黑龙江省牡丹江市第三中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题.docx

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
黑龙江省牡丹江市第三中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、单选题
1．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线平分圆的面积，则的值为（ ）
A． B．
C．1 D．2
4．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．两个圆与的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．椭圆的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的取值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．圆关于轴对称的圆的方程为
A． B．
C． D．
9．圆截直线所得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．2
10．已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．若方程表示椭圆，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）
A． B． C． D．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分

二、填空题
13．直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为_______.
14．两条平行线与之间的距离为____
15．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．
16．若圆：上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是___________.

评卷人
得分

三、解答题
17．已知直线，直线．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．已知圆和相交于两点．
（1）求直线的方程，
（2）求弦长
19．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，a=3b，求椭圆的标准方程．
20．已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），求圆C的标准方程．
21．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．
22．已知圆.
（1）此方程表示圆，求的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线相交于.两点，且 (为坐标原点)，求的值；

试卷第3页，共3页
参考答案
1．B
【分析】
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
2．B
【分析】
根据倾斜角和斜率的关系求解.
【详解】
由已知得，
故直线斜率
由于倾斜的范围是，
则倾斜角为.
故选：B.
3．C
【分析】
由直线过圆心计算.
【详解】
根据题意，圆的方程为，其圆心为．
因为直线平分圆的面积，
所以圆心在直线上，
则有，解得．
故选：C．
4．C
【分析】
求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
5．B
【分析】
先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数.
【详解】
解：将两圆方程化为标准式得：
与
两圆的圆心分别是，，半径分别是2，2
两圆圆心距离：，说明两圆相交，
因而公切线只有两条.
故选：B．
【点睛】
两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
6．D
【分析】
根据椭圆定义计算．
【详解】
由题意，，∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查椭圆的定义，属于简单题．
7．A
【分析】
由已知条件得圆心O(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=1,由此能求出结果．
【详解】
解:∵圆O:x2+y2=4,直线l:y=x+b,
∵圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1,
∴圆心O(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=1,
∴
解得:或．
故选：A．
【点睛】
本题考查直线与圆的的位置关系，求参数，属于基础题.
8．A
【详解】
圆心关于轴的对称点为，所以所求圆的方程为，故选择A.
9．A
【分析】
将圆的方程化为标准方程，结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.
【详解】
圆，即
则由垂径定理可得点到直线距离为
根据点到直线距离公式可知，
化简可得
解得，
故选：A
【点睛】
本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化，垂径定理及点到直线距离公式的应用，属于基础题.
10．D
【分析】
作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为.
【详解】
如下图所示：

由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为点，则，
解得，，即点，
由对称性可知，
故选：D.
【点睛】
本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
11．B
【分析】
根据椭圆标准方程的特点得到不等式组，解不等式组即可.
【详解】
因为方程表示椭圆，
所以有或.
故选：B
【点睛】
本题考查了已知方程表示椭圆求参数取值范围，考查了数学运算能力.
12．B
【分析】
通过曲线方程确定曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，从而确定直线斜率，用含的式子表示出三角形的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率的值．
【详解】
解：由，得
曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线的斜率为，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合则
直线的方程为：
即
则圆心到直线的距离
直线被半圆所截得的弦长为

，
令
则
当，即时
有最大值为
此时
又
．
故选：．
13．
【详解】
设直线的方程为，又它在轴上的截距为4，
∴，
∴直线的方程为
故答案为
14．
【分析】
根据两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为两条平行线与，
所以两平行线间的距离，
故答案为：.
15．2x＋y－7＝0
【分析】
过一点作圆的切线只有一条，说明点在圆上，根据垂直关系即可求该切线方程.
【详解】
∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
故答案为：2x＋y－7＝0
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，过一点作圆的切线的条数与点和圆的位置关系的辨析.
16．
【分析】
将问题转化为圆与圆心为原点，半径为2的圆有两个交点的问题，利用圆心距的关系，化简得到.
【详解】
由题意知：将问题转化为圆与圆心为原点，半径为2的圆有两个交点，
两圆圆心距，
 ， 即：,
或
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题体现了转化的思想，将问题转化为两圆相交，运用“隐性”圆，将复杂的解析几何问题转化为几何中的基本图形，使得问题的求解简单易行，解法令人赏心悦目，属于中档题.
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据两直线垂直得出关于实数的方程，解出即可；
（2）根据两直线平行得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】
（1）根据题意，已知直线，直线，
若，必有，即，解得；
（2）若，必有，整理得，解得.
【点睛】
本题考查利用两直线平行与垂直求参数，解题时要结合两直线的位置关系列出方程或不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）将两个圆的方程相减可得直线的方程；
（2）求出圆心到直线距离，由勾股定理计算即可求解.
（1）
因为圆，圆，
两圆方程相减得 即，
所以直线的方程为.
（2）
由圆可得，
所以圆心，半径，
圆心到直线：的距离是，
所以.
19．或
【分析】
设出椭圆的标准方程，根据题意求出的值，即可得出所求椭圆的标准方程.
【详解】
当焦点在x轴上时，设椭圆方程为，由椭圆过点，知，又，解得，故椭圆的标准方程为；
当焦点在y轴上时，设椭圆方程为，由椭圆过点，知，又，解得，故椭圆的标准方程为，
综上，椭圆的标准方程为或.
20．（x+1）2+（y+2）2=10．
【分析】
线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心，再求出半径CA的值，即可求得圆的标准方程．
【详解】
由已知，线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心．
线段AB的斜率为：KAB==，∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2，
又∵线段AB的中点为（0，﹣4），
∴线段AB的中垂线所在直线方程为：y+4=﹣2x，即2x+y+4=0．
由，求得，
∴圆C的圆心坐标为（﹣1，﹣2）
∴圆C的半径r满足：r2=（2+1）2+（﹣3+2）2=10，
∴圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10．
【点睛】
本题主要考查求圆的标准方程，直线的斜率公式，两条直线垂直的性质，求出圆心坐标及半径，是解题的关键，属于基础题．
21．（1）见解析；（2）x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
【详解】
试题分析：（1）利用直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，判定直线l与圆C总有两个不同交点A、B；
（2）设出弦AB中点M，用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．
（1）证明：∵直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，
∴直线l与圆C总有两个不同交点；
（2）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
又因为|CM|2+|MP|2=|CP|2，
设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1）
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．

考点：轨迹方程．
22．(1) (2)
【详解】
试题分析：（1）由二元二次方程表示圆的条件D2+E2-4F大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；（2）设出曲线与直线的交点M和N的坐标，联立曲线C与直线的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后由OM与ON垂直得到M和N横坐标之积与纵坐标之积的和为0，由直线方程化为横坐标的关系式，把表示出的两根之和与两根之积代入即可求出m的值．
试题解析：
（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5
（2）设M(x1,y1),N(x2,y2)，由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0.
将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得
5x2-8x+4m-16=0，由韦达定理得x1+x2=①,x1x2=②，
=64-20（4m-16）=384-80m﹥0﹥所以m﹤4
又由x+2y-4=0得y= (4-x),
∴x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)· (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0.
将①、②代入得m=,满足﹥ 0.
答案第11页，共11页