新疆2022届高三上学期第一次月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 设集合 ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 已知 、 、 满足 ，则下列选项成立的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 下列函数中，既是偶函数又在（ 0 ， +∞ ）单调递增的函数是（  ）
A ． y ＝ x 2 B ． y ＝ | x ﹣ 1| C ． y ＝﹣ x 2 +1 D ． y ＝ 2 ﹣ | x |
4、 命题 “ 存在 ” 的否定是（    ）
A ．不存在 B ．存在
C ．对任意的 D ．对任意的
5、 函数 的单调递增区间是（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 若 ，则 a ， b ， c ， d 的大小关系是（ ）
A ． a > b > c > d B ． b > a > d > c C ． b > a > c > d D ． a > b > d > c
7、 函数 的大致图象为（　　）
A ． B ．
C ． D ．
8、 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是
A ． B ． C ． D ．
9、 下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A ．若 p ∧ q 为假命题，则 p ， q 均为假命题
B ．命题 “ 若 x 2 -3 x +2=0 ，则 x =1“ 的逆否命题为： “ 若 x ≠1 则 x 2 -3 x +2≠0”
C ．若命题 p ： ∃ x ∈ R ，使得 x 2 + x +1<0 ，则￢ p ： ∀ x ∈ R 均有 x 2 + x +1≥0
D ． “ x =1” 是 “ x 2 -3 x +2=0” 的充分不必要条件
10、 已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
11、 设函数 是定义在 上的奇函数，且 ，则
A ． B ． C ． 1 D ． 2
12、 已知定义在 上的函数 满足， ① ， ② 为奇函数， ③ 当 时， 恒成立 . 则 、 、 的大小关系正确的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 __________ ．
2、 已知 ，则 =________.
3、 设有下列四个命题：
p 1 ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 .
p 2 ：过空间中任意三点有且仅有一个平面 .
p 3 ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 .
p 4 ：若直线 l 平面 α ，直线 m ⊥ 平面 α ，则 m ⊥ l .
则下述命题中所有真命题的序号是 __________.
① ② ③ ④
4、 已知函数 ，若 ，则 t 的取值范围是 ___________.
三、解答题（共6题）
1、 已知集合 A ={ x | x 2 -4 x +4- a 2 <0} ，集合 B ={ x |- x 2 +2 x +15>0}
（ 1 ）若 a =1 ，求 A ∩ B ；
（ 2 ）若 A ⫋ B ，求实数 a 的取值范围 .
2、 已知函数

（ 1 ）求定义域；
（ 2 ）判断奇偶性；
（ 3 ）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间 .
3、 设函数 ，若不等式 的解集为 ．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）若函数 在 上的最小值为 1 ，求实数 的值．
4、 已知函数 f （ x ）＝ ， x ∈[1 ，＋ ∞) ．
（ 1 ）当 a ＝ 时，求函数 f （ x ）的最小值；
（ 2 ）若对任意 x ∈[1 ，＋ ∞) ， f （ x ）＞ 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
5、 已知函数
（ Ⅰ ）解不等式 ．
（ Ⅱ ）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
6、 在平面直角坐标系中，圆 C 的参数方程为 （ α 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同 .
（ 1 ）求圆 C 的极坐标方程；
（ 2 ）若过原点的直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 ，求直线 l 的倾斜角 .

