利用波尔共振仪研究受迫振动.doc

第三循环 运用波尔共振仪研究受迫振动
一、引言
在机械制造和建筑工程等领域中，受迫振动所导致的共振现象引起工程技术人员极大关注。很多电声器件都是运用共振原理设计制作的。本实验中，采用波尔共振仪定量测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性，并运用频闪法来测定动态的物理量——相位差。数据解决与误差分析方面的内容也比较丰富。
二、实验原理
1.物体在周期性的外力的连续作用下发生的振动称为受迫振动，这种周期性的外力称为策动力。假如外力是按简谐振动规律变化，那么稳定状态时受迫振动也是简谐振动，此时，振幅保持恒定，振幅的大小与策动力的频率原振动系统无阻尼时的固有振动频率以及阻尼系数有关。在受迫振动状态下，系统除了受到策动力的作用力作用外，同时还受到回复力和阻尼力的作用。所以在稳定状态时。物体的位移、速度变化与策动力变化不是同相位的，而是存在一个相位差。当侧动力频率与系统的固有频率相同产生共振，测试振幅最大，相位差为90°。
2.当摆轮受到周期性策动力矩M=M0cost作用，并在有空气阻尼和电磁阻尼的媒质中运动时（阻尼力矩为−bdθ/dt）。受迫振动方程为：

其中, J为摆轮转动惯量，-k为弹性力矩。方程通解为：

可见受迫振动分为两部分：通解第一项与初始条件有关，通过一定期间后衰减消失；通解第二项表达策动力矩对摆轮做功，向振动体传送能量，所以最后达成稳定后的振动为：

当时，有极值，这时候发生共振，且圆频率，振幅，相位差。
对公式进行变形，可以得到幅频和相频曲线的表达式。即幅频曲线，以及相频曲线 。
然后由逐差法得到，可由此得出阻尼系数的值。
关于闪光灯的用法上，闪光灯受摆轮信号光电门控制，每当摆轮上长形凹槽通过平衡点，光电门接受光，引起闪光。闪光灯前有有机玻璃转盘，稳定期，闪光灯的频率与指针转动周期频率一致，由于人的视觉暂留效应，这时指针仿佛停在某处。摆轮通过平衡点，受迫力为0时，闪光灯闪光，此时指针位置就是受迫振动最大位移处，即相位差。
3．幅频相频曲线
理论状态下的幅频和相频特性曲线

三、实验装置及过程
1.实验装置
波尔共振仪 BG-2型（右图）；
GZ-6C光电脉冲转换器；闪光灯。

2.实验过程
1.空气阻尼下的研究
（1）切断电机电源、阻尼档为0、角度盘调0、周期档调为1周期
（2）将转轮调至最大松开，测不同振幅相应的周期T，并记录。
（3）将转轮调至最大松开，第一次数据不准确，省去。从第二次开始，每隔10个周期记录一次振幅和周期并记录。
2.阻尼2档下
（1）将阻尼档调到2档，不开电机，手拨转轮，也将转轮调至最大松开，从第二次开始每隔一个周期记录一次振幅和周期。
（2）启动电机，阻尼调到2档，按适当间距调节策动力的周期，待数据稳定后记录相应的振幅和周期，并运用频闪原理记录相位差。
（3）反复2-（1）。
四、实验结果和分析
1、空气阻尼
对与空气阻尼的测量：振幅从172°开始，到49°为止。通过多次观测发现，40°之前周期基本成变长趋势（由于受到薄弱的空气阻力的影响，周期会缓慢增长）；40°到20°左右周期基本不变，但会在几个周期的数值之间摆动；20°之后周期会非常不稳定，可以认为此时已经不满足规律，所以选取40°以上的共15个数据点（每10组读一次）。
由10β=ln(θ1/θ1+n)，拟合出如下曲线：

曲线方程为nT=（17.95±0.12）ln(θ1/θ1+n)+（0.26±0.09），
R=0.99943.
所以β=(5.57±0.04)*10-3s-1.
分析：拟合曲线线性关系良好，测得空气阻尼较为准确。

2、阻尼2档下（启动电动机之前）
对于阻尼2档，由于阻尼比较大，导致振幅减小较快，所以每一个周期记录一次数据；选取158°到39°（振幅太小时周期的递变开始出现不规律的摆动，所以舍去）共14个数据点，由β=ln(θ1/θ1+n)，拟合出如下曲线：
曲线方程为nT=（15.03±0.10）ln(θ1/θ1+n)-（0.10±0.08），
R=0.99949.
所以β=(6.65±0.04)*10-2s-1.
分析：拟合曲线线性关系良好，测得电磁阻尼较为准确。

3、阻尼2档下（启动电动机之后）
同样的原理，选取153°到42°共14个数据点。根据同样的公式拟合出如下曲线：

曲线方程为nT=（15.98±0.07）ln(θ1/θ1+n)+（0.09±0.05），
R=0.9998.
所以β=(6.25±0.03)*10-2s-1.
分析：拟合曲线线性关系良好，测得电磁阻尼较为准确。

对比分析阻尼而当下前后两次的结果，发现在电机打开运营一段时间之后测量2档下的无电机运营状态的阻尼系数时，第二次测的所有的阻尼系数比第一次小，猜想因素：①也许是由于电机运营一段时间之后，控制阻尼的弹簧通过反复的拉伸而改变了阻尼，导致第二次测量是阻尼变小；②由于弹簧在拉伸过程中产热产生塑性形变而导致阻尼的改变；③系统自身不稳定而导致；④由于是通过磁作用调整阻尼大小，在磁场作用后，弹簧自身也许尚有一部分被磁化的部分未消除磁性（具有一定的软磁性）所以导致阻尼变小。

4、阻尼2档下的幅频、相频曲线
启动电机，根据在阻尼2档下测得的振幅、周期、相位差，一方面由测量空气阻尼时的数据得到空气阻尼下的平均周期T0=1.6056s。 T=2π/ω，所以T0=2π/ω0；又由于ω/ω0= T0/ T，所以可由每次记录的周期与空气阻尼下的平均周期只比来计算ω/ω0。由此绘出相应的幅频、相频曲线图如下：
选取的相位差为相位差两个值中的平均值，这样可以消除由于装置自身而导致的误差。
对于“幅频特性”来说，由图可知，幅频曲线基本关于ω/ω0=1.004对称，但是在图像对称轴的后半部分明显坡度更大，也许是由于弹簧的阻尼是非线性的，在角度变大之后弹簧的阻尼变化，从而使后半部分的斜率产生变化。幅频曲线并不是关于ω/ω0=1对称也许是由于：①由于通过一段时间之后空气也许产生变化，ω0产生变化；②解决时ω0空气阻尼并不准确，所以会导致并不是完美的关于等于1对称。
“相频特性”关于90°的对称性极好，与“幅频特性”的图相应性也极好，说明在实验误差允许的范围内，该实验结果与理论预测相吻合。
五、实验结论
1.实验测得空气中阻尼系数β=(5.57±0.04)*10-3s-1，摆轮周期大体随摆幅减小而增大。
2.实验测得电磁阻尼2档下阻尼系数β=(6.65±0.04)*10-2s-1。
3.由实验数据作出幅频和相频曲线，振幅随ω/ω0增大而先增大后减小，且在实验误差允许的范围内，策动力频率大体等于固有频率时出现振幅极大值，此时相位差为90，产生共振。
六、参考文献
①朱鹤年，《波耳共振仪受迫振动的运动方程 》；
②实验所给材料 《波尔共振仪_同济大学教材》；
③复旦大学物理教学实验中心