广东省初中毕业生学业考试-数学试题及答案.doc

2009年广东省初中毕业生学业考试
数 学
说明：1．全卷共4页，考试用时100分钟，满分为120分
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．4的算术平方根是（　　）
A． 　B．2　 C．　 D．
2．计算的结果是（　　）
A．　 B． 　C． D．
3．如图所示几何体的主（正）视图是（　　）

A．
B．
D．
C．

4．《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（　　）
A． 元　　　 B． 元　　　
C． 元　　 D．元
5．如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虑线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（　　）
C．
D．
A．
B．

A
B
C
O
第7题图
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
6．分解因式=__________．
7．已知的直径cm，为上的一点，
则__________cm．
8．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，
则现售价应为 __________元．
9．在一个不透明的布袋中装有2个白球和个黄球，
它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则__________．
（1）
（2）
（3）
第10题图
……
10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（本题满分6分）计算+sin．

第13题图
A
C
O
B
x
12．（本题满分6分）解方程．

13．（本题满分6分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、．如果四边形是正方形，求一次函数的关系式．

第14题图
A
B
C
E
D

14．（本题满分6分）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．
（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：．

A
第15题图
B
F
E
P
45°
30°

15．（本题满分6分）如图所示，、两城市相距100km．现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上．已知森林保护区的范围在以点为圆心，50km为半径的圆形区域内．请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区．为什么？
（参考数据：）

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（本题满分7分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

17．（本题满分7分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？
（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
（3）补全频数分布折线统计图．
图2
人数
乒乓球
20%
足球
排球
篮球
40%
50
40
30
20
10
O
项目
足球
乒乓球
篮球
排球
图1
第17题图

A
Q
D
E
B
P
C
O
第18题图
18．（本题满分7分）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．
（1）求的周长；
（2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：．

19．（本题满分7分）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．
（1）求矩形的面积；
第19题图
A1
A2
B2
C2
C1
B1
O1
D
A
B
C
O
（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（本题满分9分）
（1）如图1，圆内接中，、为 的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．
第20题图
C
E
D
B
O
F
G
A
图1
D
B
O
C
E
A
图2
（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．

21．（本题满分9分）小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令
则

所以

22．（本题满分9分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．

D
M
A
B
C
第22题图
N

参考答案与评分建议

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
1．B　　　2．A　　　3．B　　　4．A　　　5．C

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
6．　　　7．4　　　8．96　　　9．8　　　10．10，

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．解：原式= 4分
=4． 6分
12．解：方程两边同时乘以， 2分
2=， 4分
， 5分
经检验：是方程的解． 6分

13.解：∵四边形OBAC是正方形，OB＝OC，
∴设点A（x,x），x>0 ………………………………………………………………1分
又∵点A在反比例函数的图象上，点A在第一象限内，
∴，即x＝3
∴A（3，3） ………………………………………………3分
又∵点A在一次函数y＝kx＋1的图象上，
∴ 3＝3k＋1，
∴ k＝ …………………………………5分
∴ 一次函数的关系式为. ……………………6分

14．解：（1）作图见答案14题图，
A
B
E
D
C
M
答案14题图

2分

（2）是等边三角形，是的中点
平分（三线合一），
， 4分
，
，
又
， 5分
又，
，
，
，
又，
． 6分

15．解：过点作是垂足，
P
答案15题图
F
B
C
A
E

则， 2分
tantan,
， 4分
tantan=100，
， 5分

答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 6分

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16． 解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑， 1分
依题意得：1+，
， 3分
或，
或（舍去）， 5分
． 6分
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 7分

17．解：（1）=100（人）． 1分
（2）， 2分
，
． 3分
（3）喜欢篮球的人数：40%（人）， 4分
喜欢排球的人数：10%（人）． 5分

O
20
30
40
10
50
答案17题图
足球
乒乓球
篮球
排球
项目
人数

7分

18.解：（1）∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，AO=AC=3,AD=BC=5, ………………………………1分
在Rt△AOD中，OD＝，……………2分
∴BD＝2×4＝8，
又∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝6，CE＝AD＝5，
∴ △BDE的周长为5＋5＋6＋8＝24. ……………………………3分
(2) ∵ 菱形ABCD，
∴ AD∥BC，OB＝OD， ………………………………………………4分
∴ ∠OBP＝∠ODQ，
在△OBP和△ODQ中
…………………………………………5分
∴ △BOP≌△DOQ ……………………………6分
∴ BP=DQ ……………………………7分

19．解：（1）在中，
，
． 2分
（2）矩形，对角线相交于点，
， 3分
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
， 5分
同理，， 6分
第6个平行四边形的面积为． 7分
答案20题图（1）
A
E
O
G
F
B
C
D
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．证明：（1）如图1，连结、，
因为点是等边三角形的外心，
所以． 2分
，
因为，
所以． 4分
（2）解法一：
连结、和，则， 5分
不妨设交于点交于点，
，
， 7分
答案20题图（2）
A
E
O
G
F
B
C
D
1
2
3
4
5
在和中

， 8分
． 9分
解法二：
不妨设交于点，答案20题图（3）
A
E
O
G
F
B
C
D
1
3
2
H
K
交于点，
作，
垂足分别为点、， 5分
在四边形中，
，
， 6分
即,
又，
， 7分
，
，
， 8分
． 9分
21．解：
方程
换元法得新方程
解新方程
检验
求原方程的解

令，则
……1分

……2分

（舍去）
……3分
，所以．
……4分

令，则
……6分

……7分

（舍去）
……8分
，所以．
……9分
N
D
A
CD
B
M
答案22题图

22．解：（1）在正方形中，
，
，
，
，
在中，，
，
， 2分
（2），
，
， 4分
，
当时，取最大值，最大值为10． 10分
（3），
要使，必须有， 7分
由（1）知，
，
当点运动到的中点时，，此时． 9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）