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
解绝对值不等式求得集合 A ，再根据交集的运算即可得出答案 .
【详解】
解： ，
所以 .
故选： B.
2、 A
【分析】
利用不等式两边同乘以一个正数不等号不变，判断选项即可 .
【详解】
A ：因为 、 、 满足 ，所以 ，正确；
.B ： ，与题意不符，不正确；
C ： ，与题意不符，不正确；
D ： ，与题意不符，不正确；
故选： A.
【点睛】
本题主要考查不等式的性质 . 属于容易题 .
3、 A
【分析】
结合二次函数及指数函数分别对各选项进行判断即可．
【详解】
结合选项可知 y ＝ | x ﹣ 1| 为非奇非偶函数，故 B 错误；
由二次函数的性质可知， y ＝ 1 ﹣ x 2 在（ 0 ， +∞ ）单调递减，故 C 错误；
由指数函数的性质可知， y ＝ 2 ﹣ | x | ＝ 2 ﹣ x 在（ 0 ， +∞ ）单调递减，故 D 错误；
故选： A ．
【点睛】
本题主要考查了二次函数及指数函数的奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
4、 D
【分析】
将特称命题否定为全称命题即可
【详解】
∵“ ” 的否定为 “ ” ，
∴“ 存在 ” 的否定为 “ 对任意的 ” ，
故选： D ．
5、 C
【分析】
由不等式 ，求得函数的定义域 ，令 ，得到 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，即可求解 .
【详解】
由题意，函数 有意义，则满足 ，
即 ，解得 ，即函数的定义域为 ，
令 ，则函数 表示开口向下，对称轴方程为 的抛物线，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又由函数 在定义上是递减函数，
结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数 的递增区间为 .
故选： C.
【点睛】
函数单调性的判定方法与策略：
1 、定义法：一般步骤：设元 作差 变形 判断符号 得出结论；
2 、图象法：如果函数 是以图象形式给出或函数 的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；
3 、导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；
4 、复合函数法：先将函数 分解为 和 ，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数 “ 同增异减 ” 的规则进行判定 .
6、 C
【分析】
利用指数函数的单调性即可比较大小 .
【详解】
解：
，
另外 ，则 b > a
，则 c > d
故 b > a > c > d
故选： C.
7、 A
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可
【详解】
解：函数 ， ， ， ，则函数 为非奇非偶函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C ， D ，当 ，排除 B ，
故选 A
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键
8、 D
【详解】
由题意得 在在 上恒成立，即 ，因为当 时， 所以 选 D.
9、 A
【分析】
利用 “ 且 ” 命题真假判断表可判断 A ；根据四种命题的变换形式可判断 B ；由全称命题的否定变换形式可判断 C ；根据充分条件、必要条件的定义可判断 D.
【详解】
A ，若 p ∧ q 为假命题，则 p ， q 至少有一个是假命题，故 A 错误；
B ，命题 “ 若 x 2 -3 x +2=0 ，则 x =1“ 的逆否命题为： “ 若 x ≠1 则 x 2 -3 x +2≠0” ，故 B 正确；
C ，若命题 p ： ∃ x ∈ R ，使得 x 2 + x +1<0 ，则￢ p ： ∀ x ∈ R 均有 x 2 + x +1≥0 ，故 D 正确；
D ， “ x =1” 可得 “ x 2 -3 x +2=0” ，反之， “ x 2 -3 x +2=0” ，则 或 ，
所以 “ x =1” 是 “ x 2 -3 x +2=0” 的充分不必要条件，故 D 正确 .
故选： A
10、 A
【分析】
根据偶函数的性质以及函数的单调性去电掉 得到关于 的不等式即可求解 .
【详解】
因为 是偶函数，所以 ，
所以 等价于 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，解得： ，
所以原不等式的解集为 ，
故选： A.
11、 A
【详解】
∵ 函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且 ，
∴f(−8)=−f(8)=−log 3 9=−2 ，
∴g[f(−8)]=g(−2)=f(−2)=−f(2)=−log 3 3=−1.
本题选择 A 选项 .
12、 C
【分析】
根据单调性的定义可得 在 上单调递增，根据已知条件可得 是周期为 的奇函数，根据周期性和单调性即可求解 .
【详解】
由 可得 的周期为 ，
因为 为奇函数，所以 为奇函数，
因为 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 为奇函数，所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
，
所以 ，即 .
故选： C.
二、填空题
1、 1
【详解】
由题意得 , 验证满足
点睛： (1) 认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性 ( 是点集、数集或其他情形 ) 和化简集合是正确求解的两个先决条件 .
(2) 注意元素的互异性 . 在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足 “ 互异性 ” 而导致解题错误 .
(3) 防范空集 . 在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑 是否成立，以防漏解 .
2、 -2
【详解】
试题分析：把给出的函数求导，在其导函数中取 x=2 ，则 f′ （ 2 ）可求．
解：由 f （ x ） =x 2 +3xf′ （ 2 ），
得： f′ （ x ） =2x+3f′ （ 2 ），
所以， f′ （ 2 ） =2×2+3f′ （ 2 ），
所以， f′ （ 2 ） = ﹣ 2 ．
故答案为﹣ 2 ．
考点：导数的运算．
3、 ①③④
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假 . 再利用复合命题的真假可得出结论 .
【详解】
对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，

所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，
命题 为真命题 .
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题 .
故答案为： ①③④.
【点睛】
本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题 .
4、
【分析】
首先利用定义判断得到函数 为奇函数，从而将不等式 转化为 ，构造 ，得到 ，再根据 在 上为增函数得到 ，解不等式即可 .
【详解】
因为 ，定义域为 ，
，所以函数 为奇函数 .
因为 ，
所以 ，
等价于 .
设 ，得 .
因为 ，
所以 在 上为增函数 .
所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）分别求出集合 ，再根据交集的运算即可得出答案；
（ 2 ）分 和 两种情况讨论，分别根据 A ⫋ B ，列出不等式组，从而可得出答案 .
【详解】
解：（ 1 ）当 时， ，
∴ ，
∴ ；
又 ，
∴ ；
（ 2 ） ∵ ， ，
令 ，
则 ， ∵ ，
∴ 若 ，则 ，
依题意， ，解得 ；
若 ，则 ，
同理由 解得 ；
综上所述， .
∴ .
2、 （ 1 ）定义域为 ；（ 2 ）偶函数；（ 3 ）图像见解析， 的单调增区间是 ，单调减区间是
【分析】
（ 1 ）将函数 改写成 ，即可判断定义域 ;
（ 2 ）令 ，计算 并判断与 的关系即可确定函数的奇偶性；
（ 3 ）根据 的奇偶性补全图像，根据补全后的图像确定函数的单调区间；
【详解】
（ 1 ） ，定义域为实数集 R;
（ 2 ）令
，且定义域关于坐标原点对称， 函数 为偶函数 .
（ 3 ）因为函数 为偶函数 , 所以函数 的图像关于 轴对称，
根据 第一象限的图像补全图像如图所示 :

