1 ，－ 1 ，⋯第 6 个数是 ______．
2 4 8 16
二、选择题
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 最小的有理数是 0；
B. 最大的负整数是－ 1；
C. 最小的自然数是 1；
D. 最小的正数是 1.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个有理数的和为零，则这两个有理数都为 0；
B. 两个有理数的和一定大于其中任何一个加数；
C. 两个有理数的和为正数，则这两个数中至少有一个加数是正数；
D. 两个有理数的和为负数，则这两个数一定都是负数 .
3. 下列说法正确的是（）
A. 一个正数减去一个负数，结果是正数；
B. 零减去一个数一定是负数；
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C. 一个负数减去一个负数，结果是负数；
D. “－ 2－3”读作“负 2 减负 3”
4. 下列说法正确的是（）
A. n 个有理数相乘，当因数是奇数个时，积为负；
B. n 个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；
C. n 个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
D. n 个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个 .
5. 下列说法正确的是（）
A. 相反数是本身的数是 1 和 0；
B. 倒数是本身的数是 1 和 0；
C. 绝对值是 本身的数是 0 和正数；
D. 平方等于 64 的数是 8.
6、已知字母 a 、 b 表示有理数，如果 a +b =0，则下列说法正确的是（
）
A .
a 、 b 中一定有一个是负数
B.
a 、 b 都为 0
C.
a 与 b 不可能相等
D.
a 与 b 的绝对值相等
7、一个数的平方为
16，则这个数是（
）
A.4或 4
B.
4
C.4
D.
8 或 8
8、绝对值大于 2 且小于 5 的所有整数的和是
（
）
A. 7
B.
－7
C. 0
D. 5
10、
4 3等于（
）
A． 12
B.
12C.
64
D.
64
11、数轴上的点 A、B、C、D 分别表示数 a、b、c、d，已知 A 在 B 的右侧， C 在 B 的左侧， D
在 B、C之间，则下列式子成立的是（ ）
A、 a<b<c<d B 、b<c<d<a C 、c<d<b<a D 、c<b<d<a
12、若 x 为有理数，则 x x 必是 （ ）
A、非正数 B 、非负数 C 、0 D 、正数
13、下列各语句中正确的是（ ）
A、若 a>-0.5 ，则 a 是正数 B 、若 a <0，则 a a
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C、若 a b ，则 a b D 、若 a b ，则 a b
14、a，b，c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A、 a+b<0 B 、 a+c<0 C 、a-b>0 D 、b-c<
三、计算
1、 5.5 + 3.2 2.5 －4.8 2 、 8 ( 25) ( 0.02)
3 、
1
5
5
7
36
4
、
1
1
2
9
6
12
1
2
3
1
2
1
6
3
( 4)
3
1
5 、 +
3
2
、 8 2
8
2
7、 1
1
1
1
1
1
⋯
1
1
2
3
2
4
3
1000
999
四、解答题
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1． 如果 a 、 b 互为相反数， c 、 d 互为倒数， y
1没有倒数， x 1的绝对值等于 2．
那么代数式 2 | a b |
cd
1)(a b
1)的值是多少？请你求出来．
( y
x
2、已知 | a 2 |与 | b 3 |互为相反数，求 3a 2b 的值。
3、已知 a、b、c 均为非零的有理数，且
a
b
c
1，求 abc 的值。
a
b
c
abc
4 ．“ ” 代 表 一种 新 运算 ，已 知 a b
a b ， 求 x
y 的 值 ． 其中 x 和 y 满 足方 程
ab
(x
1 )2
| 1 y3 | ．0
2
五、某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加 1 千米，气温大约降低 6℃。若该地地
面温度为 21℃，高空某处温度为－ 39℃，求此处的高度是多少千米？
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六、找规律：下列数中的第 2003 项是多少？ 2004 项呢？第 n 个呢？
1 ，－ 2， 3，－ 4，5，－ 6··· ···
七、下表记录的是流花河今年某一周内的水位变化情况，上周末（星期六）的水位已达到警戒水位 33 米。（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）⑴本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？⑵与上周末相比 , 本周末河流的水位是上升了还是下降了？⑶以警戒水位作为零点，用折线统计图表示本周的水位情况。
星期
日
一
二
三
四
五
六
水位变化
＋0.2
+0.8
-0.4
+0.2
+0.3
-0.5
-0.2
（米）
水位变化（米） 解：
1
0.8
0.6
0.4
0.2
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