根据图像可知，函数 单调增区间是 ，单调减区间是 .
3、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
根据不等式 的解集，可得 的两根，由韦达定理，得到答案；（ 2 ）根据二次函数的对称轴，得到单调性和最值，根据条件得到关于 的方程，得到答案 .
【详解】
解：（ 1 ）不等式 的解集为
即方程 的两根为
由韦达定理得： ，
解得： .
（ 2 ） ，对称轴方程为 ，
在 上单调递增，
时， ，
解得 .
∵
.
【点睛】
本题考查二次函数和二次不等式之间的关系，二次函数的单调性和最值，属于简单题 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） ( － 3 ，＋ ∞).
【分析】
（ 1 ） ，利用作差法判断 [1 ，＋ ∞) 上的单调性，即可求得；
（ 2 ） f （ x ）＞ 0 恒成立，等价于 f （ x ）的最小值大于零，令 y ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ a ，求 y 的最小值即可 .
【详解】
（ 1 ）当 a ＝ 时， ，
设 1≤ x 1 ＜ x 2 ，则 ，
∵1≤ x 1 ＜ x 2 ，
∴2 x 1 x 2 ＞ 2 ， 2 x 1 x 2 -1>0 ， >0 ，
∴ ，
∴ f （ x ）在区间 [1 ，＋ ∞) 上为增函数，
∴ f （ x ）在区间 [1 ，＋ ∞) 上的最小值为 f （ 1 ）＝ ，
（ 2 ）在区间 [1 ，＋ ∞) 上 f （ x ）＞ 0 恒成立 ⇔ x 2 ＋ 2 x ＋ a ＞ 0 恒成立，
设 y ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ a ， x ∈[1 ，＋ ∞) ，则函数 y ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ a ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ a － 1 在区间 [1 ，＋ ∞) 上是增函数，
∴ 当 x ＝ 1 时， y 取最小值，即 y min ＝ 3 ＋ a ，
于是当且仅当 y min ＝ 3 ＋ a ＞ 0 时，函数 f （ x ）＞ 0 恒成立，
故 a ＞－ 3 ，实数 a 的取值范围为 ( － 3 ，＋ ∞) ．
【点晴】
（ 1 ）判断函数单调性的方法有：（ 1 ）定义法；（ 2 ）图像法；（ 3 ）四则运算法；（ 4 ）复合函数法；（ 5 ）导数法；此题也可以利用对勾函数的图像解决；
（ 2 ） 恒成立等价于 .
5、 （ I ） 或 ；（ II ） 或 .
【详解】
分析：（ 1 ）通过讨论 x 的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（ 2 ）根据绝对值的性质，得到关于 a 的不等式，解出即可．
详解： (1) 不等式 可化为 .
当 时， 解得 即 ；
当 时， 解得 即 ：
当 时， 解得 即 ;
综上所述 : 不等式 的解集为 或 .
(2) 由不等式 可得
，

，即
解得 或
故实数 的取值范围是 或 .
点睛：（ 1 ）本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质 .(2) 重要绝对值不等式： , 使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是 “-” 号，就用左边，如果两个绝对值中间是 “+” 号，就使用右边 . 再确定中间的 “±” 号，不管是 “+” 还是 “-” ，总之要使中间是常数 .
6、 （ 1 ） ；（ 2 ）直线 l 的倾斜角为 或 ．
【分析】
（ 1 ）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（ 2 ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【详解】
（ 1 ）圆 的参数方程为 为参数），转换为普通方程为： ，即 ，
进一步利用 ，得到圆 的极坐标方程为 ；
（ 2 ）设直线 的方程为： 或 ，
由圆 的圆心 ， ，又弦长为 2 ，
圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以直线的倾斜角为 ，
当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为 2 ，
故直线的倾斜角为 ．
的倾斜角 或 ．
【点睛】
易错点睛：本题的第 2 问容易漏掉 . 解析几何中，涉及直线的方程问题时，要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论 .